Theorem 43prm 17090

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12454	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12258	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12662	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12458	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12657	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12453	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12451	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12779	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12274	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12778	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12680	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12671	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12262	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12781	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12680	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11148	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12243	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17032	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12657	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12183	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12450	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12664	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11147	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11094	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11332	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7375	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12319	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12316	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12264	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12740	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11152	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12673	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12695	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12347	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12352	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17033	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12271	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12456	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12755	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12673	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12365	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12662	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12666	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11148	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11331	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7375	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7373	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11331	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12664	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12694	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11670	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12670	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12662	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12664	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7375	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12341	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7373	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12731	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12694	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12680	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12662	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12277	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12443	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12443	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12664	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11332	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7375	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12309	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12751	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12299	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12182	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11336	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12703	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12694	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12773	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12680	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12662	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12265	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12443	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12664	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12764	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12725	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12703	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12694	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12777	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12680	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12662	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12252	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12666	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12182	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11147	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12696	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12284	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12670	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16379	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17088	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  7c7 12239  8c8 12240  9c9 12241  ;cdc 12642  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-prm 16639

This theorem is referenced by:  bpos1  27271