Theorem 43prm 17139

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12518	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12317	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12726	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12522	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12517	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12515	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12843	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12333	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12842	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12744	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12735	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12321	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12845	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12744	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11238	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12302	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17081	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12514	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12728	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12319	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11421	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7415	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12383	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12516	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12380	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12323	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12804	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11242	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12737	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12759	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12411	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12416	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17082	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12330	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12520	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12819	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12737	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12429	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12726	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12730	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11420	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7415	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7413	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11420	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12728	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12758	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11757	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12734	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12726	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12728	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7415	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12405	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7413	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12795	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12758	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12744	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12726	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12336	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12507	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12507	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12728	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11421	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7415	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12373	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12815	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12363	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12248	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11425	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12767	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12758	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12837	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12744	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12726	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12324	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12507	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12728	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12828	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12789	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12767	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12758	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12841	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12744	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12726	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12311	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12730	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12248	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11237	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12760	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12343	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12734	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16429	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17137	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12293  3c3 12294  4c4 12295  5c5 12296  6c6 12297  7c7 12298  8c8 12299  9c9 12300  ;cdc 12706  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16271  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  bpos1  27244