Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 46941
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12524 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 12525 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12728 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 12340 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12733 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 12531 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12527 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 12530 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 12446 . . 3 1 < 8
10 2lt10 12851 . . 3 2 < 10
11 7lt10 12846 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12746 . 2 127 < 841
13 2nn 12321 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12733 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 12852 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12751 . 2 1 < 127
17 3nn0 12526 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 12414 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 12316 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 17037 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 12327 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 12259 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 12415 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 7434 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 12715 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2755 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 12421 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 16394 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 16315 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 12391 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 7434 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 12342 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 12329 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 12788 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 11442 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2755 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 5158 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 274 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 322 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 12427 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 12404 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 17039 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 12728 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 12523 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2727 . . . 4 18 = 18
461dec0h 12735 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 12528 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulridi 11254 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 12336 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addlidi 11438 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 7436 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 12790 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2755 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 12529 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 12345 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 12833 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 11259 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 12396 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 12773 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 12766 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 12439 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 16394 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 12733 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 12728 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 12337 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2727 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 12735 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 12520 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulridi 11254 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 11202 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addlidi 11438 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 7436 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 12373 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 12773 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2755 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 12339 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 11442 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 12773 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 12766 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 12847 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 12751 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 16394 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 12733 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 12532 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 12729 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2727 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2727 . . . 4 10 = 10
88 9cn 12348 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mullidi 11255 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 7436 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 12801 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2755 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 12836 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 11259 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addridi 11437 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 12773 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 12765 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 12353 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 12741 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 16394 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 12733 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 12343 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2727 . . . 4 17 = 17
10432mullidi 11255 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 7434 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2755 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 12827 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 12394 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 12806 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 12774 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 12771 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 12845 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 12751 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 16394 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 12346 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 12733 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2727 . . . 4 19 = 19
11876mullidi 11255 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 12395 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 11442 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 7436 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 12787 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2755 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 12839 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 12402 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 12773 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 12765 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 12452 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 12741 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 16394 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 12733 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2727 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2727 . . . 4 12 = 12
134 2cn 12323 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 12813 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 11259 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 7436 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 12756 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2755 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 12814 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 11259 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 12773 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 12765 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 12419 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 12742 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 16394 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 17094 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  6c6 12307  7c7 12308  8c8 12309  9c9 12310  cdc 12713  cdvds 16236  cprime 16647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-prm 16648
This theorem is referenced by:  m7prm  46942
  Copyright terms: Public domain W3C validator