Theorem 43prm 17035

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12407	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12211	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12614	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12411	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12609	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12406	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12404	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12731	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12227	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12730	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12632	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12623	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12215	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12733	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12632	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12207	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11124	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12196	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 16977	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12609	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12143	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12403	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12616	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12213	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11123	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11071	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11308	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7364	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12272	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12405	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12269	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12217	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12692	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11128	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12625	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12647	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12300	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12305	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 16978	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12224	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12409	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12707	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12625	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12318	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12614	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12618	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11124	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11307	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7364	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7362	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11307	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12616	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12646	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11646	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12622	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12614	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12616	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7364	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12294	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7362	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12683	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12646	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12632	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12614	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12230	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12396	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12396	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12616	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11308	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7364	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12262	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12703	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12252	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12142	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11312	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12655	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12646	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12725	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12632	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12614	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12218	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12396	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12616	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12716	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12677	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12655	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12646	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12729	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12632	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12614	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12205	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12618	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12142	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11123	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12648	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12237	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12622	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16325	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17033	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  5c5 12190  6c6 12191  7c7 12192  8c8 12193  9c9 12194  ;cdc 12594  ℙcprime 16584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-prm 16585

This theorem is referenced by:  bpos1  27222