Theorem 43prm 17054

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12490	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12290	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12696	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12494	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12691	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12489	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12487	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12813	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12306	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12812	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12714	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12705	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12294	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12815	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12714	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11218	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12275	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16995	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12691	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12222	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12486	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12698	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12292	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11217	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11167	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11401	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12356	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12353	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12296	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12774	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11222	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12707	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12729	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12384	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12389	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16996	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12303	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12492	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12789	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12707	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12402	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12696	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12700	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11218	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11400	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11400	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12698	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12728	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11735	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12704	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12696	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12698	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12378	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12765	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12728	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12714	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12696	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12309	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12479	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12479	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12698	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11401	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12346	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12785	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12336	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12221	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11405	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12737	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12728	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12807	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12714	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12696	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12297	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12479	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12698	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12798	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12759	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12737	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12728	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12811	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12714	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12696	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12284	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12700	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12221	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11217	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12730	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12316	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12704	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17052	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12676  ℙcprime 16607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-prm 16608

This theorem is referenced by:  bpos1  26783