Theorem 43prm 17159

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12545	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12345	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12753	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12549	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12544	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12542	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12870	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12361	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12869	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12771	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12762	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12349	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12872	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12771	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11266	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12330	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17101	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12755	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11265	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11449	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12411	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12408	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12351	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12831	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11270	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12764	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12786	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12439	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12444	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17102	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12358	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12547	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12846	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12764	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12457	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12757	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11266	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11448	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11448	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12755	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12785	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11785	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12761	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12755	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12433	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12822	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12785	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12771	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12364	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12534	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12534	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12755	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11449	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12401	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12842	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12391	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12276	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11453	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12794	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12785	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12864	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12771	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12352	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12534	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12755	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12855	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12816	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12794	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12785	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12868	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12771	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12757	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12276	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11265	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12787	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12371	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12761	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17157	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  bpos1  27327