Theorem 43prm 17091

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12522	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12322	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12728	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12526	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12521	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12519	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12845	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12338	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12844	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12746	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12737	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12326	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12847	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12746	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12318	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11250	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12307	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17032	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12723	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12254	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12518	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12730	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11249	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11433	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12388	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12385	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12328	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12806	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11254	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12739	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12761	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12416	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12421	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17033	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12335	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12524	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12821	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12739	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12434	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12728	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12732	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11250	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11432	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11432	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12730	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12760	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11767	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12736	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12728	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12730	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12410	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12797	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12760	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12746	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12728	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12341	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12511	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12511	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12730	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11433	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7432	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12378	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12817	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12368	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12253	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11437	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12769	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12760	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12839	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12746	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12728	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12329	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12511	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12730	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12830	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12791	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12769	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12760	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12843	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12746	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12728	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12316	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12732	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12253	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11249	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12762	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12348	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12736	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17089	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  7c7 12303  8c8 12304  9c9 12305  ;cdc 12708  ℙcprime 16642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-prm 16643

This theorem is referenced by:  bpos1  27229