Theorem 3dvds 16506

Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
3dvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12732	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3		fzfid 14119	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4		ffvelcdm 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
5	4	adantll 727	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
6		10nn 12837	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12723	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℤ
8		elfznn0 13757	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		zexpcl 14222	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
12	5, 11	zmulcld 12812	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
13	3, 12	fsumzcl 15906	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
14	3, 5	fsumzcl 15906	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
15	12, 5	zsubcld 12811	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
16		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	6	nncni 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℂ
18	16, 17	negsubdi2i 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − ;10) = (;10 − 1)
19		9p1e10 12819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
20	19	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 = (9 + 1)
21	20	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
22		9cn 12446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22, 16	pncan3oi 11576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 + 1) − 1) = 9
24	18, 21, 23	3eqtri 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 − ;10) = 9
25		3t3e9 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
26	24, 25	eqtr4i 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 − ;10) = (3 · 3)
27	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ∈ ℂ)
28		1re 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		1lt10 12962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < ;10
30	28, 29	gtneii 11425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 ≠ 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ≠ 1)
32		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	27, 31, 32	geoser 16041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) = ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)))
34		fzfid 14119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
35		elfznn0 13757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
37		zexpcl 14222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
38	7, 36, 37	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
39	34, 38	fsumzcl 15906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) ∈ ℤ)
40	33, 39	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ)
41		1z 12729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		zsubcl 12741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ) → (1 − ;10) ∈ ℤ)
43	41, 7, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ∈ ℤ
44	28, 29	ltneii 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ ;10
45	16, 17	subeq0i 11641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 − ;10) = 0 ↔ 1 = ;10)
46	45	necon3bii 3007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 − ;10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ;10)
47	44, 46	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ≠ 0
48	7, 32, 10	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
49		zsubcl 12741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (;10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
50	41, 48, 49	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
51		dvdsval2 16430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ (1 − ;10) ≠ 0 ∧ (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
52	43, 47, 50, 51	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
53	40, 52	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)))
54	48	zcnd 12807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
55		negsubdi2 11620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((;10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
56	54, 16, 55	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
57	53, 56	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1))
58		peano2zm 12742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10↑𝑘) ∈ ℤ → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
59	48, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
60		dvdsnegb 16448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
61	43, 59, 60	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
62	57, 61	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
63		negdvdsb 16447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
64	43, 59, 63	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
65	62, 64	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
66	26, 65	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
67		muldvds1 16455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
68	1, 1, 59, 67	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
69	66, 68	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
70	9, 69	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
71	11, 58	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
72		dvdsmultr2 16473	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
73	1, 5, 71, 72	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
74	70, 73	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)))
75	5	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	11	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
77	75, 76	muls1d 11779	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
78	74, 77	breqtrd 5130	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
79	3, 2, 15, 78	fsumdvds 16483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
80	12	zcnd 12807	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℂ)
81	3, 80, 75	fsumsub 15959	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
82	79, 81	breqtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
83		dvdssub2 16476	. 2 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
84	2, 13, 14, 82, 83	syl31anc 1400	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  3c3 12401  9c9 12407  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ;cdc 12817  ...cfz 13642  ↑cexp 14207  Σcsu 15858   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-dvds 16428

This theorem is used by: (None)