MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem2 17074
Description: Lemma for 1259prm 17078. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem2 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12496 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12696 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12314 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12701 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2823 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12289 . 2 2 ∈ ℕ
11 7nn0 12498 . . 3 7 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12696 . 2 17 ∈ ℕ0
13 4nn0 12495 . . . 4 4 ∈ ℕ0
142, 13deccl 12696 . . 3 14 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12591 . 2 14 ∈ ℤ
16 3nn0 12494 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12696 . . 3 13 ∈ ℕ0
18 6nn0 12497 . . 3 6 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12696 . 2 136 ∈ ℕ0
20 8nn0 12499 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2120, 11deccl 12696 . . 3 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12491 . . 3 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12696 . 2 870 ∈ ℕ0
2411259lem1 17073 . 2 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
25 eqid 2726 . . 3 17 = 17
26 2cn 12291 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2726mulridi 11222 . . . . 5 (2 · 1) = 2
2827oveq1i 7415 . . . 4 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29 2p1e3 12358 . . . 4 (2 + 1) = 3
3028, 29eqtri 2754 . . 3 ((2 · 1) + 1) = 3
31 7cn 12310 . . . 4 7 ∈ ℂ
32 7t2e14 12790 . . . 4 (7 · 2) = 14
3331, 26, 32mulcomli 11227 . . 3 (2 · 7) = 14
343, 2, 11, 25, 13, 2, 30, 33decmul2c 12747 . 2 (2 · 17) = 34
35 9nn0 12500 . . . 4 9 ∈ ℕ0
36 eqid 2726 . . . 4 870 = 870
37 eqid 2726 . . . . 5 125 = 125
38 eqid 2726 . . . . . 6 87 = 87
39 eqid 2726 . . . . . 6 12 = 12
40 8p1e9 12366 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
41 7p2e9 12377 . . . . . 6 (7 + 2) = 9
4220, 11, 2, 3, 38, 39, 40, 41decadd 12735 . . . . 5 (87 + 12) = 99
43 9p7e16 12773 . . . . . 6 (9 + 7) = 16
44 eqid 2726 . . . . . . 7 14 = 14
45 3cn 12297 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
46 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
47 3p1e4 12361 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4845, 46, 47addcomli 11410 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
4913dec0h 12703 . . . . . . . 8 4 = 04
5048, 49eqtri 2754 . . . . . . 7 (1 + 3) = 04
5146mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
52 00id 11393 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
5351, 52oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
5446addridi 11405 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
5553, 54eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56 4cn 12301 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
5756mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
5857oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59 4p4e8 12371 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
6020dec0h 12703 . . . . . . . 8 8 = 08
6158, 59, 603eqtri 2758 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 4) = 08
622, 13, 22, 13, 44, 50, 2, 20, 22, 55, 61decmac 12733 . . . . . 6 ((14 · 1) + (1 + 3)) = 18
6318dec0h 12703 . . . . . . 7 6 = 06
6426mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
6546addlidi 11406 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
6664, 65oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
6766, 29eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68 4t2e8 12384 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
6968oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70 8p6e14 12765 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
7169, 70eqtri 2754 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 6) = 14
722, 13, 22, 18, 44, 63, 3, 13, 2, 67, 71decmac 12733 . . . . . 6 ((14 · 2) + 6) = 34
732, 3, 2, 18, 39, 43, 14, 13, 16, 62, 72decma2c 12734 . . . . 5 ((14 · 12) + (9 + 7)) = 184
7435dec0h 12703 . . . . . 6 9 = 09
75 5cn 12304 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
7675mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
7726addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7876, 77oveq12i 7417 . . . . . . 7 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79 5p2e7 12372 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
8078, 79eqtri 2754 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81 5t4e20 12783 . . . . . . . 8 (5 · 4) = 20
8275, 56, 81mulcomli 11227 . . . . . . 7 (4 · 5) = 20
83 9cn 12316 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
8483addlidi 11406 . . . . . . 7 (0 + 9) = 9
853, 22, 35, 82, 84decaddi 12741 . . . . . 6 ((4 · 5) + 9) = 29
862, 13, 22, 35, 44, 74, 5, 35, 3, 80, 85decmac 12733 . . . . 5 ((14 · 5) + 9) = 79
874, 5, 35, 35, 37, 42, 14, 35, 11, 73, 86decma2c 12734 . . . 4 ((14 · 125) + (87 + 12)) = 1849
8883mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 · 9) = 9
8988oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90 9p3e12 12769 . . . . . . . 8 (9 + 3) = 12
9189, 90eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 3) = 12
92 9t4e36 12805 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
9383, 56, 92mulcomli 11227 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
9435, 2, 13, 44, 18, 16, 91, 93decmul1c 12746 . . . . . 6 (14 · 9) = 126
9594oveq1i 7415 . . . . 5 ((14 · 9) + 0) = (126 + 0)
964, 18deccl 12696 . . . . . . 7 126 ∈ ℕ0
9796nn0cni 12488 . . . . . 6 126 ∈ ℂ
9897addridi 11405 . . . . 5 (126 + 0) = 126
9995, 98eqtri 2754 . . . 4 ((14 · 9) + 0) = 126
1006, 35, 21, 22, 1, 36, 14, 18, 4, 87, 99decma2c 12734 . . 3 ((14 · 𝑁) + 870) = 18496
101 eqid 2726 . . . 4 136 = 136
10220, 2deccl 12696 . . . 4 81 ∈ ℕ0
103 eqid 2726 . . . . 5 13 = 13
104 eqid 2726 . . . . 5 81 = 81
10513, 22deccl 12696 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
106 eqid 2726 . . . . . . 7 40 = 40
10756addlidi 11406 . . . . . . 7 (0 + 4) = 4
108 8cn 12313 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109108addridi 11405 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
11022, 20, 13, 22, 60, 106, 107, 109decadd 12735 . . . . . 6 (8 + 40) = 48
111 4p1e5 12362 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
1125dec0h 12703 . . . . . . . 8 5 = 05
113111, 112eqtri 2754 . . . . . . 7 (4 + 1) = 05
11445mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
115114oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116 5p3e8 12373 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
11775, 45, 116addcomli 11410 . . . . . . . 8 (3 + 5) = 8
118115, 117, 603eqtri 2758 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 5) = 08
1192, 16, 22, 5, 103, 113, 2, 20, 22, 55, 118decmac 12733 . . . . . 6 ((13 · 1) + (4 + 1)) = 18
120 6cn 12307 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
121120mulridi 11222 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 6
122121oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123108, 120, 70addcomli 11410 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
124122, 123eqtri 2754 . . . . . 6 ((6 · 1) + 8) = 14
12517, 18, 13, 20, 101, 110, 2, 13, 2, 119, 124decmac 12733 . . . . 5 ((136 · 1) + (8 + 40)) = 184
1262dec0h 12703 . . . . . 6 1 = 01
12765, 126eqtri 2754 . . . . . . 7 (0 + 1) = 01
12845mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
129128, 65oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130129, 47eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131 3t3e9 12383 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
132131oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133 9p1e10 12683 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
134132, 133eqtri 2754 . . . . . . 7 ((3 · 3) + 1) = 10
1352, 16, 22, 2, 103, 127, 16, 22, 2, 130, 134decmac 12733 . . . . . 6 ((13 · 3) + (0 + 1)) = 40
136 6t3e18 12786 . . . . . . 7 (6 · 3) = 18
1372, 20, 2, 136, 40decaddi 12741 . . . . . 6 ((6 · 3) + 1) = 19
13817, 18, 22, 2, 101, 126, 16, 35, 2, 135, 137decmac 12733 . . . . 5 ((136 · 3) + 1) = 409
1392, 16, 20, 2, 103, 104, 19, 35, 105, 125, 138decma2c 12734 . . . 4 ((136 · 13) + 81) = 1849
14016dec0h 12703 . . . . . 6 3 = 03
141120mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
142141, 77oveq12i 7417 . . . . . . 7 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143 6p2e8 12375 . . . . . . 7 (6 + 2) = 8
144142, 143eqtri 2754 . . . . . 6 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145120, 45, 136mulcomli 11227 . . . . . . 7 (3 · 6) = 18
146 1p1e2 12341 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
147 8p3e11 12762 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
1482, 20, 16, 145, 146, 2, 147decaddci 12742 . . . . . 6 ((3 · 6) + 3) = 21
1492, 16, 22, 16, 103, 140, 18, 2, 3, 144, 148decmac 12733 . . . . 5 ((13 · 6) + 3) = 81
150 6t6e36 12789 . . . . 5 (6 · 6) = 36
15118, 17, 18, 101, 18, 16, 149, 150decmul1c 12746 . . . 4 (136 · 6) = 816
15219, 17, 18, 101, 18, 102, 139, 151decmul2c 12747 . . 3 (136 · 136) = 18496
153100, 152eqtr4i 2757 . 2 ((14 · 𝑁) + 870) = (136 · 136)
1549, 10, 12, 15, 19, 23, 24, 34, 153mod2xi 17011 1 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  cdc 12681   mod cmo 13840  cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  1259lem3  17075  1259lem5  17077
  Copyright terms: Public domain W3C validator