MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem2 16465
Description: Lemma for 1259prm 16469. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem2 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11910 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11911 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12110 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11914 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12110 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11732 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12115 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2912 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11707 . 2 2 ∈ ℕ
11 7nn0 11916 . . 3 7 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12110 . 2 17 ∈ ℕ0
13 4nn0 11913 . . . 4 4 ∈ ℕ0
142, 13deccl 12110 . . 3 14 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12004 . 2 14 ∈ ℤ
16 3nn0 11912 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12110 . . 3 13 ∈ ℕ0
18 6nn0 11915 . . 3 6 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12110 . 2 136 ∈ ℕ0
20 8nn0 11917 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2120, 11deccl 12110 . . 3 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11909 . . 3 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12110 . 2 870 ∈ ℕ0
2411259lem1 16464 . 2 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
25 eqid 2824 . . 3 17 = 17
26 2cn 11709 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2726mulid1i 10643 . . . . 5 (2 · 1) = 2
2827oveq1i 7159 . . . 4 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29 2p1e3 11776 . . . 4 (2 + 1) = 3
3028, 29eqtri 2847 . . 3 ((2 · 1) + 1) = 3
31 7cn 11728 . . . 4 7 ∈ ℂ
32 7t2e14 12204 . . . 4 (7 · 2) = 14
3331, 26, 32mulcomli 10648 . . 3 (2 · 7) = 14
343, 2, 11, 25, 13, 2, 30, 33decmul2c 12161 . 2 (2 · 17) = 34
35 9nn0 11918 . . . 4 9 ∈ ℕ0
36 eqid 2824 . . . 4 870 = 870
37 eqid 2824 . . . . 5 125 = 125
38 eqid 2824 . . . . . 6 87 = 87
39 eqid 2824 . . . . . 6 12 = 12
40 8p1e9 11784 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
41 7p2e9 11795 . . . . . 6 (7 + 2) = 9
4220, 11, 2, 3, 38, 39, 40, 41decadd 12149 . . . . 5 (87 + 12) = 99
43 9p7e16 12187 . . . . . 6 (9 + 7) = 16
44 eqid 2824 . . . . . . 7 14 = 14
45 3cn 11715 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
46 ax-1cn 10593 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
47 3p1e4 11779 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4845, 46, 47addcomli 10830 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
4913dec0h 12117 . . . . . . . 8 4 = 04
5048, 49eqtri 2847 . . . . . . 7 (1 + 3) = 04
5146mulid1i 10643 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
52 00id 10813 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
5351, 52oveq12i 7161 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
5446addid1i 10825 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
5553, 54eqtri 2847 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56 4cn 11719 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
5756mulid1i 10643 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
5857oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59 4p4e8 11789 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
6020dec0h 12117 . . . . . . . 8 8 = 08
6158, 59, 603eqtri 2851 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 4) = 08
622, 13, 22, 13, 44, 50, 2, 20, 22, 55, 61decmac 12147 . . . . . 6 ((14 · 1) + (1 + 3)) = 18
6318dec0h 12117 . . . . . . 7 6 = 06
6426mulid2i 10644 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
6546addid2i 10826 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
6664, 65oveq12i 7161 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
6766, 29eqtri 2847 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68 4t2e8 11802 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
6968oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70 8p6e14 12179 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
7169, 70eqtri 2847 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 6) = 14
722, 13, 22, 18, 44, 63, 3, 13, 2, 67, 71decmac 12147 . . . . . 6 ((14 · 2) + 6) = 34
732, 3, 2, 18, 39, 43, 14, 13, 16, 62, 72decma2c 12148 . . . . 5 ((14 · 12) + (9 + 7)) = 184
7435dec0h 12117 . . . . . 6 9 = 09
75 5cn 11722 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
7675mulid2i 10644 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
7726addid2i 10826 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7876, 77oveq12i 7161 . . . . . . 7 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79 5p2e7 11790 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
8078, 79eqtri 2847 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81 5t4e20 12197 . . . . . . . 8 (5 · 4) = 20
8275, 56, 81mulcomli 10648 . . . . . . 7 (4 · 5) = 20
83 9cn 11734 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
8483addid2i 10826 . . . . . . 7 (0 + 9) = 9
853, 22, 35, 82, 84decaddi 12155 . . . . . 6 ((4 · 5) + 9) = 29
862, 13, 22, 35, 44, 74, 5, 35, 3, 80, 85decmac 12147 . . . . 5 ((14 · 5) + 9) = 79
874, 5, 35, 35, 37, 42, 14, 35, 11, 73, 86decma2c 12148 . . . 4 ((14 · 125) + (87 + 12)) = 1849
8883mulid2i 10644 . . . . . . . . 9 (1 · 9) = 9
8988oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90 9p3e12 12183 . . . . . . . 8 (9 + 3) = 12
9189, 90eqtri 2847 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 3) = 12
92 9t4e36 12219 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
9383, 56, 92mulcomli 10648 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
9435, 2, 13, 44, 18, 16, 91, 93decmul1c 12160 . . . . . 6 (14 · 9) = 126
9594oveq1i 7159 . . . . 5 ((14 · 9) + 0) = (126 + 0)
964, 18deccl 12110 . . . . . . 7 126 ∈ ℕ0
9796nn0cni 11906 . . . . . 6 126 ∈ ℂ
9897addid1i 10825 . . . . 5 (126 + 0) = 126
9995, 98eqtri 2847 . . . 4 ((14 · 9) + 0) = 126
1006, 35, 21, 22, 1, 36, 14, 18, 4, 87, 99decma2c 12148 . . 3 ((14 · 𝑁) + 870) = 18496
101 eqid 2824 . . . 4 136 = 136
10220, 2deccl 12110 . . . 4 81 ∈ ℕ0
103 eqid 2824 . . . . 5 13 = 13
104 eqid 2824 . . . . 5 81 = 81
10513, 22deccl 12110 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
106 eqid 2824 . . . . . . 7 40 = 40
10756addid2i 10826 . . . . . . 7 (0 + 4) = 4
108 8cn 11731 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109108addid1i 10825 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
11022, 20, 13, 22, 60, 106, 107, 109decadd 12149 . . . . . 6 (8 + 40) = 48
111 4p1e5 11780 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
1125dec0h 12117 . . . . . . . 8 5 = 05
113111, 112eqtri 2847 . . . . . . 7 (4 + 1) = 05
11445mulid1i 10643 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
115114oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116 5p3e8 11791 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
11775, 45, 116addcomli 10830 . . . . . . . 8 (3 + 5) = 8
118115, 117, 603eqtri 2851 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 5) = 08
1192, 16, 22, 5, 103, 113, 2, 20, 22, 55, 118decmac 12147 . . . . . 6 ((13 · 1) + (4 + 1)) = 18
120 6cn 11725 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
121120mulid1i 10643 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 6
122121oveq1i 7159 . . . . . . 7 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123108, 120, 70addcomli 10830 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
124122, 123eqtri 2847 . . . . . 6 ((6 · 1) + 8) = 14
12517, 18, 13, 20, 101, 110, 2, 13, 2, 119, 124decmac 12147 . . . . 5 ((136 · 1) + (8 + 40)) = 184
1262dec0h 12117 . . . . . 6 1 = 01
12765, 126eqtri 2847 . . . . . . 7 (0 + 1) = 01
12845mulid2i 10644 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
129128, 65oveq12i 7161 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130129, 47eqtri 2847 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131 3t3e9 11801 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
132131oveq1i 7159 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133 9p1e10 12097 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
134132, 133eqtri 2847 . . . . . . 7 ((3 · 3) + 1) = 10
1352, 16, 22, 2, 103, 127, 16, 22, 2, 130, 134decmac 12147 . . . . . 6 ((13 · 3) + (0 + 1)) = 40
136 6t3e18 12200 . . . . . . 7 (6 · 3) = 18
1372, 20, 2, 136, 40decaddi 12155 . . . . . 6 ((6 · 3) + 1) = 19
13817, 18, 22, 2, 101, 126, 16, 35, 2, 135, 137decmac 12147 . . . . 5 ((136 · 3) + 1) = 409
1392, 16, 20, 2, 103, 104, 19, 35, 105, 125, 138decma2c 12148 . . . 4 ((136 · 13) + 81) = 1849
14016dec0h 12117 . . . . . 6 3 = 03
141120mulid2i 10644 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
142141, 77oveq12i 7161 . . . . . . 7 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143 6p2e8 11793 . . . . . . 7 (6 + 2) = 8
144142, 143eqtri 2847 . . . . . 6 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145120, 45, 136mulcomli 10648 . . . . . . 7 (3 · 6) = 18
146 1p1e2 11759 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
147 8p3e11 12176 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
1482, 20, 16, 145, 146, 2, 147decaddci 12156 . . . . . 6 ((3 · 6) + 3) = 21
1492, 16, 22, 16, 103, 140, 18, 2, 3, 144, 148decmac 12147 . . . . 5 ((13 · 6) + 3) = 81
150 6t6e36 12203 . . . . 5 (6 · 6) = 36
15118, 17, 18, 101, 18, 16, 149, 150decmul1c 12160 . . . 4 (136 · 6) = 816
15219, 17, 18, 101, 18, 102, 139, 151decmul2c 12161 . . 3 (136 · 136) = 18496
153100, 152eqtr4i 2850 . 2 ((14 · 𝑁) + 870) = (136 · 136)
1549, 10, 12, 15, 19, 23, 24, 34, 153mod2xi 16403 1 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  cn 11634  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  5c5 11692  6c6 11693  7c7 11694  8c8 11695  9c9 11696  cdc 12095   mod cmo 13241  cexp 13434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435
This theorem is referenced by:  1259lem3  16466  1259lem5  16468
  Copyright terms: Public domain W3C validator