Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 46692
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 46691 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 12294 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 12484 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 12287 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12693 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 12388 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 12219 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 12486 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 12812 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 12711 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2724 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 16622 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 12488 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 12296 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulridi 11214 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 7411 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 12355 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2752 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 12774 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 12739 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22eqtr4di 2782 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 327 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 12487 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 12693 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 12291 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 12711 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 12381 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2724 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 16622 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 4t3e12 12771 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
37 3t3e9 12375 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
388, 27, 8, 35, 36, 37decmul1 12737 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
3934, 38eqtr4di 2782 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4039eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4133, 40mtbiri 327 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4241pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
43 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4426, 42, 433jaoi 1424 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4544com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
46453ad2ant1 1130 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
471, 46mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  cle 11245  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  5c5 12266  6c6 12267  9c9 12270  cdc 12673  cfl 13751  csqrt 15176  cdvds 16193  cprime 16604  FermatNocfmtno 46646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16766  df-lgs 27132  df-fmtno 46647
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  46694
  Copyright terms: Public domain W3C validator