Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  127prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 127prm 43245
Description: 127 is a prime number. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
127prm 127 ∈ ℙ

Proof of Theorem 127prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11761 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 2nn0 11762 . . . 4 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11962 . . 3 12 ∈ ℕ0
4 7nn 11577 . . 3 7 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11967 . 2 127 ∈ ℕ
6 8nn0 11768 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11764 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 7nn0 11767 . . 3 7 ∈ ℕ0
9 1lt8 11683 . . 3 1 < 8
10 2lt10 12086 . . 3 2 < 10
11 7lt10 12081 . . 3 7 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11980 . 2 127 < 841
13 2nn 11558 . . . 4 2 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11967 . . 3 12 ∈ ℕ
15 1lt10 12087 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11985 . 2 1 < 127
17 3nn0 11763 . . 3 3 ∈ ℕ0
18 3t2e6 11651 . . 3 (3 · 2) = 6
19 df-7 11553 . . 3 7 = (6 + 1)
203, 17, 18, 19dec2dvds 16228 . 2 ¬ 2 ∥ 127
21 3nn 11564 . . . 4 3 ∈ ℕ
22 1nn 11497 . . . 4 1 ∈ ℕ
23 3t3e9 11652 . . . . . 6 (3 · 3) = 9
2423oveq1i 7026 . . . . 5 ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
25 9p1e10 11949 . . . . 5 (9 + 1) = 10
2624, 25eqtri 2819 . . . 4 ((3 · 3) + 1) = 10
27 1lt3 11658 . . . 4 1 < 3
2821, 17, 22, 26, 27ndvdsi 15596 . . 3 ¬ 3 ∥ 10
291, 2, 83dvds2dec 15515 . . . 4 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ ((1 + 2) + 7))
30 1p2e3 11628 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
3130oveq1i 7026 . . . . . 6 ((1 + 2) + 7) = (3 + 7)
32 7cn 11579 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
33 3cn 11566 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 7p3e10 12023 . . . . . . 7 (7 + 3) = 10
3532, 33, 34addcomli 10679 . . . . . 6 (3 + 7) = 10
3631, 35eqtri 2819 . . . . 5 ((1 + 2) + 7) = 10
3736breq2i 4970 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 2) + 7) ↔ 3 ∥ 10)
3829, 37bitri 276 . . 3 (3 ∥ 127 ↔ 3 ∥ 10)
3928, 38mtbir 324 . 2 ¬ 3 ∥ 127
40 2lt5 11664 . . 3 2 < 5
41 5p2e7 11641 . . 3 (5 + 2) = 7
423, 13, 40, 41dec5dvds2 16230 . 2 ¬ 5 ∥ 127
431, 6deccl 11962 . . 3 18 ∈ ℕ0
44 0nn0 11760 . . . 4 0 ∈ ℕ0
45 eqid 2795 . . . 4 18 = 18
461dec0h 11969 . . . 4 1 = 01
47 5nn0 11765 . . . 4 5 ∈ ℕ0
4832mulid1i 10491 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
49 5cn 11573 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
5049addid2i 10675 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
5148, 50oveq12i 7028 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 5)) = (7 + 5)
52 7p5e12 12025 . . . . 5 (7 + 5) = 12
5351, 52eqtri 2819 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 5)) = 12
54 6nn0 11766 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
55 8cn 11582 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
56 8t7e56 12068 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
5755, 32, 56mulcomli 10496 . . . . 5 (7 · 8) = 56
58 6p1e7 11633 . . . . 5 (6 + 1) = 7
5947, 54, 1, 57, 58decaddi 12007 . . . 4 ((7 · 8) + 1) = 57
601, 6, 44, 1, 45, 46, 8, 8, 47, 53, 59decma2c 12000 . . 3 ((7 · 18) + 1) = 127
61 1lt7 11676 . . 3 1 < 7
624, 43, 22, 60, 61ndvdsi 15596 . 2 ¬ 7 ∥ 127
631, 22decnncl 11967 . . 3 11 ∈ ℕ
641, 1deccl 11962 . . 3 11 ∈ ℕ0
65 6nn 11574 . . 3 6 ∈ ℕ
66 eqid 2795 . . . 4 11 = 11
6754dec0h 11969 . . . 4 6 = 06
6864nn0cni 11757 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
6968mulid1i 10491 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
70 ax-1cn 10441 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7170addid2i 10675 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
7269, 71oveq12i 7028 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 1)) = (11 + 1)
73 1p1e2 11610 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
741, 1, 1, 66, 73decaddi 12007 . . . . 5 (11 + 1) = 12
7572, 74eqtri 2819 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 1)) = 12
76 6cn 11576 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
7776, 70, 58addcomli 10679 . . . . 5 (1 + 6) = 7
781, 1, 54, 69, 77decaddi 12007 . . . 4 ((11 · 1) + 6) = 17
791, 1, 44, 54, 66, 67, 64, 8, 1, 75, 78decma2c 12000 . . 3 ((11 · 11) + 6) = 127
80 6lt10 12082 . . . 4 6 < 10
8122, 1, 54, 80declti 11985 . . 3 6 < 11
8263, 64, 65, 79, 81ndvdsi 15596 . 2 ¬ 11 ∥ 127
831, 21decnncl 11967 . . 3 13 ∈ ℕ
84 9nn0 11769 . . 3 9 ∈ ℕ0
85 10nn 11963 . . 3 10 ∈ ℕ
86 eqid 2795 . . . 4 13 = 13
87 eqid 2795 . . . 4 10 = 10
88 9cn 11585 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
8988mulid2i 10492 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
9089, 30oveq12i 7028 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 2)) = (9 + 3)
91 9p3e12 12036 . . . . 5 (9 + 3) = 12
9290, 91eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 2)) = 12
93 9t3e27 12071 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
9488, 33, 93mulcomli 10496 . . . . 5 (3 · 9) = 27
9532addid1i 10674 . . . . 5 (7 + 0) = 7
962, 8, 44, 94, 95decaddi 12007 . . . 4 ((3 · 9) + 0) = 27
971, 17, 1, 44, 86, 87, 84, 8, 2, 92, 96decmac 11999 . . 3 ((13 · 9) + 10) = 127
98 3pos 11590 . . . 4 0 < 3
991, 44, 21, 98declt 11975 . . 3 10 < 13
10083, 84, 85, 97, 99ndvdsi 15596 . 2 ¬ 13 ∥ 127
1011, 4decnncl 11967 . . 3 17 ∈ ℕ
102 8nn 11580 . . 3 8 ∈ ℕ
103 eqid 2795 . . . 4 17 = 17
10432mulid2i 10492 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
105104oveq1i 7026 . . . . 5 ((1 · 7) + 5) = (7 + 5)
106105, 52eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 7) + 5) = 12
107 7t7e49 12062 . . . . 5 (7 · 7) = 49
108 4p1e5 11631 . . . . 5 (4 + 1) = 5
109 9p8e17 12041 . . . . 5 (9 + 8) = 17
1107, 84, 6, 107, 108, 8, 109decaddci 12008 . . . 4 ((7 · 7) + 8) = 57
1111, 8, 6, 103, 8, 8, 47, 106, 110decrmac 12005 . . 3 ((17 · 7) + 8) = 127
112 8lt10 12080 . . . 4 8 < 10
11322, 8, 6, 112declti 11985 . . 3 8 < 17
114101, 8, 102, 111, 113ndvdsi 15596 . 2 ¬ 17 ∥ 127
115 9nn 11583 . . . 4 9 ∈ ℕ
1161, 115decnncl 11967 . . 3 19 ∈ ℕ
117 eqid 2795 . . . 4 19 = 19
11876mulid2i 10492 . . . . . 6 (1 · 6) = 6
119 5p1e6 11632 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
12049, 70, 119addcomli 10679 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
121118, 120oveq12i 7028 . . . . 5 ((1 · 6) + (1 + 5)) = (6 + 6)
122 6p6e12 12022 . . . . 5 (6 + 6) = 12
123121, 122eqtri 2819 . . . 4 ((1 · 6) + (1 + 5)) = 12
124 9t6e54 12074 . . . . 5 (9 · 6) = 54
125 4p3e7 11639 . . . . 5 (4 + 3) = 7
12647, 7, 17, 124, 125decaddi 12007 . . . 4 ((9 · 6) + 3) = 57
1271, 84, 1, 17, 117, 86, 54, 8, 47, 123, 126decmac 11999 . . 3 ((19 · 6) + 13) = 127
128 3lt9 11689 . . . 4 3 < 9
1291, 17, 115, 128declt 11975 . . 3 13 < 19
130116, 54, 83, 127, 129ndvdsi 15596 . 2 ¬ 19 ∥ 127
1312, 21decnncl 11967 . . 3 23 ∈ ℕ
132 eqid 2795 . . . 4 23 = 23
133 eqid 2795 . . . 4 12 = 12
134 2cn 11560 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
135 5t2e10 12048 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
13649, 134, 135mulcomli 10496 . . . . . 6 (2 · 5) = 10
137136, 73oveq12i 7028 . . . . 5 ((2 · 5) + (1 + 1)) = (10 + 2)
138 dec10p 11990 . . . . 5 (10 + 2) = 12
139137, 138eqtri 2819 . . . 4 ((2 · 5) + (1 + 1)) = 12
140 5t3e15 12049 . . . . . 6 (5 · 3) = 15
14149, 33, 140mulcomli 10496 . . . . 5 (3 · 5) = 15
1421, 47, 2, 141, 41decaddi 12007 . . . 4 ((3 · 5) + 2) = 17
1432, 17, 1, 2, 132, 133, 47, 8, 1, 139, 142decmac 11999 . . 3 ((23 · 5) + 12) = 127
144 1lt2 11656 . . . 4 1 < 2
1451, 2, 2, 17, 10, 144decltc 11976 . . 3 12 < 23
146131, 47, 14, 143, 145ndvdsi 15596 . 2 ¬ 23 ∥ 127
1475, 12, 16, 20, 39, 42, 62, 82, 100, 114, 130, 146prmlem2 16282 1 127 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  cdvds 15440  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  m7prm  43246
  Copyright terms: Public domain W3C validator