Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 45781
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12429 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 12430 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12633 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 12245 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12638 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 12436 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12432 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 12435 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 12351 . . 3 1 < 8
10 2lt10 12756 . . 3 2 < 10
11 7lt10 12751 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12651 . 2 127 < 841
13 2nn 12226 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12638 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 12757 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12656 . 2 1 < 127
17 3nn0 12431 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 12319 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 12221 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 16935 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 12232 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 12164 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 12320 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 7367 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 12620 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2764 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 12326 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 16294 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 16215 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 12296 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 7367 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 12247 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 12234 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 12693 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 11347 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2764 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 5113 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 274 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 322 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 12332 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 12309 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 16937 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 12633 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 12428 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2736 . . . 4 18 = 18
461dec0h 12640 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 12433 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 11159 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 12241 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 11343 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 7369 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 12695 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2764 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 12434 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 12250 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 12738 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 11164 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 12301 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 12678 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 12671 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 12344 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 16294 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 12638 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 12633 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 12242 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2736 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 12640 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 12425 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 11159 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 11109 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 11343 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 7369 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 12278 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 12678 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2764 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 12244 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 11347 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 12678 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 12671 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 12752 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 12656 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 16294 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 12638 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 12437 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 12634 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2736 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2736 . . . 4 10 = 10
88 9cn 12253 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 11160 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 7369 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 12706 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 12741 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 11164 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 11342 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 12678 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 12670 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 12258 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 12646 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 16294 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 12638 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 12248 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2736 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 11160 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 7367 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 12732 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 12299 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 12711 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 12679 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 12676 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 12750 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 12656 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 16294 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 12251 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 12638 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2736 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 11160 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 12300 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 11347 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 7369 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 12692 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 12744 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 12307 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 12678 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 12670 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 12357 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 12646 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 16294 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 12638 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2736 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2736 . . . 4 12 = 12
134 2cn 12228 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 12718 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 11164 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 7369 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 12661 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2764 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 12719 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 11164 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 12678 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 12670 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 12324 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 12647 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 16294 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 16992 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  cdc 12618  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  m7prm  45782
  Copyright terms: Public domain W3C validator