MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem2 17166
Description: Lemma for 1259prm 17170. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑34 = (2↑17)↑2≡136↑2≡14𝑁 + 870. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem2 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem2
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12541 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12544 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12746 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12362 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12751 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
11 7nn0 12546 . . 3 7 ∈ ℕ0
122, 11deccl 12746 . 2 17 ∈ ℕ0
13 4nn0 12543 . . . 4 4 ∈ ℕ0
142, 13deccl 12746 . . 3 14 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12640 . 2 14 ∈ ℤ
16 3nn0 12542 . . . 4 3 ∈ ℕ0
172, 16deccl 12746 . . 3 13 ∈ ℕ0
18 6nn0 12545 . . 3 6 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12746 . 2 136 ∈ ℕ0
20 8nn0 12547 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2120, 11deccl 12746 . . 3 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12539 . . 3 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12746 . 2 870 ∈ ℕ0
2411259lem1 17165 . 2 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
25 eqid 2735 . . 3 17 = 17
26 2cn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
2726mulridi 11263 . . . . 5 (2 · 1) = 2
2827oveq1i 7441 . . . 4 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
29 2p1e3 12406 . . . 4 (2 + 1) = 3
3028, 29eqtri 2763 . . 3 ((2 · 1) + 1) = 3
31 7cn 12358 . . . 4 7 ∈ ℂ
32 7t2e14 12840 . . . 4 (7 · 2) = 14
3331, 26, 32mulcomli 11268 . . 3 (2 · 7) = 14
343, 2, 11, 25, 13, 2, 30, 33decmul2c 12797 . 2 (2 · 17) = 34
35 9nn0 12548 . . . 4 9 ∈ ℕ0
36 eqid 2735 . . . 4 870 = 870
37 eqid 2735 . . . . 5 125 = 125
38 eqid 2735 . . . . . 6 87 = 87
39 eqid 2735 . . . . . 6 12 = 12
40 8p1e9 12414 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
41 7p2e9 12425 . . . . . 6 (7 + 2) = 9
4220, 11, 2, 3, 38, 39, 40, 41decadd 12785 . . . . 5 (87 + 12) = 99
43 9p7e16 12823 . . . . . 6 (9 + 7) = 16
44 eqid 2735 . . . . . . 7 14 = 14
45 3cn 12345 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
46 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
47 3p1e4 12409 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4845, 46, 47addcomli 11451 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
4913dec0h 12753 . . . . . . . 8 4 = 04
5048, 49eqtri 2763 . . . . . . 7 (1 + 3) = 04
5146mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
52 00id 11434 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
5351, 52oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
5446addridi 11446 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
5553, 54eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
56 4cn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
5756mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (4 · 1) = 4
5857oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 4) = (4 + 4)
59 4p4e8 12419 . . . . . . . 8 (4 + 4) = 8
6020dec0h 12753 . . . . . . . 8 8 = 08
6158, 59, 603eqtri 2767 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 4) = 08
622, 13, 22, 13, 44, 50, 2, 20, 22, 55, 61decmac 12783 . . . . . 6 ((14 · 1) + (1 + 3)) = 18
6318dec0h 12753 . . . . . . 7 6 = 06
6426mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
6546addlidi 11447 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
6664, 65oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
6766, 29eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
68 4t2e8 12432 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
6968oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 6) = (8 + 6)
70 8p6e14 12815 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
7169, 70eqtri 2763 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 6) = 14
722, 13, 22, 18, 44, 63, 3, 13, 2, 67, 71decmac 12783 . . . . . 6 ((14 · 2) + 6) = 34
732, 3, 2, 18, 39, 43, 14, 13, 16, 62, 72decma2c 12784 . . . . 5 ((14 · 12) + (9 + 7)) = 184
7435dec0h 12753 . . . . . 6 9 = 09
75 5cn 12352 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
7675mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 5) = 5
7726addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 2) = 2
7876, 77oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
79 5p2e7 12420 . . . . . . 7 (5 + 2) = 7
8078, 79eqtri 2763 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
81 5t4e20 12833 . . . . . . . 8 (5 · 4) = 20
8275, 56, 81mulcomli 11268 . . . . . . 7 (4 · 5) = 20
83 9cn 12364 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
8483addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 9) = 9
853, 22, 35, 82, 84decaddi 12791 . . . . . 6 ((4 · 5) + 9) = 29
862, 13, 22, 35, 44, 74, 5, 35, 3, 80, 85decmac 12783 . . . . 5 ((14 · 5) + 9) = 79
874, 5, 35, 35, 37, 42, 14, 35, 11, 73, 86decma2c 12784 . . . 4 ((14 · 125) + (87 + 12)) = 1849
8883mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 9) = 9
8988oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 3) = (9 + 3)
90 9p3e12 12819 . . . . . . . 8 (9 + 3) = 12
9189, 90eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 9) + 3) = 12
92 9t4e36 12855 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
9383, 56, 92mulcomli 11268 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
9435, 2, 13, 44, 18, 16, 91, 93decmul1c 12796 . . . . . 6 (14 · 9) = 126
9594oveq1i 7441 . . . . 5 ((14 · 9) + 0) = (126 + 0)
964, 18deccl 12746 . . . . . . 7 126 ∈ ℕ0
9796nn0cni 12536 . . . . . 6 126 ∈ ℂ
9897addridi 11446 . . . . 5 (126 + 0) = 126
9995, 98eqtri 2763 . . . 4 ((14 · 9) + 0) = 126
1006, 35, 21, 22, 1, 36, 14, 18, 4, 87, 99decma2c 12784 . . 3 ((14 · 𝑁) + 870) = 18496
101 eqid 2735 . . . 4 136 = 136
10220, 2deccl 12746 . . . 4 81 ∈ ℕ0
103 eqid 2735 . . . . 5 13 = 13
104 eqid 2735 . . . . 5 81 = 81
10513, 22deccl 12746 . . . . 5 40 ∈ ℕ0
106 eqid 2735 . . . . . . 7 40 = 40
10756addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 4) = 4
108 8cn 12361 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109108addridi 11446 . . . . . . 7 (8 + 0) = 8
11022, 20, 13, 22, 60, 106, 107, 109decadd 12785 . . . . . 6 (8 + 40) = 48
111 4p1e5 12410 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
1125dec0h 12753 . . . . . . . 8 5 = 05
113111, 112eqtri 2763 . . . . . . 7 (4 + 1) = 05
11445mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (3 · 1) = 3
115114oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + 5) = (3 + 5)
116 5p3e8 12421 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
11775, 45, 116addcomli 11451 . . . . . . . 8 (3 + 5) = 8
118115, 117, 603eqtri 2767 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 5) = 08
1192, 16, 22, 5, 103, 113, 2, 20, 22, 55, 118decmac 12783 . . . . . 6 ((13 · 1) + (4 + 1)) = 18
120 6cn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
121120mulridi 11263 . . . . . . . 8 (6 · 1) = 6
122121oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
123108, 120, 70addcomli 11451 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
124122, 123eqtri 2763 . . . . . 6 ((6 · 1) + 8) = 14
12517, 18, 13, 20, 101, 110, 2, 13, 2, 119, 124decmac 12783 . . . . 5 ((136 · 1) + (8 + 40)) = 184
1262dec0h 12753 . . . . . 6 1 = 01
12765, 126eqtri 2763 . . . . . . 7 (0 + 1) = 01
12845mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 3) = 3
129128, 65oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
130129, 47eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
131 3t3e9 12431 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
132131oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
133 9p1e10 12733 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
134132, 133eqtri 2763 . . . . . . 7 ((3 · 3) + 1) = 10
1352, 16, 22, 2, 103, 127, 16, 22, 2, 130, 134decmac 12783 . . . . . 6 ((13 · 3) + (0 + 1)) = 40
136 6t3e18 12836 . . . . . . 7 (6 · 3) = 18
1372, 20, 2, 136, 40decaddi 12791 . . . . . 6 ((6 · 3) + 1) = 19
13817, 18, 22, 2, 101, 126, 16, 35, 2, 135, 137decmac 12783 . . . . 5 ((136 · 3) + 1) = 409
1392, 16, 20, 2, 103, 104, 19, 35, 105, 125, 138decma2c 12784 . . . 4 ((136 · 13) + 81) = 1849
14016dec0h 12753 . . . . . 6 3 = 03
141120mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 6) = 6
142141, 77oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
143 6p2e8 12423 . . . . . . 7 (6 + 2) = 8
144142, 143eqtri 2763 . . . . . 6 ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
145120, 45, 136mulcomli 11268 . . . . . . 7 (3 · 6) = 18
146 1p1e2 12389 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
147 8p3e11 12812 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
1482, 20, 16, 145, 146, 2, 147decaddci 12792 . . . . . 6 ((3 · 6) + 3) = 21
1492, 16, 22, 16, 103, 140, 18, 2, 3, 144, 148decmac 12783 . . . . 5 ((13 · 6) + 3) = 81
150 6t6e36 12839 . . . . 5 (6 · 6) = 36
15118, 17, 18, 101, 18, 16, 149, 150decmul1c 12796 . . . 4 (136 · 6) = 816
15219, 17, 18, 101, 18, 102, 139, 151decmul2c 12797 . . 3 (136 · 136) = 18496
153100, 152eqtr4i 2766 . 2 ((14 · 𝑁) + 870) = (136 · 136)
1549, 10, 12, 15, 19, 23, 24, 34, 153mod2xi 17103 1 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  cdc 12731   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  1259lem3  17167  1259lem5  17169
  Copyright terms: Public domain W3C validator