Theorem 43prm 17033

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12400	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12204	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12608	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12404	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12603	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12399	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12397	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12725	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12220	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12724	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12626	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12617	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12208	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12727	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12626	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12200	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11117	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12189	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16975	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12603	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12136	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12396	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12610	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12206	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11116	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11064	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11301	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12265	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12398	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12262	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12210	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12686	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11121	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12619	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12641	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12293	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12298	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16976	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12217	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12402	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12701	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12619	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12311	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12612	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11117	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11300	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11300	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12610	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12640	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11639	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12616	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12610	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12287	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12677	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12640	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12626	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12223	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12389	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12389	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12610	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11301	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12255	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12697	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12245	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12135	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11305	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12649	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12640	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12719	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12626	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12211	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12389	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12610	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12710	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12671	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12649	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12640	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12723	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12626	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12198	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12612	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12135	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11116	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12642	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12230	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12616	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16323	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17031	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  5c5 12183  6c6 12184  7c7 12185  8c8 12186  9c9 12187  ;cdc 12588  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  bpos1  27222