MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem2 17011
Description: Lemma for 1259prm 17015. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem2 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12437 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12440 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12640 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12258 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12645 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12233 . 2 2 ∈ ℕ
11 7nn0 12442 . . 3 7 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12640 . 2 17 ∈ ℕ0
13 4nn0 12439 . . . 4 4 ∈ ℕ0
142, 13deccl 12640 . . 3 14 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12535 . 2 14 ∈ ℤ
16 3nn0 12438 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12640 . . 3 13 ∈ ℕ0
18 6nn0 12441 . . 3 6 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12640 . 2 136 ∈ ℕ0
20 8nn0 12443 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2120, 11deccl 12640 . . 3 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12435 . . 3 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12640 . 2 870 ∈ ℕ0
2411259lem1 17010 . 2 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
25 eqid 2737 . . 3 17 = 17
26 2cn 12235 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2726mulid1i 11166 . . . . 5 (2 · 1) = 2
2827oveq1i 7372 . . . 4 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29 2p1e3 12302 . . . 4 (2 + 1) = 3
3028, 29eqtri 2765 . . 3 ((2 · 1) + 1) = 3
31 7cn 12254 . . . 4 7 ∈ ℂ
32 7t2e14 12734 . . . 4 (7 · 2) = 14
3331, 26, 32mulcomli 11171 . . 3 (2 · 7) = 14
343, 2, 11, 25, 13, 2, 30, 33decmul2c 12691 . 2 (2 · 17) = 34
35 9nn0 12444 . . . 4 9 ∈ ℕ0
36 eqid 2737 . . . 4 870 = 870
37 eqid 2737 . . . . 5 125 = 125
38 eqid 2737 . . . . . 6 87 = 87
39 eqid 2737 . . . . . 6 12 = 12
40 8p1e9 12310 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
41 7p2e9 12321 . . . . . 6 (7 + 2) = 9
4220, 11, 2, 3, 38, 39, 40, 41decadd 12679 . . . . 5 (87 + 12) = 99
43 9p7e16 12717 . . . . . 6 (9 + 7) = 16
44 eqid 2737 . . . . . . 7 14 = 14
45 3cn 12241 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
46 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
47 3p1e4 12305 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4845, 46, 47addcomli 11354 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
4913dec0h 12647 . . . . . . . 8 4 = 04
5048, 49eqtri 2765 . . . . . . 7 (1 + 3) = 04
5146mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
52 00id 11337 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
5351, 52oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
5446addid1i 11349 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
5553, 54eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56 4cn 12245 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
5756mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
5857oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59 4p4e8 12315 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
6020dec0h 12647 . . . . . . . 8 8 = 08
6158, 59, 603eqtri 2769 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 4) = 08
622, 13, 22, 13, 44, 50, 2, 20, 22, 55, 61decmac 12677 . . . . . 6 ((14 · 1) + (1 + 3)) = 18
6318dec0h 12647 . . . . . . 7 6 = 06
6426mulid2i 11167 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
6546addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
6664, 65oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
6766, 29eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68 4t2e8 12328 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
6968oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70 8p6e14 12709 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
7169, 70eqtri 2765 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 6) = 14
722, 13, 22, 18, 44, 63, 3, 13, 2, 67, 71decmac 12677 . . . . . 6 ((14 · 2) + 6) = 34
732, 3, 2, 18, 39, 43, 14, 13, 16, 62, 72decma2c 12678 . . . . 5 ((14 · 12) + (9 + 7)) = 184
7435dec0h 12647 . . . . . 6 9 = 09
75 5cn 12248 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
7675mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
7726addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7876, 77oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79 5p2e7 12316 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
8078, 79eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81 5t4e20 12727 . . . . . . . 8 (5 · 4) = 20
8275, 56, 81mulcomli 11171 . . . . . . 7 (4 · 5) = 20
83 9cn 12260 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
8483addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 9) = 9
853, 22, 35, 82, 84decaddi 12685 . . . . . 6 ((4 · 5) + 9) = 29
862, 13, 22, 35, 44, 74, 5, 35, 3, 80, 85decmac 12677 . . . . 5 ((14 · 5) + 9) = 79
874, 5, 35, 35, 37, 42, 14, 35, 11, 73, 86decma2c 12678 . . . 4 ((14 · 125) + (87 + 12)) = 1849
8883mulid2i 11167 . . . . . . . . 9 (1 · 9) = 9
8988oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90 9p3e12 12713 . . . . . . . 8 (9 + 3) = 12
9189, 90eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 3) = 12
92 9t4e36 12749 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
9383, 56, 92mulcomli 11171 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
9435, 2, 13, 44, 18, 16, 91, 93decmul1c 12690 . . . . . 6 (14 · 9) = 126
9594oveq1i 7372 . . . . 5 ((14 · 9) + 0) = (126 + 0)
964, 18deccl 12640 . . . . . . 7 126 ∈ ℕ0
9796nn0cni 12432 . . . . . 6 126 ∈ ℂ
9897addid1i 11349 . . . . 5 (126 + 0) = 126
9995, 98eqtri 2765 . . . 4 ((14 · 9) + 0) = 126
1006, 35, 21, 22, 1, 36, 14, 18, 4, 87, 99decma2c 12678 . . 3 ((14 · 𝑁) + 870) = 18496
101 eqid 2737 . . . 4 136 = 136
10220, 2deccl 12640 . . . 4 81 ∈ ℕ0
103 eqid 2737 . . . . 5 13 = 13
104 eqid 2737 . . . . 5 81 = 81
10513, 22deccl 12640 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
106 eqid 2737 . . . . . . 7 40 = 40
10756addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 4) = 4
108 8cn 12257 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109108addid1i 11349 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
11022, 20, 13, 22, 60, 106, 107, 109decadd 12679 . . . . . 6 (8 + 40) = 48
111 4p1e5 12306 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
1125dec0h 12647 . . . . . . . 8 5 = 05
113111, 112eqtri 2765 . . . . . . 7 (4 + 1) = 05
11445mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
115114oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116 5p3e8 12317 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
11775, 45, 116addcomli 11354 . . . . . . . 8 (3 + 5) = 8
118115, 117, 603eqtri 2769 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 5) = 08
1192, 16, 22, 5, 103, 113, 2, 20, 22, 55, 118decmac 12677 . . . . . 6 ((13 · 1) + (4 + 1)) = 18
120 6cn 12251 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
121120mulid1i 11166 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 6
122121oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123108, 120, 70addcomli 11354 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
124122, 123eqtri 2765 . . . . . 6 ((6 · 1) + 8) = 14
12517, 18, 13, 20, 101, 110, 2, 13, 2, 119, 124decmac 12677 . . . . 5 ((136 · 1) + (8 + 40)) = 184
1262dec0h 12647 . . . . . 6 1 = 01
12765, 126eqtri 2765 . . . . . . 7 (0 + 1) = 01
12845mulid2i 11167 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
129128, 65oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130129, 47eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131 3t3e9 12327 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
132131oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133 9p1e10 12627 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
134132, 133eqtri 2765 . . . . . . 7 ((3 · 3) + 1) = 10
1352, 16, 22, 2, 103, 127, 16, 22, 2, 130, 134decmac 12677 . . . . . 6 ((13 · 3) + (0 + 1)) = 40
136 6t3e18 12730 . . . . . . 7 (6 · 3) = 18
1372, 20, 2, 136, 40decaddi 12685 . . . . . 6 ((6 · 3) + 1) = 19
13817, 18, 22, 2, 101, 126, 16, 35, 2, 135, 137decmac 12677 . . . . 5 ((136 · 3) + 1) = 409
1392, 16, 20, 2, 103, 104, 19, 35, 105, 125, 138decma2c 12678 . . . 4 ((136 · 13) + 81) = 1849
14016dec0h 12647 . . . . . 6 3 = 03
141120mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
142141, 77oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143 6p2e8 12319 . . . . . . 7 (6 + 2) = 8
144142, 143eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145120, 45, 136mulcomli 11171 . . . . . . 7 (3 · 6) = 18
146 1p1e2 12285 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
147 8p3e11 12706 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
1482, 20, 16, 145, 146, 2, 147decaddci 12686 . . . . . 6 ((3 · 6) + 3) = 21
1492, 16, 22, 16, 103, 140, 18, 2, 3, 144, 148decmac 12677 . . . . 5 ((13 · 6) + 3) = 81
150 6t6e36 12733 . . . . 5 (6 · 6) = 36
15118, 17, 18, 101, 18, 16, 149, 150decmul1c 12690 . . . 4 (136 · 6) = 816
15219, 17, 18, 101, 18, 102, 139, 151decmul2c 12691 . . 3 (136 · 136) = 18496
153100, 152eqtr4i 2768 . 2 ((14 · 𝑁) + 870) = (136 · 136)
1549, 10, 12, 15, 19, 23, 24, 34, 153mod2xi 16948 1 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625   mod cmo 13781  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  1259lem3  17012  1259lem5  17014
  Copyright terms: Public domain W3C validator