Theorem 127prm 46820

Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
127prm	⊢ ;;127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12489	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		2nn0 12490	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12693	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
4		7nn 12305	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12698	. 2 ⊢ ;;127 ∈ ℕ
6		8nn0 12496	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12492	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 12495	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1lt8 12411	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		2lt10 12816	. . 3 ⊢ 2 < ;10
11		7lt10 12811	. . 3 ⊢ 7 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12711	. 2 ⊢ ;;127 < ;;841
13		2nn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		1lt10 12817	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12716	. 2 ⊢ 1 < ;;127
17		3nn0 12491	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
18		3t2e6 12379	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
19		df-7 12281	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
20	3, 17, 18, 19	dec2dvds 17003	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;127
21		3nn 12292	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
22		1nn 12224	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		3t3e9 12380	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
24	23	oveq1i 7414	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25		9p1e10 12680	. . . . 5 ⊢ (9 + 1) = ;10
26	24, 25	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
27		1lt3 12386	. . . 4 ⊢ 1 < 3
28	21, 17, 22, 26, 27	ndvdsi 16360	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;10
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16281	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30		1p2e3 12356	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
31	30	oveq1i 7414	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32		7cn 12307	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
33		3cn 12294	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
34		7p3e10 12753	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 3) = ;10
35	32, 33, 34	addcomli 11407	. . . . . 6 ⊢ (3 + 7) = ;10
36	31, 35	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((1 + 2) + 7) = ;10
37	36	breq2i 5149	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ ;10)
38	29, 37	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;127 ↔ 3 ∥ ;10)
39	28, 38	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;127
40		2lt5 12392	. . 3 ⊢ 2 < 5
41		5p2e7 12369	. . 3 ⊢ (5 + 2) = 7
42	3, 13, 40, 41	dec5dvds2 17005	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;127
43	1, 6	deccl 12693	. . 3 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
44		0nn0 12488	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
45		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;18 = ;18
46	1	dec0h 12700	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
47		5nn0 12493	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
48	32	mulridi 11219	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		5cn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
50	49	addlidi 11403	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
51	48, 50	oveq12i 7416	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52		7p5e12 12755	. . . . 5 ⊢ (7 + 5) = ;12
53	51, 52	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 5)) = ;12
54		6nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55		8cn 12310	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
56		8t7e56 12798	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
57	55, 32, 56	mulcomli 11224	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
58		6p1e7 12361	. . . . 5 ⊢ (6 + 1) = 7
59	47, 54, 1, 57, 58	decaddi 12738	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 1) = ;57
60	1, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59	decma2c 12731	. . 3 ⊢ ((7 · ;18) + 1) = ;;127
61		1lt7 12404	. . 3 ⊢ 1 < 7
62	4, 43, 22, 60, 61	ndvdsi 16360	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;127
63	1, 22	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
64	1, 1	deccl 12693	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
65		6nn 12302	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
66		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
67	54	dec0h 12700	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
68	64	nn0cni 12485	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
69	68	mulridi 11219	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
70		ax-1cn 11167	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
71	70	addlidi 11403	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
72	69, 71	oveq12i 7416	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = (;11 + 1)
73		1p1e2 12338	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
74	1, 1, 1, 66, 73	decaddi 12738	. . . . 5 ⊢ (;11 + 1) = ;12
75	72, 74	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 1)) = ;12
76		6cn 12304	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
77	76, 70, 58	addcomli 11407	. . . . 5 ⊢ (1 + 6) = 7
78	1, 1, 54, 69, 77	decaddi 12738	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + 6) = ;17
79	1, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78	decma2c 12731	. . 3 ⊢ ((;11 · ;11) + 6) = ;;127
80		6lt10 12812	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
81	22, 1, 54, 80	declti 12716	. . 3 ⊢ 6 < ;11
82	63, 64, 65, 79, 81	ndvdsi 16360	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;127
83	1, 21	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 12497	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85		10nn 12694	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
86		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
87		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
88		9cn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
89	88	mullidi 11220	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
90	89, 30	oveq12i 7416	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91		9p3e12 12766	. . . . 5 ⊢ (9 + 3) = ;12
92	90, 91	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 2)) = ;12
93		9t3e27 12801	. . . . . 6 ⊢ (9 · 3) = ;27
94	88, 33, 93	mulcomli 11224	. . . . 5 ⊢ (3 · 9) = ;27
95	32	addridi 11402	. . . . 5 ⊢ (7 + 0) = 7
96	2, 8, 44, 94, 95	decaddi 12738	. . . 4 ⊢ ((3 · 9) + 0) = ;27
97	1, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96	decmac 12730	. . 3 ⊢ ((;13 · 9) + ;10) = ;;127
98		3pos 12318	. . . 4 ⊢ 0 < 3
99	1, 44, 21, 98	declt 12706	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
100	83, 84, 85, 97, 99	ndvdsi 16360	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;127
101	1, 4	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
102		8nn 12308	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
103		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
104	32	mullidi 11220	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
105	104	oveq1i 7414	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106	105, 52	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + 5) = ;12
107		7t7e49 12792	. . . . 5 ⊢ (7 · 7) = ;49
108		4p1e5 12359	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
109		9p8e17 12771	. . . . 5 ⊢ (9 + 8) = ;17
110	7, 84, 6, 107, 108, 8, 109	decaddci 12739	. . . 4 ⊢ ((7 · 7) + 8) = ;57
111	1, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110	decrmac 12736	. . 3 ⊢ ((;17 · 7) + 8) = ;;127
112		8lt10 12810	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
113	22, 8, 6, 112	declti 12716	. . 3 ⊢ 8 < ;17
114	101, 8, 102, 111, 113	ndvdsi 16360	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;127
115		9nn 12311	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
116	1, 115	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
117		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
118	76	mullidi 11220	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
119		5p1e6 12360	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 1) = 6
120	49, 70, 119	addcomli 11407	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
121	118, 120	oveq12i 7416	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122		6p6e12 12752	. . . . 5 ⊢ (6 + 6) = ;12
123	121, 122	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (1 + 5)) = ;12
124		9t6e54 12804	. . . . 5 ⊢ (9 · 6) = ;54
125		4p3e7 12367	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
126	47, 7, 17, 124, 125	decaddi 12738	. . . 4 ⊢ ((9 · 6) + 3) = ;57
127	1, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126	decmac 12730	. . 3 ⊢ ((;19 · 6) + ;13) = ;;127
128		3lt9 12417	. . . 4 ⊢ 3 < 9
129	1, 17, 115, 128	declt 12706	. . 3 ⊢ ;13 < ;19
130	116, 54, 83, 127, 129	ndvdsi 16360	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;127
131	2, 21	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
132		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
133		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
134		2cn 12288	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
135		5t2e10 12778	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
136	49, 134, 135	mulcomli 11224	. . . . . 6 ⊢ (2 · 5) = ;10
137	136, 73	oveq12i 7416	. . . . 5 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = (;10 + 2)
138		dec10p 12721	. . . . 5 ⊢ (;10 + 2) = ;12
139	137, 138	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + (1 + 1)) = ;12
140		5t3e15 12779	. . . . . 6 ⊢ (5 · 3) = ;15
141	49, 33, 140	mulcomli 11224	. . . . 5 ⊢ (3 · 5) = ;15
142	1, 47, 2, 141, 41	decaddi 12738	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + 2) = ;17
143	2, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142	decmac 12730	. . 3 ⊢ ((;23 · 5) + ;12) = ;;127
144		1lt2 12384	. . . 4 ⊢ 1 < 2
145	1, 2, 2, 17, 10, 144	decltc 12707	. . 3 ⊢ ;12 < ;23
146	131, 47, 14, 143, 145	ndvdsi 16360	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;127
147	5, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146	prmlem2 17060	1 ⊢ ;;127 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  5c5 12271  6c6 12272  7c7 12273  8c8 12274  9c9 12275  ;cdc 12678   ∥ cdvds 16202  ℙcprime 16613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-prm 16614

This theorem is referenced by:  m7prm  46821