MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dvds 15676
Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
3dvds ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvds
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3z 12007 . . 3 3 ∈ ℤ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3 fzfid 13340 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 ffvelrn 6830 . . . . 5 ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
54adantll 713 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
6 10nn 12106 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
76nnzi 11998 . . . . 5 10 ∈ ℤ
8 elfznn0 12999 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
98adantl 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 zexpcl 13444 . . . . 5 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
117, 9, 10sylancr 590 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
125, 11zmulcld 12085 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
133, 12fsumzcl 15088 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
143, 5fsumzcl 15088 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1512, 5zsubcld 12084 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
16 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
176nncni 11639 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℂ
1816, 17negsubdi2i 10965 . . . . . . . . . . 11 -(1 − 10) = (10 − 1)
19 9p1e10 12092 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 1) = 10
2019eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . 12 10 = (9 + 1)
2120oveq1i 7149 . . . . . . . . . . 11 (10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
22 9cn 11729 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
2322, 16pncan3oi 10895 . . . . . . . . . . 11 ((9 + 1) − 1) = 9
2418, 21, 233eqtri 2828 . . . . . . . . . 10 -(1 − 10) = 9
25 3t3e9 11796 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
2624, 25eqtr4i 2827 . . . . . . . . 9 -(1 − 10) = (3 · 3)
2717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ010 ∈ ℂ)
28 1re 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
29 1lt10 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 10
3028, 29gtneii 10745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ≠ 1
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ010 ≠ 1)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
3327, 31, 32geoser 15218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) = ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)))
34 fzfid 13340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
35 elfznn0 12999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3635adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
37 zexpcl 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
387, 36, 37sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (10↑𝑗) ∈ ℤ)
3934, 38fsumzcl 15088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(10↑𝑗) ∈ ℤ)
4033, 39eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ)
41 1z 12004 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
42 zsubcl 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ 10 ∈ ℤ) → (1 − 10) ∈ ℤ)
4341, 7, 42mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 10) ∈ ℤ
4428, 29ltneii 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 10
4516, 17subeq0i 10959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 10) = 0 ↔ 1 = 10)
4645necon3bii 3042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − 10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 10)
4744, 46mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 10) ≠ 0
487, 32, 10sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℤ)
49 zsubcl 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
5041, 48, 49sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ)
51 dvdsval2 15606 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ (1 − 10) ≠ 0 ∧ (1 − (10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5243, 47, 50, 51mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)) ↔ ((1 − (10↑𝑘)) / (1 − 10)) ∈ ℤ))
5340, 52mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ (1 − (10↑𝑘)))
5448zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
55 negsubdi2 10938 . . . . . . . . . . . . 13 (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5654, 16, 55sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → -((10↑𝑘) − 1) = (1 − (10↑𝑘)))
5753, 56breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1))
58 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑𝑘) ∈ ℤ → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
5948, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
60 dvdsnegb 15623 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6143, 59, 60sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − 10) ∥ -((10↑𝑘) − 1)))
6257, 61mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
63 negdvdsb 15622 . . . . . . . . . . 11 (((1 − 10) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6443, 59, 63sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6562, 64mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − 10) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
6626, 65eqbrtrrid 5069 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1))
67 muldvds1 15630 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
681, 1, 59, 67mp3an12i 1462 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1)))
6966, 68mpd 15 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
709, 69syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((10↑𝑘) − 1))
7111, 58syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
72 dvdsmultr2 15645 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ ((10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
731, 5, 71, 72mp3an2i 1463 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1))))
7470, 73mpd 15 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)))
755zcnd 12080 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7611zcnd 12080 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
7775, 76muls1d 11093 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
7874, 77breqtrd 5059 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
793, 2, 15, 78fsumdvds 15654 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)))
8012zcnd 12080 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℂ)
813, 80, 75fsumsub 15139 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − (𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
8279, 81breqtrd 5059 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
83 dvdssub2 15647 . 2 (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
842, 13, 14, 82, 83syl31anc 1370 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹𝑘) · (10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  3c3 11685  9c9 11691  0cn0 11889  cz 11973  cdc 12090  ...cfz 12889  cexp 13429  Σcsu 15038  cdvds 15603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-dvds 15604
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator