Theorem 127prm 43245

Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
127prm	⊢ ;;127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11761	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 11762	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		7nn 11577	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11967	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℕ
6		8nn0 11768	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11764	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 11767	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1lt8 11683	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		2lt10 12086	. . 3 ⊢ 2 < ;10
11		7lt10 12081	. . 3 ⊢ 7 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11980	. 2 ⊢ ;;127 < ;;841
13		2nn 11558	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		1lt10 12087	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11985	. 2 ⊢ 1 < ;;127
17		3nn0 11763	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
18		3t2e6 11651	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
19		df-7 11553	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
20	3, 17, 18, 19	dec2dvds 16228	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;127
21		3nn 11564	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
22		1nn 11497	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		3t3e9 11652	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
24	23	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25		9p1e10 11949	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
26	24, 25	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
27		1lt3 11658	. . . 4 ⊢ 1 < 3
28	21, 17, 22, 26, 27	ndvdsi 15596	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;10
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15515	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30		1p2e3 11628	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
31	30	oveq1i 7026	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32		7cn 11579	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
33		3cn 11566	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
34		7p3e10 12023	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 3) = ;10
35	32, 33, 34	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (3 + 7) = ;10
36	31, 35	eqtri 2819	. . . . 5 ⊢ ((1 + 2) + 7) = ;10
37	36	breq2i 4970	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ ;10)
38	29, 37	bitri 276	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ;10)
39	28, 38	mtbir 324	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;127
40		2lt5 11664	. . 3 ⊢ 2 < 5
41		5p2e7 11641	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
42	3, 13, 40, 41	dec5dvds2 16230	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;127
43	1, 6	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
44		0nn0 11760	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
46	1	dec0h 11969	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
47		5nn0 11765	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
48	32	mulid1i 10491	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		5cn 11573	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
50	49	addid2i 10675	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
51	48, 50	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52		7p5e12 12025	. . . . 5 ⊢ (7 + 5) = ;12
53	51, 52	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = ;12
54		6nn0 11766	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55		8cn 11582	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
56		8t7e56 12068	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
57	55, 32, 56	mulcomli 10496	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
58		6p1e7 11633	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	47, 54, 1, 57, 58	decaddi 12007	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 1) = ;57
60	1, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59	decma2c 12000	. . 3 ⊢ ((7 · ;18) + 1) = ;;127
61		1lt7 11676	. . 3 ⊢ 1 < 7
62	4, 43, 22, 60, 61	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;127
63	1, 22	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
64	1, 1	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
65		6nn 11574	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
66		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
67	54	dec0h 11969	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
68	64	nn0cni 11757	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
69	68	mulid1i 10491	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
70		ax-1cn 10441	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	70	addid2i 10675	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
72	69, 71	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = (;11 + 1)
73		1p1e2 11610	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
74	1, 1, 1, 66, 73	decaddi 12007	. . . . 5 ⊢ (;11 + 1) = ;12
75	72, 74	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = ;12
76		6cn 11576	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
77	76, 70, 58	addcomli 10679	. . . . 5 ⊢ (1 + 6) = 7
78	1, 1, 54, 69, 77	decaddi 12007	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + 6) = ;17
79	1, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78	decma2c 12000	. . 3 ⊢ ((;11 · ;11) + 6) = ;;127
80		6lt10 12082	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
81	22, 1, 54, 80	declti 11985	. . 3 ⊢ 6 < ;11
82	63, 64, 65, 79, 81	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;127
83	1, 21	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 11769	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85		10nn 11963	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
86		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
87		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
88		9cn 11585	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
89	88	mulid2i 10492	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
90	89, 30	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91		9p3e12 12036	. . . . 5 ⊢ (9 + 3) = ;12
92	90, 91	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = ;12
93		9t3e27 12071	. . . . . 6 ⊢ (9 · 3) = ;27
94	88, 33, 93	mulcomli 10496	. . . . 5 ⊢ (3 · 9) = ;27
95	32	addid1i 10674	. . . . 5 ⊢ (7 + 0) = 7
96	2, 8, 44, 94, 95	decaddi 12007	. . . 4 ⊢ ((3 · 9) + 0) = ;27
97	1, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;13 · 9) + ;10) = ;;127
98		3pos 11590	. . . 4 ⊢ 0 < 3
99	1, 44, 21, 98	declt 11975	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
100	83, 84, 85, 97, 99	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;127
101	1, 4	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
102		8nn 11580	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
103		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
104	32	mulid2i 10492	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
105	104	oveq1i 7026	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106	105, 52	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + 5) = ;12
107		7t7e49 12062	. . . . 5 ⊢ (7 · 7) = ;49
108		4p1e5 11631	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
109		9p8e17 12041	. . . . 5 ⊢ (9 + 8) = ;17
110	7, 84, 6, 107, 108, 8, 109	decaddci 12008	. . . 4 ⊢ ((7 · 7) + 8) = ;57
111	1, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110	decrmac 12005	. . 3 ⊢ ((;17 · 7) + 8) = ;;127
112		8lt10 12080	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
113	22, 8, 6, 112	declti 11985	. . 3 ⊢ 8 < ;17
114	101, 8, 102, 111, 113	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;127
115		9nn 11583	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
116	1, 115	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
117		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
118	76	mulid2i 10492	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
119		5p1e6 11632	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
120	49, 70, 119	addcomli 10679	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
121	118, 120	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122		6p6e12 12022	. . . . 5 ⊢ (6 + 6) = ;12
123	121, 122	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = ;12
124		9t6e54 12074	. . . . 5 ⊢ (9 · 6) = ;54
125		4p3e7 11639	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
126	47, 7, 17, 124, 125	decaddi 12007	. . . 4 ⊢ ((9 · 6) + 3) = ;57
127	1, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;19 · 6) + ;13) = ;;127
128		3lt9 11689	. . . 4 ⊢ 3 < 9
129	1, 17, 115, 128	declt 11975	. . 3 ⊢ ;13 < ;19
130	116, 54, 83, 127, 129	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;127
131	2, 21	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
132		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
133		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
134		2cn 11560	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
135		5t2e10 12048	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
136	49, 134, 135	mulcomli 10496	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
137	136, 73	oveq12i 7028	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = (;10 + 2)
138		dec10p 11990	. . . . 5 ⊢ (;10 + 2) = ;12
139	137, 138	eqtri 2819	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = ;12
140		5t3e15 12049	. . . . . 6 ⊢ (5 · 3) = ;15
141	49, 33, 140	mulcomli 10496	. . . . 5 ⊢ (3 · 5) = ;15
142	1, 47, 2, 141, 41	decaddi 12007	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
143	2, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142	decmac 11999	. . 3 ⊢ ((;23 · 5) + ;12) = ;;127
144		1lt2 11656	. . . 4 ⊢ 1 < 2
145	1, 2, 2, 17, 10, 144	decltc 11976	. . 3 ⊢ ;12 < ;23
146	131, 47, 14, 143, 145	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;127
147	5, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146	prmlem2 16282	1 ⊢ ;;127 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  ;cdc 11947   ∥ cdvds 15440  ℙcprime 15844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845

This theorem is referenced by:  m7prm  43246