Theorem 1259lem2 17210

Description: Lemma for 1259prm 17214. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem2	⊢ ((2↑;34) mod 𝑁) = (;;870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		12nn0 12740	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
3		5nn0 12535	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 12738	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
5		9nn 12350	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12747	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
7	1, 6	eqeltri 2861	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
8		2nn 12325	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		1nn0 12531	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		7nn0 12537	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12738	. 2 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
12		4nn0 12534	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13	9, 12	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
14	13	nn0zi 12630	. 2 ⊢ ;14 ∈ ℤ
15		3nn0 12533	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16	9, 15	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
17		6nn0 12536	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12738	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19		8nn0 12538	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 10	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;87 ∈ ℕ0
21		0nn0 12530	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	20, 21	deccl 12738	. 2 ⊢ ;;870 ∈ ℕ0
23	1	1259lem1 17209	. 2 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)
24		2nn0 12532	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;17 = ;17
26		2cn 12327	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	mulridi 11224	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
28	27	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29		2p1e3 12393	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
30	28, 29	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
31		7cn 12346	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		7t2e14 12837	. . . 4 ⊢ (7 · 2) = ;14
33	31, 26, 32	mulcomli 11229	. . 3 ⊢ (2 · 7) = ;14
34	24, 9, 10, 25, 12, 9, 30, 33	decmul2c 12794	. 2 ⊢ (2 · ;17) = ;34
35		9nn0 12539	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
36		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;870 = ;;870
37		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;;125 = ;;125
38		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;87 = ;87
39		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;12 = ;12
40		8p1e9 12401	. . . . . 6 ⊢ (8 + 1) = 9
41		7p2e9 12412	. . . . . 6 ⊢ (7 + 2) = 9
42	19, 10, 9, 24, 38, 39, 40, 41	decadd 12782	. . . . 5 ⊢ (;87 + ;12) = ;99
43		9p7e16 12820	. . . . . 6 ⊢ (9 + 7) = ;16
44		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;14 = ;14
45		3cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
46		ax-1cn 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		3p1e4 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
48	45, 46, 47	addcomli 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
49	12	dec0h 12750	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = ;04
50	48, 49	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 3) = ;04
51	46	mulridi 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
52		00id 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
53	51, 52	oveq12i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
54	46	addridi 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56		4cn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
57	56	mulridi 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 1) = 4
58	57	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59		4p4e8 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 4) = 8
60	19	dec0h 12750	. . . . . . . 8 ⊢ 8 = ;08
61	58, 59, 60	3eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 1) + 4) = ;08
62	9, 12, 21, 12, 44, 50, 9, 19, 21, 55, 61	decmac 12780	. . . . . 6 ⊢ ((;14 · 1) + (1 + 3)) = ;18
63	17	dec0h 12750	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
64	26	mullidi 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
65	46	addlidi 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
66	64, 65	oveq12i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
67	66, 29	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68		4t2e8 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
69	68	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70		8p6e14 12812	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 6) = ;14
71	69, 70	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 6) = ;14
72	9, 12, 21, 17, 44, 63, 24, 12, 9, 67, 71	decmac 12780	. . . . . 6 ⊢ ((;14 · 2) + 6) = ;34
73	9, 24, 9, 17, 39, 43, 13, 12, 15, 62, 72	decma2c 12781	. . . . 5 ⊢ ((;14 · ;12) + (9 + 7)) = ;;184
74	35	dec0h 12750	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
75		5cn 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
76	75	mullidi 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
77	26	addlidi 11409	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 2) = 2
78	76, 77	oveq12i 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79		5p2e7 12407	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
80	78, 79	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81		5t4e20 12830	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 4) = ;20
82	75, 56, 81	mulcomli 11229	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 5) = ;20
83		9cn 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
84	83	addlidi 11409	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 9) = 9
85	24, 21, 35, 82, 84	decaddi 12788	. . . . . 6 ⊢ ((4 · 5) + 9) = ;29
86	9, 12, 21, 35, 44, 74, 3, 35, 24, 80, 85	decmac 12780	. . . . 5 ⊢ ((;14 · 5) + 9) = ;79
87	2, 3, 35, 35, 37, 42, 13, 35, 10, 73, 86	decma2c 12781	. . . 4 ⊢ ((;14 · ;;125) + (;87 + ;12)) = ;;;1849
88	83	mullidi 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 9) = 9
89	88	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90		9p3e12 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 3) = ;12
91	89, 90	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 9) + 3) = ;12
92		9t4e36 12852	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 4) = ;36
93	83, 56, 92	mulcomli 11229	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 9) = ;36
94	35, 9, 12, 44, 17, 15, 91, 93	decmul1c 12793	. . . . . 6 ⊢ (;14 · 9) = ;;126
95	94	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((;14 · 9) + 0) = (;;126 + 0)
96	2, 17	deccl 12738	. . . . . . 7 ⊢ ;;126 ∈ ℕ0
97	96	nn0cni 12527	. . . . . 6 ⊢ ;;126 ∈ ℂ
98	97	addridi 11408	. . . . 5 ⊢ (;;126 + 0) = ;;126
99	95, 98	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;14 · 9) + 0) = ;;126
100	4, 35, 20, 21, 1, 36, 13, 17, 2, 87, 99	decma2c 12781	. . 3 ⊢ ((;14 · 𝑁) + ;;870) = ;;;;18496
101		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;136 = ;;136
102	19, 9	deccl 12738	. . . 4 ⊢ ;81 ∈ ℕ0
103		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
104		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;81 = ;81
105	12, 21	deccl 12738	. . . . 5 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
106		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;40 = ;40
107	56	addlidi 11409	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 4) = 4
108		8cn 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
109	108	addridi 11408	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 0) = 8
110	21, 19, 12, 21, 60, 106, 107, 109	decadd 12782	. . . . . 6 ⊢ (8 + ;40) = ;48
111		4p1e5 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
112	3	dec0h 12750	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
113	111, 112	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = ;05
114	45	mulridi 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 1) = 3
115	114	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116		5p3e8 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 3) = 8
117	75, 45, 116	addcomli 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 5) = 8
118	115, 117, 60	3eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 5) = ;08
119	9, 15, 21, 3, 103, 113, 9, 19, 21, 55, 118	decmac 12780	. . . . . 6 ⊢ ((;13 · 1) + (4 + 1)) = ;18
120		6cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
121	120	mulridi 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (6 · 1) = 6
122	121	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123	108, 120, 70	addcomli 11413	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 8) = ;14
124	122, 123	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((6 · 1) + 8) = ;14
125	16, 17, 12, 19, 101, 110, 9, 12, 9, 119, 124	decmac 12780	. . . . 5 ⊢ ((;;136 · 1) + (8 + ;40)) = ;;184
126	9	dec0h 12750	. . . . . 6 ⊢ 1 = ;01
127	65, 126	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = ;01
128	45	mullidi 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 3) = 3
129	128, 65	oveq12i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130	129, 47	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131		3t3e9 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 3) = 9
132	131	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133		9p1e10 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
134	132, 133	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
135	9, 15, 21, 9, 103, 127, 15, 21, 9, 130, 134	decmac 12780	. . . . . 6 ⊢ ((;13 · 3) + (0 + 1)) = ;40
136		6t3e18 12833	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 3) = ;18
137	9, 19, 9, 136, 40	decaddi 12788	. . . . . 6 ⊢ ((6 · 3) + 1) = ;19
138	16, 17, 21, 9, 101, 126, 15, 35, 9, 135, 137	decmac 12780	. . . . 5 ⊢ ((;;136 · 3) + 1) = ;;409
139	9, 15, 19, 9, 103, 104, 18, 35, 105, 125, 138	decma2c 12781	. . . 4 ⊢ ((;;136 · ;13) + ;81) = ;;;1849
140	15	dec0h 12750	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
141	120	mullidi 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 6) = 6
142	141, 77	oveq12i 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143		6p2e8 12410	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 2) = 8
144	142, 143	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145	120, 45, 136	mulcomli 11229	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 6) = ;18
146		1p1e2 12375	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
147		8p3e11 12809	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 3) = ;11
148	9, 19, 15, 145, 146, 9, 147	decaddci 12789	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 6) + 3) = ;21
149	9, 15, 21, 15, 103, 140, 17, 9, 24, 144, 148	decmac 12780	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 6) + 3) = ;81
150		6t6e36 12836	. . . . 5 ⊢ (6 · 6) = ;36
151	17, 16, 17, 101, 17, 15, 149, 150	decmul1c 12793	. . . 4 ⊢ (;;136 · 6) = ;;816
152	18, 16, 17, 101, 17, 102, 139, 151	decmul2c 12794	. . 3 ⊢ (;;136 · ;;136) = ;;;;18496
153	100, 152	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ ((;14 · 𝑁) + ;;870) = (;;136 · ;;136)
154	7, 8, 11, 14, 18, 22, 23, 34, 153	mod2xi 17147	1 ⊢ ((2↑;34) mod 𝑁) = (;;870 mod 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12723   mod cmo 13916  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  1259lem3  17211  1259lem5  17213