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Theorem 2503lem2 17017
Description: Lemma for 2503prm 17019. Calculate a power mod. We calculate 2↑19 = 2↑18 · 2≡1832 · 2 = 𝑁 + 1161, 2↑38 = (2↑19)↑2≡1161↑2 = 538𝑁 + 1307, 2↑39 = 2↑38 · 2≡1307 · 2 = 𝑁 + 111, 2↑78 = (2↑39)↑2≡111↑2 = 5𝑁 − 194, 2↑156 = (2↑78)↑2≡194↑2 = 15𝑁 + 91, 2↑312 = (2↑156)↑2≡91↑2 = 3𝑁 + 772, 2↑624 = (2↑312)↑2≡772↑2 = 238𝑁 + 270, 2↑1248 = (2↑624)↑2≡270↑2 = 29𝑁 + 313, 2↑1251 = 2↑1248 · 8≡313 · 8 = 𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1251)↑2≡1↑2 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem2
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 12437 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 12440 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 12435 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12640 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 12239 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12645 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12233 . 2 2 ∈ ℕ
11 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1211, 2deccl 12640 . . . 4 12 ∈ ℕ0
1312, 3deccl 12640 . . 3 125 ∈ ℕ0
1413, 11deccl 12640 . 2 1251 ∈ ℕ0
15 0z 12517 . 2 0 ∈ ℤ
16 4nn0 12439 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
1712, 16deccl 12640 . . . 4 124 ∈ ℕ0
18 8nn0 12443 . . . 4 8 ∈ ℕ0
1917, 18deccl 12640 . . 3 1248 ∈ ℕ0
20 1z 12540 . . 3 1 ∈ ℤ
21 3nn0 12438 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2221, 11deccl 12640 . . . 4 31 ∈ ℕ0
2322, 21deccl 12640 . . 3 313 ∈ ℕ0
24 6nn0 12441 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
2524, 2deccl 12640 . . . . 5 62 ∈ ℕ0
2625, 16deccl 12640 . . . 4 624 ∈ ℕ0
27 9nn0 12444 . . . . . 6 9 ∈ ℕ0
282, 27deccl 12640 . . . . 5 29 ∈ ℕ0
2928nn0zi 12535 . . . 4 29 ∈ ℤ
30 7nn0 12442 . . . . . 6 7 ∈ ℕ0
312, 30deccl 12640 . . . . 5 27 ∈ ℕ0
3231, 5deccl 12640 . . . 4 270 ∈ ℕ0
3322, 2deccl 12640 . . . . 5 312 ∈ ℕ0
342, 21deccl 12640 . . . . . . 7 23 ∈ ℕ0
3534, 18deccl 12640 . . . . . 6 238 ∈ ℕ0
3635nn0zi 12535 . . . . 5 238 ∈ ℤ
3730, 30deccl 12640 . . . . . 6 77 ∈ ℕ0
3837, 2deccl 12640 . . . . 5 772 ∈ ℕ0
3911, 3deccl 12640 . . . . . . 7 15 ∈ ℕ0
4039, 24deccl 12640 . . . . . 6 156 ∈ ℕ0
4121nn0zi 12535 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
4227, 11deccl 12640 . . . . . 6 91 ∈ ℕ0
4330, 18deccl 12640 . . . . . . 7 78 ∈ ℕ0
4439nn0zi 12535 . . . . . . 7 15 ∈ ℤ
4511, 27deccl 12640 . . . . . . . 8 19 ∈ ℕ0
46 4nn 12243 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
4745, 46decnncl 12645 . . . . . . 7 194 ∈ ℕ
4834, 5deccl 12640 . . . . . . . 8 230 ∈ ℕ0
4948, 27deccl 12640 . . . . . . 7 2309 ∈ ℕ0
5021, 27deccl 12640 . . . . . . . 8 39 ∈ ℕ0
5116nn0zi 12535 . . . . . . . 8 4 ∈ ℤ
5211, 11deccl 12640 . . . . . . . . 9 11 ∈ ℕ0
5352, 11deccl 12640 . . . . . . . 8 111 ∈ ℕ0
5421, 18deccl 12640 . . . . . . . . 9 38 ∈ ℕ0
5511, 21deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 13 ∈ ℕ0
5655, 5deccl 12640 . . . . . . . . . 10 130 ∈ ℕ0
5756, 30deccl 12640 . . . . . . . . 9 1307 ∈ ℕ0
583, 21deccl 12640 . . . . . . . . . . . 12 53 ∈ ℕ0
5958, 18deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 538 ∈ ℕ0
6059nn0zi 12535 . . . . . . . . . 10 538 ∈ ℤ
6152, 24deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 116 ∈ ℕ0
6261, 11deccl 12640 . . . . . . . . . 10 1161 ∈ ℕ0
6311, 18deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 18 ∈ ℕ0
6463, 21deccl 12640 . . . . . . . . . . . 12 183 ∈ ℕ0
6564, 2deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 1832 ∈ ℕ0
6612503lem1 17016 . . . . . . . . . . 11 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
67 8p1e9 12310 . . . . . . . . . . . 12 (8 + 1) = 9
68 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 18 = 18
6911, 18, 67, 68decsuc 12656 . . . . . . . . . . 11 (18 + 1) = 19
70 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 1161 = 1161
71 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 250 = 250
7261nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15 116 ∈ ℂ
7372addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 (116 + 0) = 116
74 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 = 25
7552nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 11 ∈ ℂ
7675addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (11 + 0) = 11
77 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
7877mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 2) = 2
79 1p0e1 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 0) = 1
8078, 79oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
81 2p1e3 12302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
8280, 81eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
83 5cn 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 ∈ ℂ
8483mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · 5) = 5
8584oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
86 5p1e6 12307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 1) = 6
8724dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 = 06
8885, 86, 873eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 5) + 1) = 06
892, 3, 11, 11, 74, 76, 11, 24, 5, 82, 88decma2c 12678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 25) + (11 + 0)) = 36
90 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
9190mul01i 11352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 0) = 0
9291oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 0) + 6) = (0 + 6)
93 6cn 12251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℂ
9493addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 6) = 6
9592, 94, 873eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 0) + 6) = 06
964, 5, 52, 24, 71, 73, 11, 24, 5, 89, 95decma2c 12678 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 250) + (116 + 0)) = 366
97 3cn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
9897mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 3) = 3
9998oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
100 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = 4
10116dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = 04
10299, 100, 1013eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 3) + 1) = 04
1036, 21, 61, 11, 1, 70, 11, 16, 5, 96, 102decma2c 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 𝑁) + 1161) = 3664
104 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 1832 = 1832
105 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 183 = 183
10678oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
107106, 81eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 2) + 1) = 3
108 8t2e16 12740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 · 2) = 16
1092, 11, 18, 68, 24, 11, 107, 108decmul1c 12690 . . . . . . . . . . . . . 14 (18 · 2) = 36
110 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
1112, 63, 21, 105, 109, 110decmul1 12689 . . . . . . . . . . . . 13 (183 · 2) = 366
112 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
1132, 64, 2, 104, 111, 112decmul1 12689 . . . . . . . . . . . 12 (1832 · 2) = 3664
114103, 113eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 𝑁) + 1161) = (1832 · 2)
1159, 10, 63, 20, 65, 62, 66, 69, 114modxp1i 16949 . . . . . . . . . 10 ((2↑19) mod 𝑁) = (1161 mod 𝑁)
116 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 19 = 19
117 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = 2
118117oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
119118, 81eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 1) + 1) = 3
120 9cn 12260 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℂ
121 9t2e18 12747 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 2) = 18
122120, 77, 121mulcomli 11171 . . . . . . . . . . 11 (2 · 9) = 18
1232, 11, 27, 116, 18, 11, 119, 122decmul2c 12691 . . . . . . . . . 10 (2 · 19) = 38
124 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 1307 = 1307
12511, 24deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 16 ∈ ℕ0
126125, 2deccl 12640 . . . . . . . . . . . 12 162 ∈ ℕ0
127 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 130 = 130
128 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 162 = 162
129 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 13 = 13
130 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 = 16
131 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
132 6p3e9 12320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 + 3) = 9
13393, 97, 132addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 6) = 9
13411, 21, 11, 24, 129, 130, 131, 133decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . 14 (13 + 16) = 29
13577addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 2) = 2
13655, 5, 125, 2, 127, 128, 134, 135decadd 12679 . . . . . . . . . . . . 13 (130 + 162) = 292
13728nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15 29 ∈ ℂ
138137addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 (29 + 0) = 29
1392, 24deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 26 ∈ ℕ0
140139, 27deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 269 ∈ ℕ0
141 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 538 = 538
1422dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = 02
143 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 269 = 269
144 6p1e7 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 + 1) = 7
145139nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 26 ∈ ℂ
146145addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 26) = 26
1472, 24, 144, 146decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 + 26) + 1) = 27
148 9p2e11 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 + 2) = 11
149120, 77, 148addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 9) = 11
1505, 2, 139, 27, 142, 143, 147, 11, 149decaddc 12680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 269) = 271
151 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 53 = 53
152 7p1e8 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 + 1) = 8
153 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 27 = 27
1542, 30, 152, 153decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (27 + 1) = 28
15581oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 2) + (2 + 1)) = ((5 · 2) + 3)
156 5t2e10 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 2) = 10
15797addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 3) = 3
15811, 5, 21, 156, 157decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 2) + 3) = 13
159155, 158eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((5 · 2) + (2 + 1)) = 13
160110oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 2) + 8) = (6 + 8)
161 8cn 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℂ
162 8p6e14 12709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 6) = 14
163161, 93, 162addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 + 8) = 14
164160, 163eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 2) + 8) = 14
1653, 21, 2, 18, 151, 154, 2, 16, 11, 159, 164decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((53 · 2) + (27 + 1)) = 134
16611, 24, 144, 108decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((8 · 2) + 1) = 17
16758, 18, 31, 11, 141, 150, 2, 30, 11, 165, 166decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((538 · 2) + (2 + 269)) = 1347
16827dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 = 09
169 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℂ
170169addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 4) = 4
171170, 101eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 4) = 04
172 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
173172oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
174 5t5e25 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 5) = 25
1752, 3, 86, 174decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 5) + 1) = 26
176173, 175eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
177 5t3e15 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 3) = 15
17883, 97, 177mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 · 5) = 15
179 5p4e9 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 + 4) = 9
18011, 3, 16, 178, 179decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 5) + 4) = 19
1813, 21, 5, 16, 151, 171, 3, 27, 11, 176, 180decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((53 · 5) + (0 + 4)) = 269
182 8t5e40 12743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (8 · 5) = 40
183120addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 9) = 9
18416, 5, 27, 182, 183decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((8 · 5) + 9) = 49
18558, 18, 5, 27, 141, 168, 3, 27, 16, 181, 184decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((538 · 5) + 9) = 2699
1862, 3, 2, 27, 74, 138, 59, 27, 140, 167, 185decma2c 12678 . . . . . . . . . . . . 13 ((538 · 25) + (29 + 0)) = 13479
18759nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 538 ∈ ℂ
188187mul01i 11352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (538 · 0) = 0
189188oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((538 · 0) + 2) = (0 + 2)
190189, 135, 1423eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((538 · 0) + 2) = 02
1914, 5, 28, 2, 71, 136, 59, 2, 5, 186, 190decma2c 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((538 · 250) + (130 + 162)) = 134792
19230dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . 13 7 = 07
19321dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = 03
194157, 193eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 3) = 03
195172oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((5 · 3) + (0 + 1)) = ((5 · 3) + 1)
19611, 3, 86, 177decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((5 · 3) + 1) = 16
197195, 196eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((5 · 3) + (0 + 1)) = 16
198 3t3e9 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 · 3) = 9
199198oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 · 3) + 3) = (9 + 3)
200 9p3e12 12713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 + 3) = 12
201199, 200eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 3) + 3) = 12
2023, 21, 5, 21, 151, 194, 21, 2, 11, 197, 201decmac 12677 . . . . . . . . . . . . 13 ((53 · 3) + (0 + 3)) = 162
203 8t3e24 12741 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 3) = 24
204 7cn 12254 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℂ
205 7p4e11 12701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 4) = 11
206204, 169, 205addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 7) = 11
2072, 16, 30, 203, 81, 11, 206decaddci 12686 . . . . . . . . . . . . 13 ((8 · 3) + 7) = 31
20858, 18, 5, 30, 141, 192, 21, 11, 21, 202, 207decmac 12677 . . . . . . . . . . . 12 ((538 · 3) + 7) = 1621
2096, 21, 56, 30, 1, 124, 59, 11, 126, 191, 208decma2c 12678 . . . . . . . . . . 11 ((538 · 𝑁) + 1307) = 1347921
210 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 116 = 116
21124, 27deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 69 ∈ ℕ0
212211, 30deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 697 ∈ ℕ0
21330, 5deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 70 ∈ ℕ0
214 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 11 = 11
215 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 697 = 697
21611dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 01
217 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 69 = 69
21894oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 + 6) + 1) = (6 + 1)
219218, 144eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 + 6) + 1) = 7
220 9p1e10 12627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 + 1) = 10
221120, 90, 220addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 9) = 10
2225, 11, 24, 27, 216, 217, 219, 221decaddc2 12681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 69) = 70
223204, 90, 152addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 7) = 8
22411, 11, 211, 30, 214, 215, 222, 223decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . 14 (11 + 697) = 708
225 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 70 = 70
2265, 30, 11, 11, 192, 214, 172, 152decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 + 11) = 18
22730, 5, 52, 24, 225, 210, 226, 94decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (70 + 116) = 186
22863nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 18 ∈ ℂ
229228addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (18 + 0) = 18
230131, 142eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 02
231 1t1e1 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · 1) = 1
232 00id 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 0) = 0
233231, 232oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
234233, 79eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
235231oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
236 1p2e3 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
237235, 236, 1933eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 · 1) + 2) = 03
23811, 11, 5, 2, 214, 230, 11, 21, 5, 234, 237decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((11 · 1) + (1 + 1)) = 13
23993mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (6 · 1) = 6
240239oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
241240, 163eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 · 1) + 8) = 14
24252, 24, 11, 18, 210, 229, 11, 16, 11, 238, 241decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((116 · 1) + (18 + 0)) = 134
243231oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 1) + 6) = (1 + 6)
24493, 90, 144addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 6) = 7
245243, 244, 1923eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 1) + 6) = 07
24661, 11, 63, 24, 70, 227, 11, 30, 5, 242, 245decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1161 · 1) + (70 + 116)) = 1347
24718dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 = 08
2485dec0h 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = 00
249232, 248eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 0) = 00
250231oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 · 1) + 0) = (1 + 0)
251250, 79eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 · 1) + 0) = 1
25211, 11, 5, 5, 214, 249, 11, 251, 251decma 12676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((11 · 1) + (0 + 0)) = 11
253239oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((6 · 1) + 0) = (6 + 0)
25493addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 + 0) = 6
255253, 254, 873eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((6 · 1) + 0) = 06
25652, 24, 5, 5, 210, 249, 11, 24, 5, 252, 255decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((116 · 1) + (0 + 0)) = 116
257231oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 1) + 8) = (1 + 8)
258161, 90, 67addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 8) = 9
259257, 258, 1683eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 1) + 8) = 09
26061, 11, 5, 18, 70, 247, 11, 27, 5, 256, 259decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1161 · 1) + 8) = 1169
26111, 11, 213, 18, 214, 224, 62, 27, 61, 246, 260decma2c 12678 . . . . . . . . . . . . 13 ((1161 · 11) + (11 + 697)) = 13479
262172, 216eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 01
26393mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · 6) = 6
264263, 232oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 · 6) + (0 + 0)) = (6 + 0)
265264, 254eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 6) + (0 + 0)) = 6
266263oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
267266, 132, 1683eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 · 6) + 3) = 09
26811, 11, 5, 21, 214, 194, 24, 27, 5, 265, 267decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((11 · 6) + (0 + 3)) = 69
269 6t6e36 12733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 · 6) = 36
27021, 24, 144, 269decsuc 12656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 · 6) + 1) = 37
27152, 24, 5, 11, 210, 262, 24, 30, 21, 268, 270decmac 12677 . . . . . . . . . . . . . 14 ((116 · 6) + (0 + 1)) = 697
272263oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 6) + 6) = (6 + 6)
273 6p6e12 12699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + 6) = 12
274272, 273eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 6) + 6) = 12
27561, 11, 5, 24, 70, 87, 24, 2, 11, 271, 274decmac 12677 . . . . . . . . . . . . 13 ((1161 · 6) + 6) = 6972
27652, 24, 52, 24, 210, 210, 62, 2, 212, 261, 275decma2c 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((1161 · 116) + 116) = 134792
27762nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . 13 1161 ∈ ℂ
278277mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . 12 (1161 · 1) = 1161
27962, 61, 11, 70, 11, 61, 276, 278decmul2c 12691 . . . . . . . . . . 11 (1161 · 1161) = 1347921
280209, 279eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 ((538 · 𝑁) + 1307) = (1161 · 1161)
2819, 10, 45, 60, 62, 57, 115, 123, 280mod2xi 16948 . . . . . . . . 9 ((2↑38) mod 𝑁) = (1307 mod 𝑁)
282 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 38 = 38
28321, 18, 67, 282decsuc 12656 . . . . . . . . 9 (38 + 1) = 39
284 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 111 = 111
28579, 216eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 0) = 01
28678, 232oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
28777addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 0) = 2
288286, 287eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
2892, 3, 5, 11, 74, 285, 11, 24, 5, 288, 88decma2c 12678 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 25) + (1 + 0)) = 26
29091oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 0) + 1) = (0 + 1)
291290, 172, 2163eqtri 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 0) + 1) = 01
2924, 5, 11, 11, 71, 76, 11, 11, 5, 289, 291decma2c 12678 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 250) + (11 + 0)) = 261
2936, 21, 52, 11, 1, 284, 11, 16, 5, 292, 102decma2c 12678 . . . . . . . . . 10 ((1 · 𝑁) + 111) = 2614
294110oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 2) + 0) = (6 + 0)
295294, 254, 873eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · 2) + 0) = 06
29611, 21, 5, 5, 129, 249, 2, 24, 5, 288, 295decmac 12677 . . . . . . . . . . . 12 ((13 · 2) + (0 + 0)) = 26
29777mul02i 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 2) = 0
298297oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 · 2) + 1) = (0 + 1)
299298, 172, 2163eqtri 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((0 · 2) + 1) = 01
30055, 5, 5, 11, 127, 216, 2, 11, 5, 296, 299decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((130 · 2) + 1) = 261
301 7t2e14 12734 . . . . . . . . . . 11 (7 · 2) = 14
3022, 56, 30, 124, 16, 11, 300, 301decmul1c 12690 . . . . . . . . . 10 (1307 · 2) = 2614
303293, 302eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 ((1 · 𝑁) + 111) = (1307 · 2)
3049, 10, 54, 20, 57, 53, 281, 283, 303modxp1i 16949 . . . . . . . 8 ((2↑39) mod 𝑁) = (111 mod 𝑁)
305 eqid 2737 . . . . . . . . 9 39 = 39
30697, 77, 110mulcomli 11171 . . . . . . . . . . 11 (2 · 3) = 6
307306oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
308307, 144eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((2 · 3) + 1) = 7
3092, 21, 27, 305, 18, 11, 308, 122decmul2c 12691 . . . . . . . 8 (2 · 39) = 78
310 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 2309 = 2309
311 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 230 = 230
31234, 5, 2, 311, 135decaddi 12685 . . . . . . . . . . 11 (230 + 2) = 232
31334nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . 13 23 ∈ ℂ
314313addid1i 11349 . . . . . . . . . . . 12 (23 + 0) = 23
315 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 · 2) = 8
316 2p2e4 12295 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 2) = 4
317315, 316oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 · 2) + (2 + 2)) = (8 + 4)
318 8p4e12 12707 . . . . . . . . . . . . 13 (8 + 4) = 12
319317, 318eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 2) + (2 + 2)) = 12
320 5t4e20 12727 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 · 4) = 20
32183, 169, 320mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 5) = 20
3222, 5, 21, 321, 157decaddi 12685 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 5) + 3) = 23
3232, 3, 2, 21, 74, 314, 16, 21, 2, 319, 322decma2c 12678 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 25) + (23 + 0)) = 123
324169mul01i 11352 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 0) = 0
325324oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 0) + 2) = (0 + 2)
326325, 135, 1423eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 0) + 2) = 02
3274, 5, 34, 2, 71, 312, 16, 2, 5, 323, 326decma2c 12678 . . . . . . . . . 10 ((4 · 250) + (230 + 2)) = 1232
328 4t3e12 12723 . . . . . . . . . . 11 (4 · 3) = 12
32911, 2, 27, 328, 131, 11, 149decaddci 12686 . . . . . . . . . 10 ((4 · 3) + 9) = 21
3306, 21, 48, 27, 1, 310, 16, 11, 2, 327, 329decma2c 12678 . . . . . . . . 9 ((4 · 𝑁) + 2309) = 12321
3315, 11, 11, 11, 216, 214, 172, 131decadd 12679 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 11) = 12
332231oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
333332, 131, 1423eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 1) + 1) = 02
33411, 11, 5, 11, 214, 285, 11, 2, 5, 234, 333decmac 12677 . . . . . . . . . . . 12 ((11 · 1) + (1 + 0)) = 12
33552, 11, 11, 2, 284, 331, 11, 21, 5, 334, 237decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((111 · 1) + (1 + 11)) = 123
33652, 11, 5, 11, 284, 216, 11, 2, 5, 252, 333decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((111 · 1) + 1) = 112
33711, 11, 11, 11, 214, 214, 53, 2, 52, 335, 336decma2c 12678 . . . . . . . . . 10 ((111 · 11) + 11) = 1232
33853nn0cni 12432 . . . . . . . . . . 11 111 ∈ ℂ
339338mulid1i 11166 . . . . . . . . . 10 (111 · 1) = 111
34053, 52, 11, 284, 11, 52, 337, 339decmul2c 12691 . . . . . . . . 9 (111 · 111) = 12321
341330, 340eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 ((4 · 𝑁) + 2309) = (111 · 111)
3429, 10, 50, 51, 53, 49, 304, 309, 341mod2xi 16948 . . . . . . 7 ((2↑78) mod 𝑁) = (2309 mod 𝑁)
343 eqid 2737 . . . . . . . 8 78 = 78
344 4p1e5 12306 . . . . . . . . 9 (4 + 1) = 5
345204, 77, 301mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (2 · 7) = 14
34611, 16, 344, 345decsuc 12656 . . . . . . . 8 ((2 · 7) + 1) = 15
347161, 77, 108mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (2 · 8) = 16
3482, 30, 18, 343, 24, 11, 346, 347decmul2c 12691 . . . . . . 7 (2 · 78) = 156
349 eqid 2737 . . . . . . . . 9 194 = 194
3502, 16deccl 12640 . . . . . . . . . 10 24 ∈ ℕ0
351 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 24 = 24
3522, 16, 344, 351decsuc 12656 . . . . . . . . . 10 (24 + 1) = 25
353 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 23 = 23
3542, 21, 100, 353decsuc 12656 . . . . . . . . . . 11 (23 + 1) = 24
35534, 5, 11, 27, 311, 116, 354, 183decadd 12679 . . . . . . . . . 10 (230 + 19) = 249
356350, 352, 355decsucc 12666 . . . . . . . . 9 ((230 + 19) + 1) = 250
357 9p4e13 12714 . . . . . . . . 9 (9 + 4) = 13
35848, 27, 45, 16, 310, 349, 356, 21, 357decaddc 12680 . . . . . . . 8 (2309 + 194) = 2503
359358, 1eqtr4i 2768 . . . . . . 7 (2309 + 194) = 𝑁
360 eqid 2737 . . . . . . . . 9 91 = 91
361 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 15 = 15
362204addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 7) = 7
363362, 192eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 7) = 07
36478, 172oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
365364, 81eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
36611, 5, 30, 156, 362decaddi 12685 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · 2) + 7) = 17
36711, 3, 5, 30, 361, 363, 2, 30, 11, 365, 366decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((15 · 2) + (0 + 7)) = 37
36884, 135oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
369 5p2e7 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 2) = 7
370368, 369eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
37111, 3, 5, 11, 361, 216, 3, 24, 2, 370, 175decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((15 · 5) + 1) = 76
3722, 3, 5, 11, 74, 285, 39, 24, 30, 367, 371decma2c 12678 . . . . . . . . . 10 ((15 · 25) + (1 + 0)) = 376
37339nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . 13 15 ∈ ℂ
374373mul01i 11352 . . . . . . . . . . . 12 (15 · 0) = 0
375374oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((15 · 0) + 3) = (0 + 3)
376375, 157, 1933eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 ((15 · 0) + 3) = 03
3774, 5, 11, 21, 71, 357, 39, 21, 5, 372, 376decma2c 12678 . . . . . . . . 9 ((15 · 250) + (9 + 4)) = 3763
37898, 172oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
379378, 100eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
38011, 3, 5, 11, 361, 216, 21, 24, 11, 379, 196decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((15 · 3) + 1) = 46
3816, 21, 27, 11, 1, 360, 39, 24, 16, 377, 380decma2c 12678 . . . . . . . 8 ((15 · 𝑁) + 91) = 37636
38245, 16deccl 12640 . . . . . . . . 9 194 ∈ ℕ0
383 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 77 = 77
38411, 30deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 17 ∈ ℕ0
385384, 3deccl 12640 . . . . . . . . . 10 175 ∈ ℕ0
386 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 175 = 175
387384nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 17 ∈ ℂ
388387addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 17) = 17
38911, 30, 152, 388decsuc 12656 . . . . . . . . . . . 12 ((0 + 17) + 1) = 18
390 7p5e12 12702 . . . . . . . . . . . 12 (7 + 5) = 12
3915, 30, 384, 3, 192, 386, 389, 2, 390decaddc 12680 . . . . . . . . . . 11 (7 + 175) = 182
392231, 131oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 1) + (1 + 1)) = (1 + 2)
393392, 236eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 1) + (1 + 1)) = 3
394120mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 · 1) = 9
395394oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 · 1) + 8) = (9 + 8)
396 9p8e17 12718 . . . . . . . . . . . . 13 (9 + 8) = 17
397395, 396eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((9 · 1) + 8) = 17
39811, 27, 11, 18, 116, 229, 11, 30, 11, 393, 397decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((19 · 1) + (18 + 0)) = 37
399169mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . 13 (4 · 1) = 4
400399oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((4 · 1) + 2) = (4 + 2)
401 4p2e6 12313 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 2) = 6
402400, 401, 873eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 1) + 2) = 06
40345, 16, 63, 2, 349, 391, 11, 24, 5, 398, 402decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((194 · 1) + (7 + 175)) = 376
404120mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 · 9) = 9
405161addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 8) = 8
406404, 405oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 9) + (0 + 8)) = (9 + 8)
407406, 396eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 9) + (0 + 8)) = 17
408 9t9e81 12754 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 9) = 81
409169, 90, 344addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 4) = 5
41018, 11, 16, 408, 409decaddi 12685 . . . . . . . . . . . 12 ((9 · 9) + 4) = 85
41111, 27, 5, 16, 116, 171, 27, 3, 18, 407, 410decmac 12677 . . . . . . . . . . 11 ((19 · 9) + (0 + 4)) = 175
412 9t4e36 12749 . . . . . . . . . . . . 13 (9 · 4) = 36
413120, 169, 412mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 9) = 36
414 7p6e13 12703 . . . . . . . . . . . . 13 (7 + 6) = 13
415204, 93, 414addcomli 11354 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 7) = 13
41621, 24, 30, 413, 100, 21, 415decaddci 12686 . . . . . . . . . . 11 ((4 · 9) + 7) = 43
41745, 16, 5, 30, 349, 192, 27, 21, 16, 411, 416decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((194 · 9) + 7) = 1753
41811, 27, 30, 30, 116, 383, 382, 21, 385, 403, 417decma2c 12678 . . . . . . . . 9 ((194 · 19) + 77) = 3763
419169mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 4) = 4
420419, 157oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((1 · 4) + (0 + 3)) = (4 + 3)
421 4p3e7 12314 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 3) = 7
422420, 421eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((1 · 4) + (0 + 3)) = 7
42321, 24, 144, 412decsuc 12656 . . . . . . . . . . 11 ((9 · 4) + 1) = 37
42411, 27, 5, 11, 116, 216, 16, 30, 21, 422, 423decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((19 · 4) + 1) = 77
425 4t4e16 12724 . . . . . . . . . 10 (4 · 4) = 16
42616, 45, 16, 349, 24, 11, 424, 425decmul1c 12690 . . . . . . . . 9 (194 · 4) = 776
427382, 45, 16, 349, 24, 37, 418, 426decmul2c 12691 . . . . . . . 8 (194 · 194) = 37636
428381, 427eqtr4i 2768 . . . . . . 7 ((15 · 𝑁) + 91) = (194 · 194)
42910, 43, 44, 47, 42, 49, 342, 348, 359, 428mod2xnegi 16950 . . . . . 6 ((2↑156) mod 𝑁) = (91 mod 𝑁)
430 eqid 2737 . . . . . . 7 156 = 156
431117, 172oveq12i 7374 . . . . . . . . 9 ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
432431, 81eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
43383, 77, 156mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (2 · 5) = 10
43411, 5, 172, 433decsuc 12656 . . . . . . . 8 ((2 · 5) + 1) = 11
43511, 3, 5, 11, 361, 216, 2, 11, 11, 432, 434decma2c 12678 . . . . . . 7 ((2 · 15) + 1) = 31
436 6t2e12 12729 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
43793, 77, 436mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
4382, 39, 24, 430, 2, 11, 435, 437decmul2c 12691 . . . . . 6 (2 · 156) = 312
439 eqid 2737 . . . . . . . 8 772 = 772
44030, 30, 152, 383decsuc 12656 . . . . . . . . 9 (77 + 1) = 78
441204addid1i 11349 . . . . . . . . . . 11 (7 + 0) = 7
442441, 192eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (7 + 0) = 07
443110, 135oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
444 6p2e8 12319 . . . . . . . . . . 11 (6 + 2) = 8
445443, 444eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
446204, 83, 390addcomli 11354 . . . . . . . . . . 11 (5 + 7) = 12
44711, 3, 30, 178, 131, 2, 446decaddci 12686 . . . . . . . . . 10 ((3 · 5) + 7) = 22
4482, 3, 5, 30, 74, 442, 21, 2, 2, 445, 447decma2c 12678 . . . . . . . . 9 ((3 · 25) + (7 + 0)) = 82
44997mul01i 11352 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
450449oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((3 · 0) + 8) = (0 + 8)
451450, 405, 2473eqtri 2769 . . . . . . . . 9 ((3 · 0) + 8) = 08
4524, 5, 30, 18, 71, 440, 21, 18, 5, 448, 451decma2c 12678 . . . . . . . 8 ((3 · 250) + (77 + 1)) = 828
453198oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
454453, 148eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((3 · 3) + 2) = 11
4556, 21, 37, 2, 1, 439, 21, 11, 11, 452, 454decma2c 12678 . . . . . . 7 ((3 · 𝑁) + 772) = 8281
45618, 11, 131, 408decsuc 12656 . . . . . . . . 9 ((9 · 9) + 1) = 82
457404oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
458 9p9e18 12719 . . . . . . . . . 10 (9 + 9) = 18
459457, 458eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 9) = 18
46027, 11, 27, 360, 27, 18, 11, 456, 459decrmac 12683 . . . . . . . 8 ((91 · 9) + 9) = 828
46142nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 91 ∈ ℂ
462461mulid1i 11166 . . . . . . . 8 (91 · 1) = 91
46342, 27, 11, 360, 11, 27, 460, 462decmul2c 12691 . . . . . . 7 (91 · 91) = 8281
464455, 463eqtr4i 2768 . . . . . 6 ((3 · 𝑁) + 772) = (91 · 91)
4659, 10, 40, 41, 42, 38, 429, 438, 464mod2xi 16948 . . . . 5 ((2↑312) mod 𝑁) = (772 mod 𝑁)
466 eqid 2737 . . . . . 6 312 = 312
467 eqid 2737 . . . . . . . . 9 31 = 31
468306oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((2 · 3) + 0) = (6 + 0)
469468, 254eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((2 · 3) + 0) = 6
470117, 142eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 02
4712, 21, 11, 467, 2, 5, 469, 470decmul2c 12691 . . . . . . . 8 (2 · 31) = 62
472471oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((2 · 31) + 0) = (62 + 0)
47325nn0cni 12432 . . . . . . . 8 62 ∈ ℂ
474473addid1i 11349 . . . . . . 7 (62 + 0) = 62
475472, 474eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 31) + 0) = 62
476112, 101eqtri 2765 . . . . . 6 (2 · 2) = 04
4772, 22, 2, 466, 16, 5, 475, 476decmul2c 12691 . . . . 5 (2 · 312) = 624
478 eqid 2737 . . . . . . 7 270 = 270
47930, 11deccl 12640 . . . . . . 7 71 ∈ ℕ0
480 eqid 2737 . . . . . . . . 9 71 = 71
481 7p2e9 12321 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
482204, 77, 481addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
4832, 30, 30, 11, 153, 480, 482, 152decadd 12679 . . . . . . . 8 (27 + 71) = 98
484120addid1i 11349 . . . . . . . . . 10 (9 + 0) = 9
485484, 168eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (9 + 0) = 09
48652, 27deccl 12640 . . . . . . . . 9 119 ∈ ℕ0
487 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 238 = 238
488486nn0cni 12432 . . . . . . . . . . 11 119 ∈ ℂ
489488addid2i 11350 . . . . . . . . . 10 (0 + 119) = 119
49011, 11, 2, 214, 236decaddi 12685 . . . . . . . . . . 11 (11 + 2) = 13
491112, 79oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 2) + (1 + 0)) = (4 + 1)
492491, 344eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 2) + (1 + 0)) = 5
493110oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((3 · 2) + 3) = (6 + 3)
494493, 132, 1683eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + 3) = 09
4952, 21, 11, 21, 353, 490, 2, 27, 5, 492, 494decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((23 · 2) + (11 + 2)) = 59
496 9p6e15 12716 . . . . . . . . . . . 12 (9 + 6) = 15
497120, 93, 496addcomli 11354 . . . . . . . . . . 11 (6 + 9) = 15
49811, 24, 27, 108, 131, 3, 497decaddci 12686 . . . . . . . . . 10 ((8 · 2) + 9) = 25
49934, 18, 52, 27, 487, 489, 2, 3, 2, 495, 498decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((238 · 2) + (0 + 119)) = 595
500172oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 5) + (0 + 1)) = ((2 · 5) + 1)
501500, 434eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 5) + (0 + 1)) = 11
5022, 21, 5, 16, 353, 171, 3, 27, 11, 501, 180decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((23 · 5) + (0 + 4)) = 119
50334, 18, 5, 27, 487, 168, 3, 27, 16, 502, 184decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((238 · 5) + 9) = 1199
5042, 3, 5, 27, 74, 485, 35, 27, 486, 499, 503decma2c 12678 . . . . . . . 8 ((238 · 25) + (9 + 0)) = 5959
50535nn0cni 12432 . . . . . . . . . . 11 238 ∈ ℂ
506505mul01i 11352 . . . . . . . . . 10 (238 · 0) = 0
507506oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((238 · 0) + 8) = (0 + 8)
508507, 405, 2473eqtri 2769 . . . . . . . 8 ((238 · 0) + 8) = 08
5094, 5, 27, 18, 71, 483, 35, 18, 5, 504, 508decma2c 12678 . . . . . . 7 ((238 · 250) + (27 + 71)) = 59598
510306, 172oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 3) + (0 + 1)) = (6 + 1)
511510, 144eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 3) + (0 + 1)) = 7
5122, 21, 5, 2, 353, 142, 21, 11, 11, 511, 454decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((23 · 3) + 2) = 71
51321, 34, 18, 487, 16, 2, 512, 203decmul1c 12690 . . . . . . . . 9 (238 · 3) = 714
514513oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((238 · 3) + 0) = (714 + 0)
515479, 16deccl 12640 . . . . . . . . . 10 714 ∈ ℕ0
516515nn0cni 12432 . . . . . . . . 9 714 ∈ ℂ
517516addid1i 11349 . . . . . . . 8 (714 + 0) = 714
518514, 517eqtri 2765 . . . . . . 7 ((238 · 3) + 0) = 714
5196, 21, 31, 5, 1, 478, 35, 16, 479, 509, 518decma2c 12678 . . . . . 6 ((238 · 𝑁) + 270) = 595984
52039, 16deccl 12640 . . . . . . 7 154 ∈ ℕ0
521 eqid 2737 . . . . . . . 8 154 = 154
5223, 16deccl 12640 . . . . . . . . 9 54 ∈ ℕ0
523522, 5deccl 12640 . . . . . . . 8 540 ∈ ℕ0
5243, 3deccl 12640 . . . . . . . . 9 55 ∈ ℕ0
525 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 540 = 540
526 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 54 = 54
52783addid2i 11350 . . . . . . . . . . 11 (0 + 5) = 5
5285, 11, 3, 16, 216, 526, 527, 409decadd 12679 . . . . . . . . . 10 (1 + 54) = 55
52983addid1i 11349 . . . . . . . . . 10 (5 + 0) = 5
53011, 3, 522, 5, 361, 525, 528, 529decadd 12679 . . . . . . . . 9 (15 + 540) = 555
531 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 55 = 55
5323, 3, 86, 531decsuc 12656 . . . . . . . . . 10 (55 + 1) = 56
533 7t7e49 12739 . . . . . . . . . . 11 (7 · 7) = 49
534 5p5e10 12696 . . . . . . . . . . 11 (5 + 5) = 10
53516, 27, 11, 5, 533, 534, 344, 484decadd 12679 . . . . . . . . . 10 ((7 · 7) + (5 + 5)) = 59
53616, 27, 24, 533, 344, 3, 496decaddci 12686 . . . . . . . . . 10 ((7 · 7) + 6) = 55
53730, 30, 3, 24, 383, 532, 30, 3, 3, 535, 536decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((77 · 7) + (55 + 1)) = 595
53883, 169, 179addcomli 11354 . . . . . . . . . 10 (4 + 5) = 9
53911, 16, 3, 345, 538decaddi 12685 . . . . . . . . 9 ((2 · 7) + 5) = 19
54037, 2, 524, 3, 439, 530, 30, 27, 11, 537, 539decmac 12677 . . . . . . . 8 ((772 · 7) + (15 + 540)) = 5959
541527oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 ((7 · 7) + (0 + 5)) = ((7 · 7) + 5)
542 9p5e14 12715 . . . . . . . . . . . 12 (9 + 5) = 14
54316, 27, 3, 533, 344, 16, 542decaddci 12686 . . . . . . . . . . 11 ((7 · 7) + 5) = 54
544541, 543eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((7 · 7) + (0 + 5)) = 54
54516, 344, 533decsucc 12666 . . . . . . . . . 10 ((7 · 7) + 1) = 50
54630, 30, 5, 11, 383, 262, 30, 5, 3, 544, 545decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((77 · 7) + (0 + 1)) = 540
547 4p4e8 12315 . . . . . . . . . 10 (4 + 4) = 8
54811, 16, 16, 345, 547decaddi 12685 . . . . . . . . 9 ((2 · 7) + 4) = 18
54937, 2, 5, 16, 439, 101, 30, 18, 11, 546, 548decmac 12677 . . . . . . . 8 ((772 · 7) + 4) = 5408
55030, 30, 39, 16, 383, 521, 38, 18, 523, 540, 549decma2c 12678 . . . . . . 7 ((772 · 77) + 154) = 59598
55111, 16, 344, 301decsuc 12656 . . . . . . . . 9 ((7 · 2) + 1) = 15
5522, 30, 30, 383, 16, 11, 551, 301decmul1c 12690 . . . . . . . 8 (77 · 2) = 154
5532, 37, 2, 439, 552, 112decmul1 12689 . . . . . . 7 (772 · 2) = 1544
55438, 37, 2, 439, 16, 520, 550, 553decmul2c 12691 . . . . . 6 (772 · 772) = 595984
555519, 554eqtr4i 2768 . . . . 5 ((238 · 𝑁) + 270) = (772 · 772)
5569, 10, 33, 36, 38, 32, 465, 477, 555mod2xi 16948 . . . 4 ((2↑624) mod 𝑁) = (270 mod 𝑁)
557 eqid 2737 . . . . 5 624 = 624
558 eqid 2737 . . . . . . . 8 62 = 62
559437oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((2 · 6) + 0) = (12 + 0)
56012nn0cni 12432 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℂ
561560addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (12 + 0) = 12
562559, 561eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 6) + 0) = 12
5632, 24, 2, 558, 16, 5, 562, 476decmul2c 12691 . . . . . . 7 (2 · 62) = 124
564563oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2 · 62) + 0) = (124 + 0)
56517nn0cni 12432 . . . . . . 7 124 ∈ ℂ
566565addid1i 11349 . . . . . 6 (124 + 0) = 124
567564, 566eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 62) + 0) = 124
568169, 77, 315mulcomli 11171 . . . . . 6 (2 · 4) = 8
569568, 247eqtri 2765 . . . . 5 (2 · 4) = 08
5702, 25, 16, 557, 18, 5, 567, 569decmul2c 12691 . . . 4 (2 · 624) = 1248
571 eqid 2737 . . . . . 6 313 = 313
57221, 11, 27, 467, 100, 221decaddci2 12687 . . . . . . 7 (31 + 9) = 40
573169addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (4 + 0) = 4
574573, 101eqtri 2765 . . . . . . . 8 (4 + 0) = 04
57511, 16deccl 12640 . . . . . . . 8 14 ∈ ℕ0
576 eqid 2737 . . . . . . . . 9 29 = 29
577575nn0cni 12432 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℂ
578577addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 14) = 14
579112, 236oveq12i 7374 . . . . . . . . . 10 ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
580579, 421eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
58111, 18, 16, 121, 131, 2, 318decaddci 12686 . . . . . . . . 9 ((9 · 2) + 4) = 22
5822, 27, 11, 16, 576, 578, 2, 2, 2, 580, 581decmac 12677 . . . . . . . 8 ((29 · 2) + (0 + 14)) = 72
58311, 5, 16, 433, 170decaddi 12685 . . . . . . . . 9 ((2 · 5) + 4) = 14
584 9t5e45 12750 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
58516, 3, 16, 584, 179decaddi 12685 . . . . . . . . 9 ((9 · 5) + 4) = 49
5862, 27, 16, 576, 3, 27, 16, 583, 585decrmac 12683 . . . . . . . 8 ((29 · 5) + 4) = 149
5872, 3, 5, 16, 74, 574, 28, 27, 575, 582, 586decma2c 12678 . . . . . . 7 ((29 · 25) + (4 + 0)) = 729
588137mul01i 11352 . . . . . . . . 9 (29 · 0) = 0
589588oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((29 · 0) + 0) = (0 + 0)
590589, 232, 2483eqtri 2769 . . . . . . 7 ((29 · 0) + 0) = 00
5914, 5, 16, 5, 71, 572, 28, 5, 5, 587, 590decma2c 12678 . . . . . 6 ((29 · 250) + (31 + 9)) = 7290
592306, 157oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((2 · 3) + (0 + 3)) = (6 + 3)
593592, 132eqtri 2765 . . . . . . 7 ((2 · 3) + (0 + 3)) = 9
594 9t3e27 12748 . . . . . . . 8 (9 · 3) = 27
595 7p3e10 12700 . . . . . . . 8 (7 + 3) = 10
5962, 30, 21, 594, 81, 595decaddci2 12687 . . . . . . 7 ((9 · 3) + 3) = 30
5972, 27, 5, 21, 576, 193, 21, 5, 21, 593, 596decmac 12677 . . . . . 6 ((29 · 3) + 3) = 90
5986, 21, 22, 21, 1, 571, 28, 5, 27, 591, 597decma2c 12678 . . . . 5 ((29 · 𝑁) + 313) = 72900
59963, 27deccl 12640 . . . . . . . . 9 189 ∈ ℕ0
600 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 189 = 189
601161, 169, 318addcomli 11354 . . . . . . . . . . . 12 (4 + 8) = 12
60211, 16, 18, 301, 131, 2, 601decaddci 12686 . . . . . . . . . . 11 ((7 · 2) + 8) = 22
6032, 30, 11, 18, 153, 229, 2, 2, 2, 580, 602decmac 12677 . . . . . . . . . 10 ((27 · 2) + (18 + 0)) = 72
604297oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 2) + 9) = (0 + 9)
605604, 183, 1683eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 ((0 · 2) + 9) = 09
60631, 5, 63, 27, 478, 600, 2, 27, 5, 603, 605decmac 12677 . . . . . . . . 9 ((270 · 2) + 189) = 729
60730, 2, 30, 153, 27, 16, 548, 533decmul1c 12690 . . . . . . . . . 10 (27 · 7) = 189
608204mul02i 11351 . . . . . . . . . 10 (0 · 7) = 0
60930, 31, 5, 478, 607, 608decmul1 12689 . . . . . . . . 9 (270 · 7) = 1890
61032, 2, 30, 153, 5, 599, 606, 609decmul2c 12691 . . . . . . . 8 (270 · 27) = 7290
611610oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((270 · 27) + 0) = (7290 + 0)
61230, 2deccl 12640 . . . . . . . . . . 11 72 ∈ ℕ0
613612, 27deccl 12640 . . . . . . . . . 10 729 ∈ ℕ0
614613, 5deccl 12640 . . . . . . . . 9 7290 ∈ ℕ0
615614nn0cni 12432 . . . . . . . 8 7290 ∈ ℂ
616615addid1i 11349 . . . . . . 7 (7290 + 0) = 7290
617611, 616eqtri 2765 . . . . . 6 ((270 · 27) + 0) = 7290
61832nn0cni 12432 . . . . . . . 8 270 ∈ ℂ
619618mul01i 11352 . . . . . . 7 (270 · 0) = 0
620619, 248eqtri 2765 . . . . . 6 (270 · 0) = 00
62132, 31, 5, 478, 5, 5, 617, 620decmul2c 12691 . . . . 5 (270 · 270) = 72900
622598, 621eqtr4i 2768 . . . 4 ((29 · 𝑁) + 313) = (270 · 270)
6239, 10, 26, 29, 32, 23, 556, 570, 622mod2xi 16948 . . 3 ((2↑1248) mod 𝑁) = (313 mod 𝑁)
624 cu2 14111 . . . 4 (2↑3) = 8
625624oveq1i 7372 . . 3 ((2↑3) mod 𝑁) = (8 mod 𝑁)
626 eqid 2737 . . . 4 1248 = 1248
627 eqid 2737 . . . . 5 124 = 124
62812, 16, 344, 627decsuc 12656 . . . 4 (124 + 1) = 125
629 8p3e11 12706 . . . 4 (8 + 3) = 11
63017, 18, 21, 626, 628, 11, 629decaddci 12686 . . 3 (1248 + 3) = 1251
6319nncni 12170 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
632631mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 𝑁) = 𝑁
633632, 1eqtri 2765 . . . . 5 (1 · 𝑁) = 2503
6346, 21, 100, 633decsuc 12656 . . . 4 ((1 · 𝑁) + 1) = 2504
635161, 97, 203mulcomli 11171 . . . . . . 7 (3 · 8) = 24
6362, 16, 344, 635decsuc 12656 . . . . . 6 ((3 · 8) + 1) = 25
637161mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 8) = 8
638637oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((1 · 8) + 2) = (8 + 2)
639 8p2e10 12705 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
640638, 639eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 8) + 2) = 10
64121, 11, 2, 467, 18, 5, 11, 636, 640decrmac 12683 . . . . 5 ((31 · 8) + 2) = 250
64218, 22, 21, 571, 16, 2, 641, 635decmul1c 12690 . . . 4 (313 · 8) = 2504
643634, 642eqtr4i 2768 . . 3 ((1 · 𝑁) + 1) = (313 · 8)
6449, 10, 19, 20, 23, 11, 21, 18, 623, 625, 630, 643modxai 16947 . 2 ((2↑1251) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
645 eqid 2737 . . . 4 1251 = 1251
646 eqid 2737 . . . . . 6 125 = 125
647 eqid 2737 . . . . . . 7 12 = 12
648117, 232oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + (0 + 0)) = (2 + 0)
649648, 287eqtri 2765 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (0 + 0)) = 2
650112oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
6513dec0h 12647 . . . . . . . 8 5 = 05
652650, 344, 6513eqtri 2769 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = 05
65311, 2, 5, 11, 647, 216, 2, 3, 5, 649, 652decma2c 12678 . . . . . 6 ((2 · 12) + 1) = 25
6542, 12, 3, 646, 5, 11, 653, 433decmul2c 12691 . . . . 5 (2 · 125) = 250
6554, 5, 5, 654, 232decaddi 12685 . . . 4 ((2 · 125) + 0) = 250
6562, 13, 11, 645, 2, 5, 655, 470decmul2c 12691 . . 3 (2 · 1251) = 2502
6576, 2deccl 12640 . . . . 5 2502 ∈ ℕ0
658657nn0cni 12432 . . . 4 2502 ∈ ℂ
659 eqid 2737 . . . . . 6 2502 = 2502
6606, 2, 81, 659decsuc 12656 . . . . 5 (2502 + 1) = 2503
6611, 660eqtr4i 2768 . . . 4 𝑁 = (2502 + 1)
662658, 90, 661mvrraddi 11425 . . 3 (𝑁 − 1) = 2502
663656, 662eqtr4i 2768 . 2 (2 · 1251) = (𝑁 − 1)
664631mul02i 11351 . . . 4 (0 · 𝑁) = 0
665664oveq1i 7372 . . 3 ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
666231, 172eqtr4i 2768 . . 3 (1 · 1) = (0 + 1)
667665, 666eqtr4i 2768 . 2 ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
6689, 10, 14, 15, 11, 11, 644, 663, 667mod2xi 16948 1 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625   mod cmo 13781  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  2503prm  17019
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