MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 17039
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 12475 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 12275 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12681 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 12479 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 12676 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 12474 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 12472 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12798 . . 3 3 < 10
9 8nn 12291 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 12797 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 12699 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12690 . 2 43 < 841
13 4nn 12279 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 12800 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 12699 . 2 1 < 43
16 2cn 12271 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mullidi 11203 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 12260 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 16980 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 12676 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 12207 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 12471 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2732 . . . 4 14 = 14
247dec0h 12683 . . . 4 1 = 01
25 3cn 12277 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulridi 11202 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 11152 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addlidi 11386 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 7406 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 12341 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2760 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 12473 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 12338 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 12281 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 12759 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 11207 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 12692 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 12714 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 12369 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 16339 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 12374 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 16981 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 12288 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 12477 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 12774 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 12692 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 12387 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 16339 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 12681 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 12685 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2732 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2732 . . . 4 10 = 10
5325mullidi 11203 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addridi 11385 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 7406 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2760 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 7404 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addridi 11385 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 12683 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 12713 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 11720 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 12689 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 16339 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 12681 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2732 . . . 4 13 = 13
671dec0h 12683 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 7406 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2760 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 12363 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 7404 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 12750 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2760 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 12713 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 12699 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 16339 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 12681 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 12294 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 12464 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 12464 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2732 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 12683 . . . 4 9 = 09
8316addlidi 11386 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 7406 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 12331 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2760 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 12770 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 12321 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 12206 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 11390 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 12722 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 12713 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 12792 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 12699 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 16339 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 12681 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 12282 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 12464 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2732 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 12683 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 12783 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 12744 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 12722 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 12713 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 12796 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 12699 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 16339 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 12681 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 12269 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 12685 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 12206 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulridi 11202 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2732 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 12715 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 12301 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 12689 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 16339 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 17037 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7394  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   · cmul 11099  2c2 12251  3c3 12252  4c4 12253  5c5 12254  6c6 12255  7c7 12256  8c8 12257  9c9 12258  cdc 12661  cprime 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-rp 12959  df-fz 13469  df-seq 13951  df-exp 14012  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-dvds 16182  df-prm 16593
This theorem is referenced by:  bpos1  26715
  Copyright terms: Public domain W3C validator