Theorem 43prm 16527

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11966	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 11766	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12170	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 11970	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12165	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11965	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11963	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12287	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11782	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12286	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12188	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12179	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 11770	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12289	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12188	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 11762	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10697	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 11751	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16468	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12165	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 11698	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 11962	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12172	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 11768	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulid1i 10696	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 10646	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10879	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 11832	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 11964	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 11829	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 11772	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12248	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 10701	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12181	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12203	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 11860	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 11865	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16469	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 11779	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 11968	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12263	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12181	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 11878	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12170	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12174	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mulid2i 10697	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addid1i 10878	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addid1i 10878	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12172	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12202	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11213	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12178	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12170	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12172	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 11854	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7166	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12239	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12202	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12188	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12170	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 11785	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 11955	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 11955	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12172	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addid2i 10879	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7168	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 11822	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12259	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 11812	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 11697	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 10883	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12211	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12202	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12281	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12188	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12170	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 11773	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 11955	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12172	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12272	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12233	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12211	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12202	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12285	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12188	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12170	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 11760	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12174	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 11697	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulid1i 10696	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12204	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 11792	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12178	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 15826	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 16525	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7156  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593  2c2 11742  3c3 11743  4c4 11744  5c5 11745  6c6 11746  7c7 11747  8c8 11748  9c9 11749  ;cdc 12150  ℙcprime 16081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-prm 16082

This theorem is referenced by:  bpos1  25980