Theorem 43prm 17099

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12468	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12272	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12676	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12472	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12467	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12465	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12793	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12288	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12792	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12694	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12685	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12276	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12795	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12694	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12268	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11186	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12257	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17041	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12464	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11185	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12333	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12330	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12278	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12754	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11190	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12687	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12709	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12361	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12366	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17042	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12285	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12470	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12769	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12687	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12379	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12680	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11186	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11368	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11368	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12678	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12708	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11707	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12684	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12355	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12745	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12708	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12694	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12291	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12457	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12457	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12323	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12765	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12313	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12203	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11373	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12717	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12708	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12787	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12694	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12279	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12457	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12778	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12739	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12717	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12708	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12791	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12694	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12266	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12680	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12203	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11185	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12710	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12298	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12684	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17097	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  bpos1  27201