Theorem 127prm 45051

Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
127prm	⊢ ;;127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12249	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		7nn 12065	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12457	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℕ
6		8nn0 12256	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12252	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 12255	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1lt8 12171	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		2lt10 12575	. . 3 ⊢ 2 < ;10
11		7lt10 12570	. . 3 ⊢ 7 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12470	. 2 ⊢ ;;127 < ;;841
13		2nn 12046	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		1lt10 12576	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12475	. 2 ⊢ 1 < ;;127
17		3nn0 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
18		3t2e6 12139	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
19		df-7 12041	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
20	3, 17, 18, 19	dec2dvds 16764	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;127
21		3nn 12052	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
22		1nn 11984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		3t3e9 12140	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
24	23	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25		9p1e10 12439	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
26	24, 25	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
27		1lt3 12146	. . . 4 ⊢ 1 < 3
28	21, 17, 22, 26, 27	ndvdsi 16121	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;10
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16042	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30		1p2e3 12116	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
31	30	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32		7cn 12067	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
33		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
34		7p3e10 12512	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 3) = ;10
35	32, 33, 34	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (3 + 7) = ;10
36	31, 35	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((1 + 2) + 7) = ;10
37	36	breq2i 5082	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ ;10)
38	29, 37	bitri 274	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ;10)
39	28, 38	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;127
40		2lt5 12152	. . 3 ⊢ 2 < 5
41		5p2e7 12129	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
42	3, 13, 40, 41	dec5dvds2 16766	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;127
43	1, 6	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
44		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
46	1	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
47		5nn0 12253	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
48	32	mulid1i 10979	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		5cn 12061	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
50	49	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
51	48, 50	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52		7p5e12 12514	. . . . 5 ⊢ (7 + 5) = ;12
53	51, 52	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = ;12
54		6nn0 12254	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55		8cn 12070	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
56		8t7e56 12557	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
57	55, 32, 56	mulcomli 10984	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
58		6p1e7 12121	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	47, 54, 1, 57, 58	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 1) = ;57
60	1, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59	decma2c 12490	. . 3 ⊢ ((7 · ;18) + 1) = ;;127
61		1lt7 12164	. . 3 ⊢ 1 < 7
62	4, 43, 22, 60, 61	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;127
63	1, 22	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
64	1, 1	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
65		6nn 12062	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
66		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
67	54	dec0h 12459	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
68	64	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
69	68	mulid1i 10979	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
70		ax-1cn 10929	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	70	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
72	69, 71	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = (;11 + 1)
73		1p1e2 12098	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
74	1, 1, 1, 66, 73	decaddi 12497	. . . . 5 ⊢ (;11 + 1) = ;12
75	72, 74	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = ;12
76		6cn 12064	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
77	76, 70, 58	addcomli 11167	. . . . 5 ⊢ (1 + 6) = 7
78	1, 1, 54, 69, 77	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + 6) = ;17
79	1, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78	decma2c 12490	. . 3 ⊢ ((;11 · ;11) + 6) = ;;127
80		6lt10 12571	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
81	22, 1, 54, 80	declti 12475	. . 3 ⊢ 6 < ;11
82	63, 64, 65, 79, 81	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;127
83	1, 21	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 12257	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85		10nn 12453	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
86		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
87		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
88		9cn 12073	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
89	88	mulid2i 10980	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
90	89, 30	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91		9p3e12 12525	. . . . 5 ⊢ (9 + 3) = ;12
92	90, 91	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = ;12
93		9t3e27 12560	. . . . . 6 ⊢ (9 · 3) = ;27
94	88, 33, 93	mulcomli 10984	. . . . 5 ⊢ (3 · 9) = ;27
95	32	addid1i 11162	. . . . 5 ⊢ (7 + 0) = 7
96	2, 8, 44, 94, 95	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((3 · 9) + 0) = ;27
97	1, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;13 · 9) + ;10) = ;;127
98		3pos 12078	. . . 4 ⊢ 0 < 3
99	1, 44, 21, 98	declt 12465	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
100	83, 84, 85, 97, 99	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;127
101	1, 4	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
102		8nn 12068	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
103		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
104	32	mulid2i 10980	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
105	104	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106	105, 52	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + 5) = ;12
107		7t7e49 12551	. . . . 5 ⊢ (7 · 7) = ;49
108		4p1e5 12119	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
109		9p8e17 12530	. . . . 5 ⊢ (9 + 8) = ;17
110	7, 84, 6, 107, 108, 8, 109	decaddci 12498	. . . 4 ⊢ ((7 · 7) + 8) = ;57
111	1, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110	decrmac 12495	. . 3 ⊢ ((;17 · 7) + 8) = ;;127
112		8lt10 12569	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
113	22, 8, 6, 112	declti 12475	. . 3 ⊢ 8 < ;17
114	101, 8, 102, 111, 113	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;127
115		9nn 12071	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
116	1, 115	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
117		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
118	76	mulid2i 10980	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
119		5p1e6 12120	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
120	49, 70, 119	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
121	118, 120	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122		6p6e12 12511	. . . . 5 ⊢ (6 + 6) = ;12
123	121, 122	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = ;12
124		9t6e54 12563	. . . . 5 ⊢ (9 · 6) = ;54
125		4p3e7 12127	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
126	47, 7, 17, 124, 125	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((9 · 6) + 3) = ;57
127	1, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;19 · 6) + ;13) = ;;127
128		3lt9 12177	. . . 4 ⊢ 3 < 9
129	1, 17, 115, 128	declt 12465	. . 3 ⊢ ;13 < ;19
130	116, 54, 83, 127, 129	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;127
131	2, 21	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
132		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
133		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
134		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
135		5t2e10 12537	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
136	49, 134, 135	mulcomli 10984	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
137	136, 73	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = (;10 + 2)
138		dec10p 12480	. . . . 5 ⊢ (;10 + 2) = ;12
139	137, 138	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = ;12
140		5t3e15 12538	. . . . . 6 ⊢ (5 · 3) = ;15
141	49, 33, 140	mulcomli 10984	. . . . 5 ⊢ (3 · 5) = ;15
142	1, 47, 2, 141, 41	decaddi 12497	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
143	2, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142	decmac 12489	. . 3 ⊢ ((;23 · 5) + ;12) = ;;127
144		1lt2 12144	. . . 4 ⊢ 1 < 2
145	1, 2, 2, 17, 10, 144	decltc 12466	. . 3 ⊢ ;12 < ;23
146	131, 47, 14, 143, 145	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;127
147	5, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146	prmlem2 16821	1 ⊢ ;;127 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  m7prm  45052