Theorem 43prm 17344

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12665	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12462	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12669	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12664	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12662	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12997	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12478	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12996	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12897	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12888	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12466	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12999	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12897	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12458	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11353	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12446	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17285	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12386	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12527	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12524	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12957	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12558	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12563	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17286	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12667	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12972	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12890	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12576	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12883	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11536	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12881	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11878	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12887	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12550	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12948	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12897	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12481	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12654	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12654	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12517	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12968	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12506	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12385	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11541	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12920	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12991	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12897	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12469	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12654	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12981	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12942	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12920	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12995	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12897	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12456	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12883	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12385	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11352	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12913	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12491	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12887	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17342	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by:  bpos1  27667