Theorem 43prm 17214

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12547	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12344	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12760	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12551	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12546	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12544	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12879	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12360	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12878	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12779	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12770	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12348	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12881	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12779	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12340	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11238	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12328	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17155	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12268	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12346	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11182	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11422	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12409	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12406	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12839	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11242	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12772	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12794	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12440	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12445	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17156	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12357	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12549	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12854	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12772	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12458	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12765	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11421	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11421	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12763	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12793	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11760	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12769	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12432	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12830	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12793	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12779	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12363	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12536	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12536	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11422	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12399	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12850	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12388	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12267	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11426	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12802	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12793	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12873	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12779	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12351	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12536	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12863	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12824	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12802	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12793	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12877	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12779	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12338	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12765	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12267	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11237	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12795	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12373	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12769	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17212	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12736  ℙcprime 16761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762

This theorem is used by:  bpos1  27519