Theorem 43prm 17092

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12456	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12260	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12664	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12460	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12455	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12453	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12781	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12276	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12780	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12682	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12673	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12264	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12783	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12682	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12256	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11150	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12245	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17034	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12452	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11149	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12321	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12318	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12266	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12742	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11154	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12675	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12697	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12349	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12354	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17035	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12273	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12458	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12757	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12675	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12367	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12668	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11150	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11333	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11333	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12666	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11672	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12672	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12343	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12733	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12682	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12279	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12445	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12445	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12311	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12753	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12301	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12184	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11338	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12705	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12775	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12682	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12267	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12445	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12766	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12727	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12705	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12779	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12682	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12668	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12184	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11149	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12698	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12286	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12672	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17090	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ;cdc 12644  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  bpos1  27246