Theorem 43prm 16284

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11764	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 11564	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11967	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 11768	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11763	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11761	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12085	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11580	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12084	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 11985	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11976	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 11568	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12087	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 11985	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 11560	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10492	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 11549	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16228	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 11497	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 11760	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 11969	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 11566	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10491	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 10441	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10675	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 11630	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 11762	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 11627	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 11570	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12046	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 10496	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 11978	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12000	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 11658	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 11663	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16229	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 11577	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 11766	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12061	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 11978	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 11676	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 11971	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 10492	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 10674	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 10674	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 11969	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2823	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11010	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 11975	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 11969	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 11652	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12037	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 11985	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 11583	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 11753	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 11753	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 11969	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 10675	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 11620	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12057	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 11610	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 11496	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 10679	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12008	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12079	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 11985	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 11571	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 11753	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 11969	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12070	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12031	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12008	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12083	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 11985	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 11558	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 11971	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 11496	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 10491	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12001	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 11590	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 11975	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 16282	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  ;cdc 11947  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  bpos1  25541