MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 16060
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11598 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 11392 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11799 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 11602 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 11794 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11597 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11595 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 11916 . . 3 3 < 10
9 8nn 11413 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 11915 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 11817 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11808 . 2 43 < 841
13 4nn 11397 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 11918 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 11817 . 2 1 < 43
16 2cn 11388 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 10340 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 11377 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 16004 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 11794 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 11328 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 11594 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2817 . . . 4 14 = 14
247dec0h 11801 . . . 4 1 = 01
25 3cn 11394 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 10339 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 10289 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 6896 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 11464 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2839 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 11596 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 11462 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 11399 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 11877 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 10344 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 11810 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 11832 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 11492 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 15375 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 11497 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 16005 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 11409 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 11600 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 11892 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 11810 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 11510 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 15375 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 11799 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 11803 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2817 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2817 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 10518 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 6894 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 10518 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 11801 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2843 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11831 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 10845 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 11807 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 15375 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 11799 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2817 . . . 4 13 = 13
671dec0h 11801 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 11486 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 6894 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 11868 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2839 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11831 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 11817 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 15375 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 11799 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 11417 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 11587 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 11587 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2817 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 11801 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 11455 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 11888 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 11445 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 11326 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 10523 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 11840 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11831 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 11910 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 11817 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 15375 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 11799 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 11401 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 11587 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2817 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 11801 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 11901 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 11862 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 11840 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11831 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 11914 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 11817 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 15375 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 11799 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 11386 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 11803 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 11326 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 10339 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2817 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 11833 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 11425 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 11807 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 15375 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 16058 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779  cprime 15623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-prm 15624
This theorem is referenced by:  bpos1  25245
  Copyright terms: Public domain W3C validator