Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 42108
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11595 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 11596 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11794 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 11409 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11799 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 11602 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11598 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11601 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 11517 . . 3 1 < 8
10 2lt10 11917 . . 3 2 < 10
11 7lt10 11912 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11812 . 2 127 < 841
13 2nn 11386 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11799 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 11918 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11817 . 2 1 < 127
17 3nn0 11597 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 11485 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 11381 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 16004 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 11392 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 11328 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 11486 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 6894 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 11781 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2839 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 11492 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 15375 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 15297 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 11463 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 6894 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 11411 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 11394 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 11854 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 10523 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2839 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 4863 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 266 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 314 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 11498 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 11475 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 16006 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 11794 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 11594 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2817 . . . 4 18 = 18
461dec0h 11801 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 11599 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 10339 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 11403 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 6896 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 11856 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2839 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 11600 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 11415 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 11899 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 10344 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 11467 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 11839 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 11832 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 11510 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 15375 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 11799 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 11794 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 11405 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2817 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 11801 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 11591 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 10339 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 10289 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 6896 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 11445 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 11839 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2839 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 11407 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 10523 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 11839 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 11832 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 11913 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 11817 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 15375 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 11799 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11603 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 11795 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2817 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2817 . . . 4 10 = 10
88 9cn 11419 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 11867 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 11902 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 10344 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 10518 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 11839 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 11831 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 11425 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 11807 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 15375 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 11799 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 11413 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2817 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 6894 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 11893 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 11465 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 11872 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 11840 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 11837 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 11911 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 11817 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 15375 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 11417 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 11799 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2817 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 11466 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 10523 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 11853 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 11905 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 11473 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 11839 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 11831 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 11523 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 11807 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 15375 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 11799 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2817 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2817 . . . 4 12 = 12
134 2cn 11388 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 11879 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 10344 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 6896 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 11822 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2839 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 11880 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 10344 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 11839 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 11831 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 11490 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 11808 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 15375 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 16058 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779  cdvds 15223  cprime 15623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-prm 15624
This theorem is referenced by:  m7prm  42109
  Copyright terms: Public domain W3C validator