Theorem 43prm 17061

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12432	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12236	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12639	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12436	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12431	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12429	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12756	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12252	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12755	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12657	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12648	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12240	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12758	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12657	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12232	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11149	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12221	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17003	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12168	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12428	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11148	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12297	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12294	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12242	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12717	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11153	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12650	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12672	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12325	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12330	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17004	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12249	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12434	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12732	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12650	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12343	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12643	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11149	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11332	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11332	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12641	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11671	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12647	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12319	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12708	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12657	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12255	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12421	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12421	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12287	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12728	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12277	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12167	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11337	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12680	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12750	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12657	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12243	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12421	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12741	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12702	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12680	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12754	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12657	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12230	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12643	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12167	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11148	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12673	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12262	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12647	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17059	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  bpos1  27262