Theorem 43prm 17170

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12511	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12308	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12723	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12515	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12714	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12510	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12508	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12842	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12324	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12841	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12742	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12733	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12312	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12844	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12742	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12304	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11202	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12292	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17111	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12714	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12232	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12507	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12726	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12310	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11201	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11386	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7412	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12373	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12370	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12314	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12802	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11206	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12735	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12757	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12404	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12409	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17112	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12321	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12513	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12817	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12735	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12422	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12723	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12728	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11202	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11385	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7412	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7410	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11385	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12726	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12756	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11724	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12732	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12723	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12726	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7412	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12396	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7410	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12793	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12756	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12742	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12723	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12327	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12500	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12500	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12726	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11386	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7412	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12363	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12813	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12352	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12231	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11390	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12765	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12756	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12836	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12742	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12723	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12315	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12500	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12726	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12826	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12787	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12765	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12756	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12840	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12742	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12723	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12302	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12728	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12231	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11201	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12758	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12337	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12732	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16458	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17168	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  5c5 12286  6c6 12287  7c7 12288  8c8 12289  9c9 12290  ;cdc 12699  ℙcprime 16717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16299  df-prm 16718

This theorem is referenced by:  bpos1  27401