Theorem 43prm 17083

Description: 43 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
43prm	⊢ ;43 ∈ ℙ

Proof of Theorem 43prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12447	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		3nn 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12655	. 2 ⊢ ;43 ∈ ℕ
4		8nn0 12451	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	4, 1	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 12446	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 12444	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 12772	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 12267	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		4lt10 12771	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
11	9, 1, 1, 10	declti 12673	. . 3 ⊢ 4 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 12664	. 2 ⊢ ;43 < ;;841
13		4nn 12255	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt10 12774	. . 3 ⊢ 1 < ;10
15	13, 6, 7, 14	declti 12673	. 2 ⊢ 1 < ;43
16		2cn 12247	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
17	16	mullidi 11141	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
18		df-3 12236	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	1, 7, 17, 18	dec2dvds 17025	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;43
20	7, 1	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
21		1nn 12176	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22		0nn0 12443	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
24	7	dec0h 12657	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
25		3cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
26	25	mulridi 11140	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
27		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11325	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	26, 28	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = (3 + 1)
30		3p1e4 12312	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
31	29, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + (0 + 1)) = 4
32		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33		2p1e3 12309	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
34		4cn 12257	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
35		4t3e12 12733	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
36	34, 25, 35	mulcomli 11145	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
37	7, 32, 33, 36	decsuc 12666	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
38	7, 1, 22, 7, 23, 24, 6, 6, 7, 31, 37	decma2c 12688	. . 3 ⊢ ((3 · ;14) + 1) = ;43
39		1lt3 12340	. . 3 ⊢ 1 < 3
40	2, 20, 21, 38, 39	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;43
41		3lt5 12345	. . 3 ⊢ 3 < 5
42	1, 2, 41	dec5dvds 17026	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;43
43		7nn 12264	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44		6nn0 12449	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
45		7t6e42 12748	. . . 4 ⊢ (7 · 6) = ;42
46	1, 32, 33, 45	decsuc 12666	. . 3 ⊢ ((7 · 6) + 1) = ;43
47		1lt7 12358	. . 3 ⊢ 1 < 7
48	43, 44, 21, 46, 47	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;43
49	7, 21	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
50	21	decnncl2 12659	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
51		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
52		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
53	25	mullidi 11141	. . . . . 6 ⊢ (1 · 3) = 3
54	27	addridi 11324	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
55	53, 54	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = (3 + 1)
56	55, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (1 + 0)) = 4
57	53	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + 0) = (3 + 0)
58	25	addridi 11324	. . . . 5 ⊢ (3 + 0) = 3
59	6	dec0h 12657	. . . . 5 ⊢ 3 = ;03
60	57, 58, 59	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + 0) = ;03
61	7, 7, 7, 22, 51, 52, 6, 6, 22, 56, 60	decmac 12687	. . 3 ⊢ ((;11 · 3) + ;10) = ;43
62		0lt1 11663	. . . 4 ⊢ 0 < 1
63	7, 22, 21, 62	declt 12663	. . 3 ⊢ ;10 < ;11
64	49, 6, 50, 61, 63	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;43
65	7, 2	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
66		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
67	1	dec0h 12657	. . . 4 ⊢ 4 = ;04
68	53, 28	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
69	68, 30	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
70		3t3e9 12334	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
71	70	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
72		9p4e13 12724	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
73	71, 72	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
74	7, 6, 22, 1, 66, 67, 6, 6, 7, 69, 73	decmac 12687	. . 3 ⊢ ((;13 · 3) + 4) = ;43
75	21, 6, 1, 10	declti 12673	. . 3 ⊢ 4 < ;13
76	65, 6, 13, 74, 75	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;43
77	7, 43	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
78		9nn 12270	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
79	43	nnnn0i 12436	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
80	78	nnnn0i 12436	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
81		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
82	80	dec0h 12657	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
83	16	addlidi 11325	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
84	17, 83	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = (2 + 2)
85		2p2e4 12302	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
86	84, 85	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 2)) = 4
87		7t2e14 12744	. . . . 5 ⊢ (7 · 2) = ;14
88		1p1e2 12292	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
89	78	nncni 12175	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
90	89, 34, 72	addcomli 11329	. . . . 5 ⊢ (4 + 9) = ;13
91	7, 1, 80, 87, 88, 6, 90	decaddci 12696	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + 9) = ;23
92	7, 79, 22, 80, 81, 82, 32, 6, 32, 86, 91	decmac 12687	. . 3 ⊢ ((;17 · 2) + 9) = ;43
93		9lt10 12766	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
94	21, 79, 80, 93	declti 12673	. . 3 ⊢ 9 < ;17
95	77, 32, 78, 92, 94	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;43
96	7, 78	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
97		5nn 12258	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
98	97	nnnn0i 12436	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
100	98	dec0h 12657	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
101		9t2e18 12757	. . . . 5 ⊢ (9 · 2) = ;18
102		8p5e13 12718	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
103	7, 4, 98, 101, 88, 6, 102	decaddci 12696	. . . 4 ⊢ ((9 · 2) + 5) = ;23
104	7, 80, 22, 98, 99, 100, 32, 6, 32, 86, 103	decmac 12687	. . 3 ⊢ ((;19 · 2) + 5) = ;43
105		5lt10 12770	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
106	21, 80, 98, 105	declti 12673	. . 3 ⊢ 5 < ;19
107	96, 32, 97, 104, 106	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;43
108	32, 2	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
109		2nn 12245	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
110	109	decnncl2 12659	. . 3 ⊢ ;20 ∈ ℕ
111	108	nncni 12175	. . . . 5 ⊢ ;23 ∈ ℂ
112	111	mulridi 11140	. . . 4 ⊢ (;23 · 1) = ;23
113		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;20 = ;20
114	32, 6, 32, 22, 112, 113, 85, 58	decadd 12689	. . 3 ⊢ ((;23 · 1) + ;20) = ;43
115		3pos 12277	. . . 4 ⊢ 0 < 3
116	32, 22, 2, 115	declt 12663	. . 3 ⊢ ;20 < ;23
117	108, 7, 110, 114, 116	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;43
118	3, 12, 15, 19, 40, 42, 48, 64, 76, 95, 107, 117	prmlem2 17081	1 ⊢ ;43 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  bpos1  27260