MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 16284
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11764 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 11564 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11967 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 11768 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 11962 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 11763 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 11761 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12085 . . 3 3 < 10
9 8nn 11580 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 12084 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 11985 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 11976 . 2 43 < 841
13 4nn 11568 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 12087 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 11985 . 2 1 < 43
16 2cn 11560 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 10492 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 11549 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 16228 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 11962 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 11497 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 11760 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2795 . . . 4 14 = 14
247dec0h 11969 . . . 4 1 = 01
25 3cn 11566 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 10491 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 10441 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 10675 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 7028 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 11630 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2819 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 11762 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 11627 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 11570 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 12046 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 10496 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 11978 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 12000 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 11658 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 15596 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 11663 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 16229 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 11577 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 11766 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 12061 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 11978 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 11676 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 15596 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 11967 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 11971 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2795 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2795 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 10492 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 10674 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 7028 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 7026 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 10674 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 11969 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2823 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 11999 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 11010 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 11975 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 15596 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 11967 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2795 . . . 4 13 = 13
671dec0h 11969 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 7028 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 11652 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 7026 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 12037 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2819 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 11999 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 11985 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 15596 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 11967 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 11583 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 11753 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 11753 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2795 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 11969 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 10675 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 7028 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 11620 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 12057 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 11610 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 11496 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 10679 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 12008 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 11999 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 12079 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 11985 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 15596 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 11967 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 11571 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 11753 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2795 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 11969 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 12070 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 12031 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 12008 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 11999 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 12083 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 11985 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 15596 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 11967 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 11558 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 11971 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 11496 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 10491 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2795 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 12001 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 11590 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 11975 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 15596 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 16282 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2081  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  bpos1  25541
  Copyright terms: Public domain W3C validator