Theorem 3dvds 16300

Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
3dvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁

Proof of Theorem 3dvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12560	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∈ ℤ)
3		fzfid 13935	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
4		ffvelcdm 7033	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
5	4	adantll 715	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
6		10nn 12660	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12551	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℤ
8		elfznn0 13574	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		zexpcl 14038	. . . . 5 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
12	5, 11	zmulcld 12639	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
13	3, 12	fsumzcl 15697	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
14	3, 5	fsumzcl 15697	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ)
15	12, 5	zsubcld 12638	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
16		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
17	6	nncni 12184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℂ
18	16, 17	negsubdi2i 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(1 − ;10) = (;10 − 1)
19		9p1e10 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 1) = ;10
20	19	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 = (9 + 1)
21	20	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;10 − 1) = ((9 + 1) − 1)
22		9cn 12281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22, 16	pncan3oi 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 + 1) − 1) = 9
24	18, 21, 23	3eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(1 − ;10) = 9
25		3t3e9 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
26	24, 25	eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 − ;10) = (3 · 3)
27	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ∈ ℂ)
28		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		1lt10 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < ;10
30	28, 29	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 ≠ 1
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ;10 ≠ 1)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
33	27, 31, 32	geoser 15832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) = ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)))
34		fzfid 13935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (0...(𝑘 − 1)) ∈ Fin)
35		elfznn0 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
37		zexpcl 14038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;10 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
38	7, 36, 37	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))) → (;10↑𝑗) ∈ ℤ)
39	34, 38	fsumzcl 15697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑘 − 1))(;10↑𝑗) ∈ ℤ)
40	33, 39	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ)
41		1z 12557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
42		zsubcl 12569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ) → (1 − ;10) ∈ ℤ)
43	41, 7, 42	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ∈ ℤ
44	28, 29	ltneii 11259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ ;10
45	16, 17	subeq0i 11474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 − ;10) = 0 ↔ 1 = ;10)
46	45	necon3bii 2984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 − ;10) ≠ 0 ↔ 1 ≠ ;10)
47	44, 46	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 − ;10) ≠ 0
48	7, 32, 10	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℤ)
49		zsubcl 12569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (;10↑𝑘) ∈ ℤ) → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
50	41, 48, 49	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ)
51		dvdsval2 16224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ (1 − ;10) ≠ 0 ∧ (1 − (;10↑𝑘)) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
52	43, 47, 50, 51	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)) ↔ ((1 − (;10↑𝑘)) / (1 − ;10)) ∈ ℤ))
53	40, 52	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ (1 − (;10↑𝑘)))
54	48	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
55		negsubdi2 11453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((;10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
56	54, 16, 55	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -((;10↑𝑘) − 1) = (1 − (;10↑𝑘)))
57	53, 56	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1))
58		peano2zm 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;10↑𝑘) ∈ ℤ → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
59	48, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
60		dvdsnegb 16242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
61	43, 59, 60	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ (1 − ;10) ∥ -((;10↑𝑘) − 1)))
62	57, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
63		negdvdsb 16241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − ;10) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
64	43, 59, 63	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) ↔ -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
65	62, 64	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → -(1 − ;10) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
66	26, 65	eqbrtrrid 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
67		muldvds1 16249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
68	1, 1, 59, 67	mp3an12i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((3 · 3) ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1)))
69	66, 68	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
70	9, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1))
71	11, 58	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
72		dvdsmultr2 16267	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℤ ∧ ((;10↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
73	1, 5, 71, 72	mp3an2i 1469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (3 ∥ ((;10↑𝑘) − 1) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1))))
74	70, 73	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)))
75	5	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
76	11	zcnd 12634	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (;10↑𝑘) ∈ ℂ)
77	75, 76	muls1d 11610	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · ((;10↑𝑘) − 1)) = (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
78	74, 77	breqtrd 5111	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 3 ∥ (((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
79	3, 2, 15, 78	fsumdvds 16277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)))
80	12	zcnd 12634	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℂ)
81	3, 80, 75	fsumsub 15750	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − (𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
82	79, 81	breqtrd 5111	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
83		dvdssub2 16270	. 2 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘))) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))
84	2, 13, 14, 82, 83	syl31anc 1376	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(0...𝑁)⟶ℤ) → (3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐹‘𝑘) · (;10↑𝑘)) ↔ 3 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  3c3 12237  9c9 12243  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ;cdc 12644  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  Σcsu 15648   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222

This theorem is referenced by: (None)