Theorem 43prm 17184

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12525	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12322	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12737	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12529	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12524	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12522	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12856	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12338	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12855	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12756	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12747	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12326	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12858	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12756	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12318	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11216	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12306	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17125	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12246	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12521	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12740	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11215	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11160	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11400	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12387	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12384	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12328	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12816	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11220	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12749	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12771	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12418	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12423	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17126	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12335	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12527	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12831	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12749	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12436	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12737	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12742	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11216	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11399	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11399	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12740	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12770	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11738	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12746	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12737	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12740	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12410	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12807	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12770	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12756	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12737	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12341	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12514	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12514	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12740	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11400	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12377	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12827	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12366	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12245	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11404	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12779	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12770	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12850	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12756	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12737	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12329	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12514	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12740	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12840	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12801	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12779	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12770	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12854	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12756	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12737	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12316	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12742	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12245	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11215	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12772	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12351	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12746	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16472	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17182	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105   · cmul 11107  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  7c7 12302  8c8 12303  9c9 12304  ;cdc 12713  ℙcprime 16731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-rp 13019  df-fz 13538  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16313  df-prm 16732

This theorem is referenced by:  bpos1  27415