MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvds 15513
Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
3dvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvds
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 11864 . . 3 3 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3 fzfid 13191 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 ffvelrn 6714 . . . . 5 ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
54adantll 710 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
6 10nn 11963 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
76nnzi 11855 . . . . 5 10 ∈ ℤ
8 elfznn0 12850 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
98adantl 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 zexpcl 13294 . . . . 5 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
117, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
125, 11zmulcld 11942 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
133, 12fsumzcl 14925 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
143, 5fsumzcl 14925 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1512, 5zsubcld 11941 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
16 ax-1cn 10441 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
176nncni 11496 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℂ
1816, 17negsubdi2i 10820 . . . . . . . . . . 11 -(1 − 10) = (10 − 1)
19 9p1e10 11949 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
2019eqcomi 2804 . . . . . . . . . . . 12 10 = (9 + 1)
2120oveq1i 7026 . . . . . . . . . . 11 (10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
22 9cn 11585 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
2322, 16pncan3oi 10750 . . . . . . . . . . 11 ((9 + 1) − 1) = 9
2418, 21, 233eqtri 2823 . . . . . . . . . 10 -(1 − 10) = 9
25 3t3e9 11652 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
2624, 25eqtr4i 2822 . . . . . . . . 9 -(1 − 10) = (3 · 3)
2717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ010 ∈ ℂ)
28 1re 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
29 1lt10 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 10
3028, 29gtneii 10599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ≠ 1
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ010 ≠ 1)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
3327, 31, 32geoser 15055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) = ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)))
34 fzfid 13191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
35 elfznn0 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
37 zexpcl 13294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
387, 36, 37sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
3934, 38fsumzcl 14925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) ∈ ℤ)
4033, 39eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ)
41 1z 11861 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
42 zsubcl 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ) → (1 − 10) ∈ ℤ)
4341, 7, 42mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 10) ∈ ℤ
4428, 29ltneii 10600 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 10
4516, 17subeq0i 10814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 10) = 0 ↔ 1 = 10)
4645necon3bii 3036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − 10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 10)
4744, 46mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 10) ≠ 0
487, 32, 10sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
49 zsubcl 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
5041, 48, 49sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
51 dvdsval2 15443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ (1 − 10) ≠ 0 ∧ (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5243, 47, 50, 51mp3an12i 1457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5340, 52mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)))
5448zcnd 11937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
55 negsubdi2 10793 . . . . . . . . . . . . 13 (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5654, 16, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5753, 56breqtrrd 4990 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1))
58 peano2zm 11874 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑𝑘) ∈ ℤ → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
5948, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
60 dvdsnegb 15460 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6143, 59, 60sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6257, 61mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
63 negdvdsb 15459 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6443, 59, 63sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6562, 64mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
6626, 65eqbrtrrid 4998 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
67 muldvds1 15467 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
681, 1, 59, 67mp3an12i 1457 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6966, 68mpd 15 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
709, 69syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
7111, 58syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
72 dvdsmultr2 15482 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
731, 5, 71, 72mp3an2i 1458 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
7470, 73mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)))
755zcnd 11937 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7611zcnd 11937 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
7775, 76muls1d 10948 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
7874, 77breqtrd 4988 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
793, 2, 15, 78fsumdvds 15491 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8012zcnd 11937 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℂ)
813, 80, 75fsumsub 14976 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
8279, 81breqtrd 4988 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
83 dvdssub2 15484 . 2 (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
842, 13, 14, 82, 83syl31anc 1366 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  cmin 10717  -cneg 10718   / cdiv 11145  3c3 11541  9c9 11547  0cn0 11745  cz 11829  cdc 11947  ...cfz 12742  cexp 13279  Σcsu 14876  cdvds 15440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-dvds 15441
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator