Theorem 43prm 16454

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11915	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 11715	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12117	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 11919	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12112	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11914	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11912	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12234	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11731	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12233	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12135	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12126	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 11719	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12236	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12135	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 11711	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10645	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 11700	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16398	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12112	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 11648	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 11911	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 11717	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10644	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 10594	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10827	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 11781	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 11913	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 11778	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 11721	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12195	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 10649	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12128	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12150	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 11809	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 11814	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16399	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 11728	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 11917	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12210	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12128	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 11827	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12121	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 10645	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 10826	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7165	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 10826	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12119	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2848	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12149	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11161	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12125	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 11803	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7165	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12186	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12149	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12135	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 11734	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 11904	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 11904	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 10827	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7167	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 11771	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12206	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 11761	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 11647	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 10831	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12158	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12149	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12228	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12135	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 11722	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 11904	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12119	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12219	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12180	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12158	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12149	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12232	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12135	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12117	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 11709	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12121	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 11647	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 10644	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12151	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 11741	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12125	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 15762	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 16452	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  5c5 11694  6c6 11695  7c7 11696  8c8 11697  9c9 11698  ;cdc 12097  ℙcprime 16014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16015

This theorem is referenced by:  bpos1  25858