Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 44114
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11901 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 11902 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12101 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 11717 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12106 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 11908 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11904 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11907 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 11823 . . 3 1 < 8
10 2lt10 12224 . . 3 2 < 10
11 7lt10 12219 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12119 . 2 127 < 841
13 2nn 11698 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12106 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 12225 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12124 . 2 1 < 127
17 3nn0 11903 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 11791 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 11693 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 16389 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 11704 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 11636 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 11792 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 7145 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 12088 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2821 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 11798 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 15753 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 15674 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 11768 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 7145 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 11719 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 11706 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 12161 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 10821 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2821 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 5038 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 278 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 326 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 11804 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 11781 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 16391 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 12101 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 11900 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2798 . . . 4 18 = 18
461dec0h 12108 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 11905 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 10634 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 11713 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 10817 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 7147 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 12163 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2821 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 11906 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 11722 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 12206 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 10639 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 11773 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 12146 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 12139 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 11816 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 15753 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 12106 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 12101 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 11714 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2798 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 12108 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 11897 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 10634 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 10584 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 10817 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 7147 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 11750 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 12146 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2821 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 11716 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 10821 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 12146 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 12139 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 12220 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 12124 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 15753 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 12106 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11909 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 12102 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2798 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2798 . . . 4 10 = 10
88 9cn 11725 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 10635 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 7147 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 12174 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2821 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 12209 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 10639 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 10816 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 12146 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 12138 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 11730 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 12114 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 15753 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 12106 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 11720 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2798 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 10635 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 7145 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2821 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 12200 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 11771 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 12179 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 12147 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 12144 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 12218 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 12124 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 15753 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 11723 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 12106 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2798 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 10635 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 11772 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 10821 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 7147 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 12160 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2821 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 12212 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 11779 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 12146 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 12138 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 11829 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 12114 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 15753 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 12106 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2798 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2798 . . . 4 12 = 12
134 2cn 11700 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 12186 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 10639 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 7147 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 12129 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2821 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 12187 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 10639 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 12146 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 12138 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 11796 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 12115 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 15753 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 16445 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  cdc 12086  cdvds 15599  cprime 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006
This theorem is referenced by:  m7prm  44115
  Copyright terms: Public domain W3C validator