MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem4 17076
Description: Lemma for 1259prm 17078. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑306 = (2↑76)↑4 · 4≡5↑4 · 4 = 2𝑁 − 18, 2↑612 = (2↑306)↑2≡18↑2 = 324, 2↑629 = 2↑612 · 2↑17≡324 · 136 = 35𝑁 − 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑629)↑2≡1↑2 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem4 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem4
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . 2 2 ∈ ℕ
2 6nn0 12497 . . . 4 6 ∈ ℕ0
3 2nn0 12493 . . . 4 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . 3 62 ∈ ℕ0
5 9nn0 12500 . . 3 9 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12696 . 2 629 ∈ ℕ0
7 0z 12573 . 2 0 ∈ ℤ
8 1nn 12227 . 2 1 ∈ ℕ
9 1nn0 12492 . 2 1 ∈ ℕ0
109, 3deccl 12696 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
11 5nn0 12496 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1210, 11deccl 12696 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
13 8nn0 12499 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12696 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1514nn0cni 12488 . . . 4 1258 ∈ ℂ
16 ax-1cn 11170 . . . 4 1 ∈ ℂ
17 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
18 8p1e9 12366 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
19 eqid 2726 . . . . . 6 1258 = 1258
2012, 13, 18, 19decsuc 12712 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
2117, 20eqtr4i 2757 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
2215, 16, 21mvrraddi 11481 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
2322, 14eqeltri 2823 . 2 (𝑁 − 1) ∈ ℕ0
24 9nn 12314 . . . . 5 9 ∈ ℕ
2512, 24decnncl 12701 . . . 4 1259 ∈ ℕ
2617, 25eqeltri 2823 . . 3 𝑁 ∈ ℕ
272, 9deccl 12696 . . . 4 61 ∈ ℕ0
2827, 3deccl 12696 . . 3 612 ∈ ℕ0
29 3nn0 12494 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
30 4nn0 12495 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12696 . . . 4 34 ∈ ℕ0
3231nn0zi 12591 . . 3 34 ∈ ℤ
3329, 3deccl 12696 . . . 4 32 ∈ ℕ0
3433, 30deccl 12696 . . 3 324 ∈ ℕ0
35 7nn0 12498 . . . 4 7 ∈ ℕ0
369, 35deccl 12696 . . 3 17 ∈ ℕ0
379, 29deccl 12696 . . . 4 13 ∈ ℕ0
3837, 2deccl 12696 . . 3 136 ∈ ℕ0
39 0nn0 12491 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
4029, 39deccl 12696 . . . . 5 30 ∈ ℕ0
4140, 2deccl 12696 . . . 4 306 ∈ ℕ0
42 8nn 12311 . . . . 5 8 ∈ ℕ
439, 42decnncl 12701 . . . 4 18 ∈ ℕ
4410, 30deccl 12696 . . . . 5 124 ∈ ℕ0
4544, 9deccl 12696 . . . 4 1241 ∈ ℕ0
469, 11deccl 12696 . . . . . 6 15 ∈ ℕ0
4746, 29deccl 12696 . . . . 5 153 ∈ ℕ0
48 1z 12596 . . . . 5 1 ∈ ℤ
4911, 39deccl 12696 . . . . 5 50 ∈ ℕ0
5046, 3deccl 12696 . . . . . 6 152 ∈ ℕ0
513, 11deccl 12696 . . . . . 6 25 ∈ ℕ0
5235, 2deccl 12696 . . . . . . 7 76 ∈ ℕ0
53171259lem3 17075 . . . . . . 7 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
54 eqid 2726 . . . . . . . 8 76 = 76
55 4p1e5 12362 . . . . . . . . 9 (4 + 1) = 5
56 7cn 12310 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
57 2cn 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
58 7t2e14 12790 . . . . . . . . . 10 (7 · 2) = 14
5956, 57, 58mulcomli 11227 . . . . . . . . 9 (2 · 7) = 14
609, 30, 55, 59decsuc 12712 . . . . . . . 8 ((2 · 7) + 1) = 15
61 6cn 12307 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
62 6t2e12 12785 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
6361, 57, 62mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
643, 35, 2, 54, 3, 9, 60, 63decmul2c 12747 . . . . . . 7 (2 · 76) = 152
6551nn0cni 12488 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℂ
6665addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 25) = 25
6726nncni 12226 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℂ
6867mul02i 11407 . . . . . . . . 9 (0 · 𝑁) = 0
6968oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((0 · 𝑁) + 25) = (0 + 25)
70 5t5e25 12784 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
7166, 69, 703eqtr4i 2764 . . . . . . 7 ((0 · 𝑁) + 25) = (5 · 5)
7226, 1, 52, 7, 11, 51, 53, 64, 71mod2xi 17011 . . . . . 6 ((2↑152) mod 𝑁) = (25 mod 𝑁)
73 2p1e3 12358 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
74 eqid 2726 . . . . . . 7 152 = 152
7546, 3, 73, 74decsuc 12712 . . . . . 6 (152 + 1) = 153
7649nn0cni 12488 . . . . . . . 8 50 ∈ ℂ
7776addlidi 11406 . . . . . . 7 (0 + 50) = 50
7868oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((0 · 𝑁) + 50) = (0 + 50)
79 eqid 2726 . . . . . . . 8 25 = 25
80 2t2e4 12380 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8180oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8281, 55eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 5
83 5t2e10 12781 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
843, 3, 11, 79, 39, 9, 82, 83decmul1c 12746 . . . . . . 7 (25 · 2) = 50
8577, 78, 843eqtr4i 2764 . . . . . 6 ((0 · 𝑁) + 50) = (25 · 2)
8626, 1, 50, 7, 51, 49, 72, 75, 85modxp1i 17012 . . . . 5 ((2↑153) mod 𝑁) = (50 mod 𝑁)
87 eqid 2726 . . . . . 6 153 = 153
88 eqid 2726 . . . . . . . . 9 15 = 15
8957mulridi 11222 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
9089oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
9190, 73eqtri 2754 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
92 5cn 12304 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
9392, 57, 83mulcomli 11227 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
943, 9, 11, 88, 39, 9, 91, 93decmul2c 12747 . . . . . . . 8 (2 · 15) = 30
9594oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((2 · 15) + 0) = (30 + 0)
9640nn0cni 12488 . . . . . . . 8 30 ∈ ℂ
9796addridi 11405 . . . . . . 7 (30 + 0) = 30
9895, 97eqtri 2754 . . . . . 6 ((2 · 15) + 0) = 30
99 3cn 12297 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
100 3t2e6 12382 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
10199, 57, 100mulcomli 11227 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
1022dec0h 12703 . . . . . . 7 6 = 06
103101, 102eqtri 2754 . . . . . 6 (2 · 3) = 06
1043, 46, 29, 87, 2, 39, 98, 103decmul2c 12747 . . . . 5 (2 · 153) = 306
10567mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 𝑁) = 𝑁
106105, 17eqtri 2754 . . . . . . 7 (1 · 𝑁) = 1259
107 eqid 2726 . . . . . . 7 1241 = 1241
1083, 30deccl 12696 . . . . . . . 8 24 ∈ ℕ0
109 eqid 2726 . . . . . . . . 9 24 = 24
1103, 30, 55, 109decsuc 12712 . . . . . . . 8 (24 + 1) = 25
111 eqid 2726 . . . . . . . . 9 125 = 125
112 eqid 2726 . . . . . . . . 9 124 = 124
113 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 12 = 12
114 1p1e2 12341 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
115 2p2e4 12351 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
1169, 3, 9, 3, 113, 113, 114, 115decadd 12735 . . . . . . . . 9 (12 + 12) = 24
117 5p4e9 12374 . . . . . . . . 9 (5 + 4) = 9
11810, 11, 10, 30, 111, 112, 116, 117decadd 12735 . . . . . . . 8 (125 + 124) = 249
119108, 110, 118decsucc 12722 . . . . . . 7 ((125 + 124) + 1) = 250
120 9p1e10 12683 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
12112, 5, 44, 9, 106, 107, 119, 120decaddc2 12737 . . . . . 6 ((1 · 𝑁) + 1241) = 2500
122 eqid 2726 . . . . . . 7 50 = 50
12392mul02i 11407 . . . . . . . . . 10 (0 · 5) = 0
12411, 11, 39, 122, 70, 123decmul1 12745 . . . . . . . . 9 (50 · 5) = 250
125124oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((50 · 5) + 0) = (250 + 0)
12651, 39deccl 12696 . . . . . . . . . 10 250 ∈ ℕ0
127126nn0cni 12488 . . . . . . . . 9 250 ∈ ℂ
128127addridi 11405 . . . . . . . 8 (250 + 0) = 250
129125, 128eqtri 2754 . . . . . . 7 ((50 · 5) + 0) = 250
13076mul01i 11408 . . . . . . . 8 (50 · 0) = 0
13139dec0h 12703 . . . . . . . 8 0 = 00
132130, 131eqtri 2754 . . . . . . 7 (50 · 0) = 00
13349, 11, 39, 122, 39, 39, 129, 132decmul2c 12747 . . . . . 6 (50 · 50) = 2500
134121, 133eqtr4i 2757 . . . . 5 ((1 · 𝑁) + 1241) = (50 · 50)
13526, 1, 47, 48, 49, 45, 86, 104, 134mod2xi 17011 . . . 4 ((2↑306) mod 𝑁) = (1241 mod 𝑁)
136 eqid 2726 . . . . 5 306 = 306
137 eqid 2726 . . . . . 6 30 = 30
1389dec0h 12703 . . . . . 6 1 = 01
139 00id 11393 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
140101, 139oveq12i 7417 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 0)) = (6 + 0)
14161addridi 11405 . . . . . . 7 (6 + 0) = 6
142140, 141eqtri 2754 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 0)) = 6
14357mul01i 11408 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
144143oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
145 0p1e1 12338 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
146144, 145, 1383eqtri 2758 . . . . . 6 ((2 · 0) + 1) = 01
14729, 39, 39, 9, 137, 138, 3, 9, 39, 142, 146decma2c 12734 . . . . 5 ((2 · 30) + 1) = 61
1483, 40, 2, 136, 3, 9, 147, 63decmul2c 12747 . . . 4 (2 · 306) = 612
149 eqid 2726 . . . . . 6 18 = 18
15010, 30, 55, 112decsuc 12712 . . . . . 6 (124 + 1) = 125
151 8cn 12313 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
152151, 16, 18addcomli 11410 . . . . . 6 (1 + 8) = 9
15344, 9, 9, 13, 107, 149, 150, 152decadd 12735 . . . . 5 (1241 + 18) = 1259
154153, 17eqtr4i 2757 . . . 4 (1241 + 18) = 𝑁
15534nn0cni 12488 . . . . . 6 324 ∈ ℂ
156155addlidi 11406 . . . . 5 (0 + 324) = 324
15768oveq1i 7415 . . . . 5 ((0 · 𝑁) + 324) = (0 + 324)
1589, 13deccl 12696 . . . . . 6 18 ∈ ℕ0
1599, 30deccl 12696 . . . . . 6 14 ∈ ℕ0
160 eqid 2726 . . . . . . 7 14 = 14
16116mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
162161, 114oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (1 + 1)) = (1 + 2)
163 1p2e3 12359 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
164162, 163eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (1 + 1)) = 3
165151mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
166165oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 4) = (8 + 4)
167 8p4e12 12763 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
168166, 167eqtri 2754 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 4) = 12
1699, 13, 9, 30, 149, 160, 9, 3, 9, 164, 168decmac 12733 . . . . . 6 ((18 · 1) + 14) = 32
170151mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 · 8) = 8
171170oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 6) = (8 + 6)
172 8p6e14 12765 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
173171, 172eqtri 2754 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 6) = 14
174 8t8e64 12802 . . . . . . 7 (8 · 8) = 64
17513, 9, 13, 149, 30, 2, 173, 174decmul1c 12746 . . . . . 6 (18 · 8) = 144
176158, 9, 13, 149, 30, 159, 169, 175decmul2c 12747 . . . . 5 (18 · 18) = 324
177156, 157, 1763eqtr4i 2764 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 324) = (18 · 18)
1781, 41, 7, 43, 34, 45, 135, 148, 154, 177mod2xnegi 17013 . . 3 ((2↑612) mod 𝑁) = (324 mod 𝑁)
179171259lem1 17073 . . 3 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
180 eqid 2726 . . . 4 612 = 612
181 eqid 2726 . . . 4 17 = 17
182 eqid 2726 . . . . 5 61 = 61
1832, 9, 114, 182decsuc 12712 . . . 4 (61 + 1) = 62
184 7p2e9 12377 . . . . 5 (7 + 2) = 9
18556, 57, 184addcomli 11410 . . . 4 (2 + 7) = 9
18627, 3, 9, 35, 180, 181, 183, 185decadd 12735 . . 3 (612 + 17) = 629
18729, 9deccl 12696 . . . . 5 31 ∈ ℕ0
188 eqid 2726 . . . . . . 7 31 = 31
189 3p2e5 12367 . . . . . . . . 9 (3 + 2) = 5
19099, 57, 189addcomli 11410 . . . . . . . 8 (2 + 3) = 5
1919, 3, 29, 113, 190decaddi 12741 . . . . . . 7 (12 + 3) = 15
192 5p1e6 12363 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
19310, 11, 29, 9, 111, 188, 191, 192decadd 12735 . . . . . 6 (125 + 31) = 156
194114oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
195194, 73eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((1 + 1) + 1) = 3
196 7p5e12 12758 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
19756, 92, 196addcomli 11410 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
1989, 11, 9, 35, 88, 181, 195, 3, 197decaddc 12736 . . . . . . 7 (15 + 17) = 32
199 eqid 2726 . . . . . . . 8 34 = 34
200 7p3e10 12756 . . . . . . . . 9 (7 + 3) = 10
20156, 99, 200addcomli 11410 . . . . . . . 8 (3 + 7) = 10
20299mulridi 11222 . . . . . . . . . 10 (3 · 1) = 3
20316addridi 11405 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
204202, 203oveq12i 7417 . . . . . . . . 9 ((3 · 1) + (1 + 0)) = (3 + 1)
205 3p1e4 12361 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
206204, 205eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + (1 + 0)) = 4
207 4cn 12301 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
208207mulridi 11222 . . . . . . . . . 10 (4 · 1) = 4
209208oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + 0) = (4 + 0)
210207addridi 11405 . . . . . . . . 9 (4 + 0) = 4
21130dec0h 12703 . . . . . . . . 9 4 = 04
212209, 210, 2113eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 0) = 04
21329, 30, 9, 39, 199, 201, 9, 30, 39, 206, 212decmac 12733 . . . . . . 7 ((34 · 1) + (3 + 7)) = 44
2143dec0h 12703 . . . . . . . 8 2 = 02
215100, 145oveq12i 7417 . . . . . . . . 9 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
216 6p1e7 12364 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
217215, 216eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
218 4t2e8 12384 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
219218oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
220 8p2e10 12761 . . . . . . . . 9 (8 + 2) = 10
221219, 220eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 2) = 10
22229, 30, 39, 3, 199, 214, 3, 39, 9, 217, 221decmac 12733 . . . . . . 7 ((34 · 2) + 2) = 70
2239, 3, 29, 3, 113, 198, 31, 39, 35, 213, 222decma2c 12734 . . . . . 6 ((34 · 12) + (15 + 17)) = 440
224 5t3e15 12782 . . . . . . . . 9 (5 · 3) = 15
22592, 99, 224mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
226 5p2e7 12372 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
2279, 11, 3, 225, 226decaddi 12741 . . . . . . 7 ((3 · 5) + 2) = 17
228 5t4e20 12783 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
22992, 207, 228mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
23061addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 6) = 6
2313, 39, 2, 229, 230decaddi 12741 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 6) = 26
23229, 30, 2, 199, 11, 2, 3, 227, 231decrmac 12739 . . . . . 6 ((34 · 5) + 6) = 176
23310, 11, 46, 2, 111, 193, 31, 2, 36, 223, 232decma2c 12734 . . . . 5 ((34 · 125) + (125 + 31)) = 4406
234 9cn 12316 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
235 9t3e27 12804 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
236234, 99, 235mulcomli 11227 . . . . . . 7 (3 · 9) = 27
237 7p4e11 12757 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
2383, 35, 30, 236, 73, 9, 237decaddci 12742 . . . . . 6 ((3 · 9) + 4) = 31
239 9t4e36 12805 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
240234, 207, 239mulcomli 11227 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
241151, 61, 172addcomli 11410 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
24229, 2, 13, 240, 205, 30, 241decaddci 12742 . . . . . 6 ((4 · 9) + 8) = 44
24329, 30, 13, 199, 5, 30, 30, 238, 242decrmac 12739 . . . . 5 ((34 · 9) + 8) = 314
24412, 5, 12, 13, 17, 22, 31, 30, 187, 233, 243decma2c 12734 . . . 4 ((34 · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = 44064
245 eqid 2726 . . . . 5 136 = 136
2469, 5deccl 12696 . . . . . 6 19 ∈ ℕ0
247246, 30deccl 12696 . . . . 5 194 ∈ ℕ0
248 eqid 2726 . . . . . 6 13 = 13
249 eqid 2726 . . . . . 6 194 = 194
2505, 35deccl 12696 . . . . . 6 97 ∈ ℕ0
2519, 9deccl 12696 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
252 eqid 2726 . . . . . . 7 324 = 324
253 eqid 2726 . . . . . . . 8 19 = 19
254 eqid 2726 . . . . . . . 8 97 = 97
255234, 16, 120addcomli 11410 . . . . . . . . 9 (1 + 9) = 10
2569, 39, 145, 255decsuc 12712 . . . . . . . 8 ((1 + 9) + 1) = 11
257 9p7e16 12773 . . . . . . . 8 (9 + 7) = 16
2589, 5, 5, 35, 253, 254, 256, 2, 257decaddc 12736 . . . . . . 7 (19 + 97) = 116
259 eqid 2726 . . . . . . . 8 32 = 32
260 eqid 2726 . . . . . . . . 9 11 = 11
2619, 9, 114, 260decsuc 12712 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
26289oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
263262, 115, 2113eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 2) = 04
26429, 3, 9, 3, 259, 261, 9, 30, 39, 206, 263decmac 12733 . . . . . . 7 ((32 · 1) + (11 + 1)) = 44
265208oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 6) = (4 + 6)
266 6p4e10 12753 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
26761, 207, 266addcomli 11410 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
268265, 267eqtri 2754 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 6) = 10
26933, 30, 251, 2, 252, 258, 9, 39, 9, 264, 268decmac 12733 . . . . . 6 ((324 · 1) + (19 + 97)) = 440
270145, 138eqtri 2754 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 01
271 3t3e9 12383 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
272271, 139oveq12i 7417 . . . . . . . . 9 ((3 · 3) + (0 + 0)) = (9 + 0)
273234addridi 11405 . . . . . . . . 9 (9 + 0) = 9
274272, 273eqtri 2754 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + (0 + 0)) = 9
275101oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
27635dec0h 12703 . . . . . . . . 9 7 = 07
277275, 216, 2763eqtri 2758 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + 1) = 07
27829, 3, 39, 9, 259, 270, 29, 35, 39, 274, 277decmac 12733 . . . . . . 7 ((32 · 3) + (0 + 1)) = 97
279 4t3e12 12779 . . . . . . . 8 (4 · 3) = 12
280 4p2e6 12369 . . . . . . . . 9 (4 + 2) = 6
281207, 57, 280addcomli 11410 . . . . . . . 8 (2 + 4) = 6
2829, 3, 30, 279, 281decaddi 12741 . . . . . . 7 ((4 · 3) + 4) = 16
28333, 30, 39, 30, 252, 211, 29, 2, 9, 278, 282decmac 12733 . . . . . 6 ((324 · 3) + 4) = 976
2849, 29, 246, 30, 248, 249, 34, 2, 250, 269, 283decma2c 12734 . . . . 5 ((324 · 13) + 194) = 4406
285 6t3e18 12786 . . . . . . . . 9 (6 · 3) = 18
28661, 99, 285mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (3 · 6) = 18
2879, 13, 18, 286decsuc 12712 . . . . . . 7 ((3 · 6) + 1) = 19
2889, 3, 3, 63, 115decaddi 12741 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 2) = 14
28929, 3, 3, 259, 2, 30, 9, 287, 288decrmac 12739 . . . . . 6 ((32 · 6) + 2) = 194
290 6t4e24 12787 . . . . . . 7 (6 · 4) = 24
29161, 207, 290mulcomli 11227 . . . . . 6 (4 · 6) = 24
2922, 33, 30, 252, 30, 3, 289, 291decmul1c 12746 . . . . 5 (324 · 6) = 1944
29334, 37, 2, 245, 30, 247, 284, 292decmul2c 12747 . . . 4 (324 · 136) = 44064
294244, 293eqtr4i 2757 . . 3 ((34 · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = (324 · 136)
29526, 1, 28, 32, 34, 23, 36, 38, 178, 179, 186, 294modxai 17010 . 2 ((2↑629) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁)
296 eqid 2726 . . . 4 629 = 629
297 eqid 2726 . . . . 5 62 = 62
298139oveq2i 7416 . . . . . 6 ((2 · 6) + (0 + 0)) = ((2 · 6) + 0)
29963oveq1i 7415 . . . . . 6 ((2 · 6) + 0) = (12 + 0)
30010nn0cni 12488 . . . . . . 7 12 ∈ ℂ
301300addridi 11405 . . . . . 6 (12 + 0) = 12
302298, 299, 3013eqtri 2758 . . . . 5 ((2 · 6) + (0 + 0)) = 12
30311dec0h 12703 . . . . . 6 5 = 05
30481, 55, 3033eqtri 2758 . . . . 5 ((2 · 2) + 1) = 05
3052, 3, 39, 9, 297, 138, 3, 11, 39, 302, 304decma2c 12734 . . . 4 ((2 · 62) + 1) = 125
306 9t2e18 12803 . . . . 5 (9 · 2) = 18
307234, 57, 306mulcomli 11227 . . . 4 (2 · 9) = 18
3083, 4, 5, 296, 13, 9, 305, 307decmul2c 12747 . . 3 (2 · 629) = 1258
309308, 22eqtr4i 2757 . 2 (2 · 629) = (𝑁 − 1)
310 npcan 11473 . . 3 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
31167, 16, 310mp2an 689 . 2 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
31268oveq1i 7415 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
313145, 312, 1613eqtr4i 2764 . 2 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
3141, 6, 7, 8, 9, 23, 295, 309, 311, 313mod2xnegi 17013 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7405  cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  0cn0 12476  cdc 12681   mod cmo 13840  cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  1259prm  17078
  Copyright terms: Public domain W3C validator