Theorem 43prm 16751

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12182	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 11982	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12386	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12186	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12181	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12179	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12503	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11998	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12502	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12404	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12395	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 11986	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12505	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12404	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 11978	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10911	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 11967	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16692	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 11984	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10910	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 10860	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11093	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12048	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12045	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 11988	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12464	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 10915	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12397	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12419	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12076	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12081	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16693	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 11995	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12184	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12479	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12397	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12094	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12390	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 10911	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 11092	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 11092	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12388	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2770	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11427	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12394	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12070	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12455	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12404	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12001	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12171	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12171	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 11093	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12038	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12475	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12028	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11097	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12427	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12497	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12404	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 11989	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12171	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12388	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12488	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12449	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12427	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12418	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12501	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12404	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 11976	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12390	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 11913	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 10910	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12420	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12008	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12394	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 16749	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  bpos1  26336