Theorem 43prm 16851

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12280	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12080	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12485	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12284	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12480	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12279	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12602	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12096	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12601	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12503	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12494	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12084	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12604	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12503	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12076	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 11008	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12065	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16792	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12480	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12012	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12276	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12487	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12082	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 11007	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 10957	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 11191	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7307	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12146	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12278	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12143	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12086	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12563	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11012	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12496	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12518	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12174	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12179	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16793	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12093	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12282	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12578	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12496	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12192	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12485	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12489	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 11008	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 11190	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7307	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7305	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 11190	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12487	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12517	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11525	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12493	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12485	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12487	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7307	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12168	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7305	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12554	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12517	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12503	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12485	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12099	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12269	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12269	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12487	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 11191	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7307	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12136	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12574	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12126	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12011	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11195	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12526	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12517	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12596	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12503	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12485	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12087	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12269	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12487	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12587	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12548	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12526	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12517	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12600	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12503	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12485	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12074	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12489	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12011	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 11007	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12519	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12106	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12493	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 16849	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2101  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902   · cmul 10904  2c2 12056  3c3 12057  4c4 12058  5c5 12059  6c6 12060  7c7 12061  8c8 12062  9c9 12063  ;cdc 12465  ℙcprime 16404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fz 13268  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-dvds 15992  df-prm 16405

This theorem is referenced by:  bpos1  26459