Theorem 43prm 17169

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12572	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12372	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12778	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12576	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12571	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12569	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12895	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12388	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12894	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12796	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12787	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12376	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12796	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12368	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11295	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12357	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17110	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12304	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12374	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11294	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12438	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12435	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12378	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12856	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12789	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12466	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12471	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17111	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12385	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12574	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12871	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12789	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12484	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12782	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11477	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11477	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12780	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11812	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12786	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12460	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12847	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12796	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12391	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12561	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12561	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12428	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12867	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12418	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12303	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11482	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12819	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12889	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12796	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12379	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12561	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12880	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12841	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12819	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12893	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12796	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12366	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12782	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12303	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11294	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12812	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12398	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12786	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17167	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  bpos1  27345