Theorem 43prm 17049

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12420	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12224	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12627	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12424	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12419	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12417	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12744	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12240	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12743	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12645	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12636	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12228	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12746	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12645	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12220	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11137	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12209	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16991	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12156	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12226	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11136	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11084	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12285	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12282	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12230	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12705	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12638	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12660	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12313	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12318	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16992	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12237	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12422	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12720	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12638	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12331	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12631	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11137	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11320	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11320	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12629	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11659	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12635	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12307	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12696	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12645	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12243	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12409	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12409	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12275	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12716	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12265	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12155	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11325	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12668	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12738	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12645	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12409	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12729	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12690	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12668	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12742	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12645	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12218	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12631	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12155	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11136	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12661	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12250	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12635	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17047	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  bpos1  27250