Theorem 43prm 17306

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12629	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12426	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12842	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12633	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12628	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12626	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12961	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12442	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12960	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12861	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12852	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12430	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12963	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12861	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12422	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11318	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12410	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17247	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12350	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12625	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12428	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11317	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11502	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12491	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12488	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12432	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12921	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11322	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12854	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12876	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12522	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12527	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17248	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12439	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12631	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12936	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12854	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12540	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12847	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11318	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11501	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11501	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12845	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12875	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11842	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12851	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12514	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12912	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12875	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12861	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12445	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12618	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12618	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11502	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12481	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12932	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12470	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12349	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11506	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12884	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12875	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12955	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12861	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12433	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12618	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12945	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12906	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12884	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12875	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12959	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12861	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12420	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12847	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12349	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11317	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12877	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12455	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12851	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17304	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  7c7 12406  8c8 12407  9c9 12408  ;cdc 12818  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-prm 16853

This theorem is used by:  bpos1  27616