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Theorem 1259lem4 17168
Description: Lemma for 1259prm 17170. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑306 = (2↑76)↑4 · 4≡5↑4 · 4 = 2𝑁 − 18, 2↑612 = (2↑306)↑2≡18↑2 = 324, 2↑629 = 2↑612 · 2↑17≡324 · 136 = 35𝑁 − 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑629)↑2≡1↑2 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem4 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem4
StepHypRef Expression
1 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
2 6nn0 12545 . . . 4 6 ∈ ℕ0
3 2nn0 12541 . . . 4 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . 3 62 ∈ ℕ0
5 9nn0 12548 . . 3 9 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12746 . 2 629 ∈ ℕ0
7 0z 12622 . 2 0 ∈ ℤ
8 1nn 12275 . 2 1 ∈ ℕ
9 1nn0 12540 . 2 1 ∈ ℕ0
109, 3deccl 12746 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
11 5nn0 12544 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1210, 11deccl 12746 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
13 8nn0 12547 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12746 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1514nn0cni 12536 . . . 4 1258 ∈ ℂ
16 ax-1cn 11211 . . . 4 1 ∈ ℂ
17 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
18 8p1e9 12414 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
19 eqid 2735 . . . . . 6 1258 = 1258
2012, 13, 18, 19decsuc 12762 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
2117, 20eqtr4i 2766 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
2215, 16, 21mvrraddi 11523 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
2322, 14eqeltri 2835 . 2 (𝑁 − 1) ∈ ℕ0
24 9nn 12362 . . . . 5 9 ∈ ℕ
2512, 24decnncl 12751 . . . 4 1259 ∈ ℕ
2617, 25eqeltri 2835 . . 3 𝑁 ∈ ℕ
272, 9deccl 12746 . . . 4 61 ∈ ℕ0
2827, 3deccl 12746 . . 3 612 ∈ ℕ0
29 3nn0 12542 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
30 4nn0 12543 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 12746 . . . 4 34 ∈ ℕ0
3231nn0zi 12640 . . 3 34 ∈ ℤ
3329, 3deccl 12746 . . . 4 32 ∈ ℕ0
3433, 30deccl 12746 . . 3 324 ∈ ℕ0
35 7nn0 12546 . . . 4 7 ∈ ℕ0
369, 35deccl 12746 . . 3 17 ∈ ℕ0
379, 29deccl 12746 . . . 4 13 ∈ ℕ0
3837, 2deccl 12746 . . 3 136 ∈ ℕ0
39 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
4029, 39deccl 12746 . . . . 5 30 ∈ ℕ0
4140, 2deccl 12746 . . . 4 306 ∈ ℕ0
42 8nn 12359 . . . . 5 8 ∈ ℕ
439, 42decnncl 12751 . . . 4 18 ∈ ℕ
4410, 30deccl 12746 . . . . 5 124 ∈ ℕ0
4544, 9deccl 12746 . . . 4 1241 ∈ ℕ0
469, 11deccl 12746 . . . . . 6 15 ∈ ℕ0
4746, 29deccl 12746 . . . . 5 153 ∈ ℕ0
48 1z 12645 . . . . 5 1 ∈ ℤ
4911, 39deccl 12746 . . . . 5 50 ∈ ℕ0
5046, 3deccl 12746 . . . . . 6 152 ∈ ℕ0
513, 11deccl 12746 . . . . . 6 25 ∈ ℕ0
5235, 2deccl 12746 . . . . . . 7 76 ∈ ℕ0
53171259lem3 17167 . . . . . . 7 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
54 eqid 2735 . . . . . . . 8 76 = 76
55 4p1e5 12410 . . . . . . . . 9 (4 + 1) = 5
56 7cn 12358 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
57 2cn 12339 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
58 7t2e14 12840 . . . . . . . . . 10 (7 · 2) = 14
5956, 57, 58mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (2 · 7) = 14
609, 30, 55, 59decsuc 12762 . . . . . . . 8 ((2 · 7) + 1) = 15
61 6cn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
62 6t2e12 12835 . . . . . . . . 9 (6 · 2) = 12
6361, 57, 62mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (2 · 6) = 12
643, 35, 2, 54, 3, 9, 60, 63decmul2c 12797 . . . . . . 7 (2 · 76) = 152
6551nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℂ
6665addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 25) = 25
6726nncni 12274 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℂ
6867mul02i 11448 . . . . . . . . 9 (0 · 𝑁) = 0
6968oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((0 · 𝑁) + 25) = (0 + 25)
70 5t5e25 12834 . . . . . . . 8 (5 · 5) = 25
7166, 69, 703eqtr4i 2773 . . . . . . 7 ((0 · 𝑁) + 25) = (5 · 5)
7226, 1, 52, 7, 11, 51, 53, 64, 71mod2xi 17103 . . . . . 6 ((2↑152) mod 𝑁) = (25 mod 𝑁)
73 2p1e3 12406 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
74 eqid 2735 . . . . . . 7 152 = 152
7546, 3, 73, 74decsuc 12762 . . . . . 6 (152 + 1) = 153
7649nn0cni 12536 . . . . . . . 8 50 ∈ ℂ
7776addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 50) = 50
7868oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 𝑁) + 50) = (0 + 50)
79 eqid 2735 . . . . . . . 8 25 = 25
80 2t2e4 12428 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
8180oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8281, 55eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = 5
83 5t2e10 12831 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
843, 3, 11, 79, 39, 9, 82, 83decmul1c 12796 . . . . . . 7 (25 · 2) = 50
8577, 78, 843eqtr4i 2773 . . . . . 6 ((0 · 𝑁) + 50) = (25 · 2)
8626, 1, 50, 7, 51, 49, 72, 75, 85modxp1i 17104 . . . . 5 ((2↑153) mod 𝑁) = (50 mod 𝑁)
87 eqid 2735 . . . . . 6 153 = 153
88 eqid 2735 . . . . . . . . 9 15 = 15
8957mulridi 11263 . . . . . . . . . . 11 (2 · 1) = 2
9089oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
9190, 73eqtri 2763 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 1) = 3
92 5cn 12352 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℂ
9392, 57, 83mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
943, 9, 11, 88, 39, 9, 91, 93decmul2c 12797 . . . . . . . 8 (2 · 15) = 30
9594oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 15) + 0) = (30 + 0)
9640nn0cni 12536 . . . . . . . 8 30 ∈ ℂ
9796addridi 11446 . . . . . . 7 (30 + 0) = 30
9895, 97eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 15) + 0) = 30
99 3cn 12345 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
100 3t2e6 12430 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
10199, 57, 100mulcomli 11268 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
1022dec0h 12753 . . . . . . 7 6 = 06
103101, 102eqtri 2763 . . . . . 6 (2 · 3) = 06
1043, 46, 29, 87, 2, 39, 98, 103decmul2c 12797 . . . . 5 (2 · 153) = 306
10567mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 𝑁) = 𝑁
106105, 17eqtri 2763 . . . . . . 7 (1 · 𝑁) = 1259
107 eqid 2735 . . . . . . 7 1241 = 1241
1083, 30deccl 12746 . . . . . . . 8 24 ∈ ℕ0
109 eqid 2735 . . . . . . . . 9 24 = 24
1103, 30, 55, 109decsuc 12762 . . . . . . . 8 (24 + 1) = 25
111 eqid 2735 . . . . . . . . 9 125 = 125
112 eqid 2735 . . . . . . . . 9 124 = 124
113 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 12 = 12
114 1p1e2 12389 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
115 2p2e4 12399 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
1169, 3, 9, 3, 113, 113, 114, 115decadd 12785 . . . . . . . . 9 (12 + 12) = 24
117 5p4e9 12422 . . . . . . . . 9 (5 + 4) = 9
11810, 11, 10, 30, 111, 112, 116, 117decadd 12785 . . . . . . . 8 (125 + 124) = 249
119108, 110, 118decsucc 12772 . . . . . . 7 ((125 + 124) + 1) = 250
120 9p1e10 12733 . . . . . . 7 (9 + 1) = 10
12112, 5, 44, 9, 106, 107, 119, 120decaddc2 12787 . . . . . 6 ((1 · 𝑁) + 1241) = 2500
122 eqid 2735 . . . . . . 7 50 = 50
12392mul02i 11448 . . . . . . . . . 10 (0 · 5) = 0
12411, 11, 39, 122, 70, 123decmul1 12795 . . . . . . . . 9 (50 · 5) = 250
125124oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((50 · 5) + 0) = (250 + 0)
12651, 39deccl 12746 . . . . . . . . . 10 250 ∈ ℕ0
127126nn0cni 12536 . . . . . . . . 9 250 ∈ ℂ
128127addridi 11446 . . . . . . . 8 (250 + 0) = 250
129125, 128eqtri 2763 . . . . . . 7 ((50 · 5) + 0) = 250
13076mul01i 11449 . . . . . . . 8 (50 · 0) = 0
13139dec0h 12753 . . . . . . . 8 0 = 00
132130, 131eqtri 2763 . . . . . . 7 (50 · 0) = 00
13349, 11, 39, 122, 39, 39, 129, 132decmul2c 12797 . . . . . 6 (50 · 50) = 2500
134121, 133eqtr4i 2766 . . . . 5 ((1 · 𝑁) + 1241) = (50 · 50)
13526, 1, 47, 48, 49, 45, 86, 104, 134mod2xi 17103 . . . 4 ((2↑306) mod 𝑁) = (1241 mod 𝑁)
136 eqid 2735 . . . . 5 306 = 306
137 eqid 2735 . . . . . 6 30 = 30
1389dec0h 12753 . . . . . 6 1 = 01
139 00id 11434 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
140101, 139oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 0)) = (6 + 0)
14161addridi 11446 . . . . . . 7 (6 + 0) = 6
142140, 141eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 3) + (0 + 0)) = 6
14357mul01i 11449 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
144143oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
145 0p1e1 12386 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
146144, 145, 1383eqtri 2767 . . . . . 6 ((2 · 0) + 1) = 01
14729, 39, 39, 9, 137, 138, 3, 9, 39, 142, 146decma2c 12784 . . . . 5 ((2 · 30) + 1) = 61
1483, 40, 2, 136, 3, 9, 147, 63decmul2c 12797 . . . 4 (2 · 306) = 612
149 eqid 2735 . . . . . 6 18 = 18
15010, 30, 55, 112decsuc 12762 . . . . . 6 (124 + 1) = 125
151 8cn 12361 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
152151, 16, 18addcomli 11451 . . . . . 6 (1 + 8) = 9
15344, 9, 9, 13, 107, 149, 150, 152decadd 12785 . . . . 5 (1241 + 18) = 1259
154153, 17eqtr4i 2766 . . . 4 (1241 + 18) = 𝑁
15534nn0cni 12536 . . . . . 6 324 ∈ ℂ
156155addlidi 11447 . . . . 5 (0 + 324) = 324
15768oveq1i 7441 . . . . 5 ((0 · 𝑁) + 324) = (0 + 324)
1589, 13deccl 12746 . . . . . 6 18 ∈ ℕ0
1599, 30deccl 12746 . . . . . 6 14 ∈ ℕ0
160 eqid 2735 . . . . . . 7 14 = 14
16116mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
162161, 114oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((1 · 1) + (1 + 1)) = (1 + 2)
163 1p2e3 12407 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
164162, 163eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 1) + (1 + 1)) = 3
165151mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
166165oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + 4) = (8 + 4)
167 8p4e12 12813 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
168166, 167eqtri 2763 . . . . . . 7 ((8 · 1) + 4) = 12
1699, 13, 9, 30, 149, 160, 9, 3, 9, 164, 168decmac 12783 . . . . . 6 ((18 · 1) + 14) = 32
170151mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 8) = 8
171170oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 8) + 6) = (8 + 6)
172 8p6e14 12815 . . . . . . . 8 (8 + 6) = 14
173171, 172eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 6) = 14
174 8t8e64 12852 . . . . . . 7 (8 · 8) = 64
17513, 9, 13, 149, 30, 2, 173, 174decmul1c 12796 . . . . . 6 (18 · 8) = 144
176158, 9, 13, 149, 30, 159, 169, 175decmul2c 12797 . . . . 5 (18 · 18) = 324
177156, 157, 1763eqtr4i 2773 . . . 4 ((0 · 𝑁) + 324) = (18 · 18)
1781, 41, 7, 43, 34, 45, 135, 148, 154, 177mod2xnegi 17105 . . 3 ((2↑612) mod 𝑁) = (324 mod 𝑁)
179171259lem1 17165 . . 3 ((2↑17) mod 𝑁) = (136 mod 𝑁)
180 eqid 2735 . . . 4 612 = 612
181 eqid 2735 . . . 4 17 = 17
182 eqid 2735 . . . . 5 61 = 61
1832, 9, 114, 182decsuc 12762 . . . 4 (61 + 1) = 62
184 7p2e9 12425 . . . . 5 (7 + 2) = 9
18556, 57, 184addcomli 11451 . . . 4 (2 + 7) = 9
18627, 3, 9, 35, 180, 181, 183, 185decadd 12785 . . 3 (612 + 17) = 629
18729, 9deccl 12746 . . . . 5 31 ∈ ℕ0
188 eqid 2735 . . . . . . 7 31 = 31
189 3p2e5 12415 . . . . . . . . 9 (3 + 2) = 5
19099, 57, 189addcomli 11451 . . . . . . . 8 (2 + 3) = 5
1919, 3, 29, 113, 190decaddi 12791 . . . . . . 7 (12 + 3) = 15
192 5p1e6 12411 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
19310, 11, 29, 9, 111, 188, 191, 192decadd 12785 . . . . . 6 (125 + 31) = 156
194114oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((1 + 1) + 1) = (2 + 1)
195194, 73eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((1 + 1) + 1) = 3
196 7p5e12 12808 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
19756, 92, 196addcomli 11451 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
1989, 11, 9, 35, 88, 181, 195, 3, 197decaddc 12786 . . . . . . 7 (15 + 17) = 32
199 eqid 2735 . . . . . . . 8 34 = 34
200 7p3e10 12806 . . . . . . . . 9 (7 + 3) = 10
20156, 99, 200addcomli 11451 . . . . . . . 8 (3 + 7) = 10
20299mulridi 11263 . . . . . . . . . 10 (3 · 1) = 3
20316addridi 11446 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = 1
204202, 203oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((3 · 1) + (1 + 0)) = (3 + 1)
205 3p1e4 12409 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
206204, 205eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((3 · 1) + (1 + 0)) = 4
207 4cn 12349 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
208207mulridi 11263 . . . . . . . . . 10 (4 · 1) = 4
209208oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((4 · 1) + 0) = (4 + 0)
210207addridi 11446 . . . . . . . . 9 (4 + 0) = 4
21130dec0h 12753 . . . . . . . . 9 4 = 04
212209, 210, 2113eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 0) = 04
21329, 30, 9, 39, 199, 201, 9, 30, 39, 206, 212decmac 12783 . . . . . . 7 ((34 · 1) + (3 + 7)) = 44
2143dec0h 12753 . . . . . . . 8 2 = 02
215100, 145oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
216 6p1e7 12412 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
217215, 216eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
218 4t2e8 12432 . . . . . . . . . 10 (4 · 2) = 8
219218oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
220 8p2e10 12811 . . . . . . . . 9 (8 + 2) = 10
221219, 220eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 2) = 10
22229, 30, 39, 3, 199, 214, 3, 39, 9, 217, 221decmac 12783 . . . . . . 7 ((34 · 2) + 2) = 70
2239, 3, 29, 3, 113, 198, 31, 39, 35, 213, 222decma2c 12784 . . . . . 6 ((34 · 12) + (15 + 17)) = 440
224 5t3e15 12832 . . . . . . . . 9 (5 · 3) = 15
22592, 99, 224mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (3 · 5) = 15
226 5p2e7 12420 . . . . . . . 8 (5 + 2) = 7
2279, 11, 3, 225, 226decaddi 12791 . . . . . . 7 ((3 · 5) + 2) = 17
228 5t4e20 12833 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
22992, 207, 228mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
23061addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 6) = 6
2313, 39, 2, 229, 230decaddi 12791 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 6) = 26
23229, 30, 2, 199, 11, 2, 3, 227, 231decrmac 12789 . . . . . 6 ((34 · 5) + 6) = 176
23310, 11, 46, 2, 111, 193, 31, 2, 36, 223, 232decma2c 12784 . . . . 5 ((34 · 125) + (125 + 31)) = 4406
234 9cn 12364 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
235 9t3e27 12854 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
236234, 99, 235mulcomli 11268 . . . . . . 7 (3 · 9) = 27
237 7p4e11 12807 . . . . . . 7 (7 + 4) = 11
2383, 35, 30, 236, 73, 9, 237decaddci 12792 . . . . . 6 ((3 · 9) + 4) = 31
239 9t4e36 12855 . . . . . . . 8 (9 · 4) = 36
240234, 207, 239mulcomli 11268 . . . . . . 7 (4 · 9) = 36
241151, 61, 172addcomli 11451 . . . . . . 7 (6 + 8) = 14
24229, 2, 13, 240, 205, 30, 241decaddci 12792 . . . . . 6 ((4 · 9) + 8) = 44
24329, 30, 13, 199, 5, 30, 30, 238, 242decrmac 12789 . . . . 5 ((34 · 9) + 8) = 314
24412, 5, 12, 13, 17, 22, 31, 30, 187, 233, 243decma2c 12784 . . . 4 ((34 · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = 44064
245 eqid 2735 . . . . 5 136 = 136
2469, 5deccl 12746 . . . . . 6 19 ∈ ℕ0
247246, 30deccl 12746 . . . . 5 194 ∈ ℕ0
248 eqid 2735 . . . . . 6 13 = 13
249 eqid 2735 . . . . . 6 194 = 194
2505, 35deccl 12746 . . . . . 6 97 ∈ ℕ0
2519, 9deccl 12746 . . . . . . 7 11 ∈ ℕ0
252 eqid 2735 . . . . . . 7 324 = 324
253 eqid 2735 . . . . . . . 8 19 = 19
254 eqid 2735 . . . . . . . 8 97 = 97
255234, 16, 120addcomli 11451 . . . . . . . . 9 (1 + 9) = 10
2569, 39, 145, 255decsuc 12762 . . . . . . . 8 ((1 + 9) + 1) = 11
257 9p7e16 12823 . . . . . . . 8 (9 + 7) = 16
2589, 5, 5, 35, 253, 254, 256, 2, 257decaddc 12786 . . . . . . 7 (19 + 97) = 116
259 eqid 2735 . . . . . . . 8 32 = 32
260 eqid 2735 . . . . . . . . 9 11 = 11
2619, 9, 114, 260decsuc 12762 . . . . . . . 8 (11 + 1) = 12
26289oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
263262, 115, 2113eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 2) = 04
26429, 3, 9, 3, 259, 261, 9, 30, 39, 206, 263decmac 12783 . . . . . . 7 ((32 · 1) + (11 + 1)) = 44
265208oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((4 · 1) + 6) = (4 + 6)
266 6p4e10 12803 . . . . . . . . 9 (6 + 4) = 10
26761, 207, 266addcomli 11451 . . . . . . . 8 (4 + 6) = 10
268265, 267eqtri 2763 . . . . . . 7 ((4 · 1) + 6) = 10
26933, 30, 251, 2, 252, 258, 9, 39, 9, 264, 268decmac 12783 . . . . . 6 ((324 · 1) + (19 + 97)) = 440
270145, 138eqtri 2763 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 01
271 3t3e9 12431 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
272271, 139oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((3 · 3) + (0 + 0)) = (9 + 0)
273234addridi 11446 . . . . . . . . 9 (9 + 0) = 9
274272, 273eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + (0 + 0)) = 9
275101oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
27635dec0h 12753 . . . . . . . . 9 7 = 07
277275, 216, 2763eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + 1) = 07
27829, 3, 39, 9, 259, 270, 29, 35, 39, 274, 277decmac 12783 . . . . . . 7 ((32 · 3) + (0 + 1)) = 97
279 4t3e12 12829 . . . . . . . 8 (4 · 3) = 12
280 4p2e6 12417 . . . . . . . . 9 (4 + 2) = 6
281207, 57, 280addcomli 11451 . . . . . . . 8 (2 + 4) = 6
2829, 3, 30, 279, 281decaddi 12791 . . . . . . 7 ((4 · 3) + 4) = 16
28333, 30, 39, 30, 252, 211, 29, 2, 9, 278, 282decmac 12783 . . . . . 6 ((324 · 3) + 4) = 976
2849, 29, 246, 30, 248, 249, 34, 2, 250, 269, 283decma2c 12784 . . . . 5 ((324 · 13) + 194) = 4406
285 6t3e18 12836 . . . . . . . . 9 (6 · 3) = 18
28661, 99, 285mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (3 · 6) = 18
2879, 13, 18, 286decsuc 12762 . . . . . . 7 ((3 · 6) + 1) = 19
2889, 3, 3, 63, 115decaddi 12791 . . . . . . 7 ((2 · 6) + 2) = 14
28929, 3, 3, 259, 2, 30, 9, 287, 288decrmac 12789 . . . . . 6 ((32 · 6) + 2) = 194
290 6t4e24 12837 . . . . . . 7 (6 · 4) = 24
29161, 207, 290mulcomli 11268 . . . . . 6 (4 · 6) = 24
2922, 33, 30, 252, 30, 3, 289, 291decmul1c 12796 . . . . 5 (324 · 6) = 1944
29334, 37, 2, 245, 30, 247, 284, 292decmul2c 12797 . . . 4 (324 · 136) = 44064
294244, 293eqtr4i 2766 . . 3 ((34 · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = (324 · 136)
29526, 1, 28, 32, 34, 23, 36, 38, 178, 179, 186, 294modxai 17102 . 2 ((2↑629) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁)
296 eqid 2735 . . . 4 629 = 629
297 eqid 2735 . . . . 5 62 = 62
298139oveq2i 7442 . . . . . 6 ((2 · 6) + (0 + 0)) = ((2 · 6) + 0)
29963oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 6) + 0) = (12 + 0)
30010nn0cni 12536 . . . . . . 7 12 ∈ ℂ
301300addridi 11446 . . . . . 6 (12 + 0) = 12
302298, 299, 3013eqtri 2767 . . . . 5 ((2 · 6) + (0 + 0)) = 12
30311dec0h 12753 . . . . . 6 5 = 05
30481, 55, 3033eqtri 2767 . . . . 5 ((2 · 2) + 1) = 05
3052, 3, 39, 9, 297, 138, 3, 11, 39, 302, 304decma2c 12784 . . . 4 ((2 · 62) + 1) = 125
306 9t2e18 12853 . . . . 5 (9 · 2) = 18
307234, 57, 306mulcomli 11268 . . . 4 (2 · 9) = 18
3083, 4, 5, 296, 13, 9, 305, 307decmul2c 12797 . . 3 (2 · 629) = 1258
309308, 22eqtr4i 2766 . 2 (2 · 629) = (𝑁 − 1)
310 npcan 11515 . . 3 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
31167, 16, 310mp2an 692 . 2 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
31268oveq1i 7441 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
313145, 312, 1613eqtr4i 2773 . 2 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
3141, 6, 7, 8, 9, 23, 295, 309, 311, 313mod2xnegi 17105 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cdc 12731   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
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