MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  43prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 43prm 17001
Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
43prm 43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 12439 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 3nn 12239 . . 3 3 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12645 . 2 43 ∈ ℕ
4 8nn0 12443 . . . 4 8 ∈ ℕ0
54, 1deccl 12640 . . 3 84 ∈ ℕ0
6 3nn0 12438 . . 3 3 ∈ ℕ0
7 1nn0 12436 . . 3 1 ∈ ℕ0
8 3lt10 12762 . . 3 3 < 10
9 8nn 12255 . . . 4 8 ∈ ℕ
10 4lt10 12761 . . . 4 4 < 10
119, 1, 1, 10declti 12663 . . 3 4 < 84
121, 5, 6, 7, 8, 11decltc 12654 . 2 43 < 841
13 4nn 12243 . . 3 4 ∈ ℕ
14 1lt10 12764 . . 3 1 < 10
1513, 6, 7, 14declti 12663 . 2 1 < 43
16 2cn 12235 . . . 4 2 ∈ ℂ
1716mulid2i 11167 . . 3 (1 · 2) = 2
18 df-3 12224 . . 3 3 = (2 + 1)
191, 7, 17, 18dec2dvds 16942 . 2 ¬ 2 ∥ 43
207, 1deccl 12640 . . 3 14 ∈ ℕ0
21 1nn 12171 . . 3 1 ∈ ℕ
22 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ ℕ0
23 eqid 2737 . . . 4 14 = 14
247dec0h 12647 . . . 4 1 = 01
25 3cn 12241 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
2625mulid1i 11166 . . . . . 6 (3 · 1) = 3
27 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2926, 28oveq12i 7374 . . . . 5 ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30 3p1e4 12305 . . . . 5 (3 + 1) = 4
3129, 30eqtri 2765 . . . 4 ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
33 2p1e3 12302 . . . . 5 (2 + 1) = 3
34 4cn 12245 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
35 4t3e12 12723 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
3634, 25, 35mulcomli 11171 . . . . 5 (3 · 4) = 12
377, 32, 33, 36decsuc 12656 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
387, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37decma2c 12678 . . 3 ((3 · 14) + 1) = 43
39 1lt3 12333 . . 3 1 < 3
402, 20, 21, 38, 39ndvdsi 16301 . 2 ¬ 3 ∥ 43
41 3lt5 12338 . . 3 3 < 5
421, 2, 41dec5dvds 16943 . 2 ¬ 5 ∥ 43
43 7nn 12252 . . 3 7 ∈ ℕ
44 6nn0 12441 . . 3 6 ∈ ℕ0
45 7t6e42 12738 . . . 4 (7 · 6) = 42
461, 32, 33, 45decsuc 12656 . . 3 ((7 · 6) + 1) = 43
47 1lt7 12351 . . 3 1 < 7
4843, 44, 21, 46, 47ndvdsi 16301 . 2 ¬ 7 ∥ 43
497, 21decnncl 12645 . . 3 11 ∈ ℕ
5021decnncl2 12649 . . 3 10 ∈ ℕ
51 eqid 2737 . . . 4 11 = 11
52 eqid 2737 . . . 4 10 = 10
5325mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 3) = 3
5427addid1i 11349 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
5553, 54oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
5655, 30eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
5753oveq1i 7372 . . . . 5 ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
5825addid1i 11349 . . . . 5 (3 + 0) = 3
596dec0h 12647 . . . . 5 3 = 03
6057, 58, 593eqtri 2769 . . . 4 ((1 · 3) + 0) = 03
617, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60decmac 12677 . . 3 ((11 · 3) + 10) = 43
62 0lt1 11684 . . . 4 0 < 1
637, 22, 21, 62declt 12653 . . 3 10 < 11
6449, 6, 50, 61, 63ndvdsi 16301 . 2 ¬ 11 ∥ 43
657, 2decnncl 12645 . . 3 13 ∈ ℕ
66 eqid 2737 . . . 4 13 = 13
671dec0h 12647 . . . 4 4 = 04
6853, 28oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
6968, 30eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70 3t3e9 12327 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
7170oveq1i 7372 . . . . 5 ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72 9p4e13 12714 . . . . 5 (9 + 4) = 13
7371, 72eqtri 2765 . . . 4 ((3 · 3) + 4) = 13
747, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73decmac 12677 . . 3 ((13 · 3) + 4) = 43
7521, 6, 1, 10declti 12663 . . 3 4 < 13
7665, 6, 13, 74, 75ndvdsi 16301 . 2 ¬ 13 ∥ 43
777, 43decnncl 12645 . . 3 17 ∈ ℕ
78 9nn 12258 . . 3 9 ∈ ℕ
7943nnnn0i 12428 . . . 4 7 ∈ ℕ0
8078nnnn0i 12428 . . . 4 9 ∈ ℕ0
81 eqid 2737 . . . 4 17 = 17
8280dec0h 12647 . . . 4 9 = 09
8316addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
8417, 83oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85 2p2e4 12295 . . . . 5 (2 + 2) = 4
8684, 85eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87 7t2e14 12734 . . . . 5 (7 · 2) = 14
88 1p1e2 12285 . . . . 5 (1 + 1) = 2
8978nncni 12170 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
9089, 34, 72addcomli 11354 . . . . 5 (4 + 9) = 13
917, 1, 80, 87, 88, 6, 90decaddci 12686 . . . 4 ((7 · 2) + 9) = 23
927, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91decmac 12677 . . 3 ((17 · 2) + 9) = 43
93 9lt10 12756 . . . 4 9 < 10
9421, 79, 80, 93declti 12663 . . 3 9 < 17
9577, 32, 78, 92, 94ndvdsi 16301 . 2 ¬ 17 ∥ 43
967, 78decnncl 12645 . . 3 19 ∈ ℕ
97 5nn 12246 . . 3 5 ∈ ℕ
9897nnnn0i 12428 . . . 4 5 ∈ ℕ0
99 eqid 2737 . . . 4 19 = 19
10098dec0h 12647 . . . 4 5 = 05
101 9t2e18 12747 . . . . 5 (9 · 2) = 18
102 8p5e13 12708 . . . . 5 (8 + 5) = 13
1037, 4, 98, 101, 88, 6, 102decaddci 12686 . . . 4 ((9 · 2) + 5) = 23
1047, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103decmac 12677 . . 3 ((19 · 2) + 5) = 43
105 5lt10 12760 . . . 4 5 < 10
10621, 80, 98, 105declti 12663 . . 3 5 < 19
10796, 32, 97, 104, 106ndvdsi 16301 . 2 ¬ 19 ∥ 43
10832, 2decnncl 12645 . . 3 23 ∈ ℕ
109 2nn 12233 . . . 4 2 ∈ ℕ
110109decnncl2 12649 . . 3 20 ∈ ℕ
111108nncni 12170 . . . . 5 23 ∈ ℂ
112111mulid1i 11166 . . . 4 (23 · 1) = 23
113 eqid 2737 . . . 4 20 = 20
11432, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58decadd 12679 . . 3 ((23 · 1) + 20) = 43
115 3pos 12265 . . . 4 0 < 3
11632, 22, 2, 115declt 12653 . . 3 20 < 23
117108, 7, 110, 114, 116ndvdsi 16301 . 2 ¬ 23 ∥ 43
1183, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117prmlem2 16999 1 43 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  bpos1  26647
  Copyright terms: Public domain W3C validator