Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 43582
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 43581 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11712 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11902 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11705 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12107 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11806 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 11638 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11904 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 12226 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 12125 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2821 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 16023 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11906 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11714 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 10634 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11773 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2844 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 12188 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 12153 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2874 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 328 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11905 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 12107 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11709 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 12125 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11799 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2821 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 16023 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 4t3e12 12185 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
37 3t3e9 11793 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
388, 27, 8, 35, 36, 37decmul1 12151 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
3934, 38syl6eqr 2874 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4039eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4133, 40mtbiri 328 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4241pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
43 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4426, 42, 433jaoi 1419 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4544com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
46453ad2ant1 1125 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
471, 46mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cle 10665  2c2 11681  3c3 11682  4c4 11683  5c5 11684  6c6 11685  9c9 11688  cdc 12087  cfl 13150  csqrt 14582  cdvds 15597  cprime 16005  FermatNocfmtno 43536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-prod 15250  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-odz 16092  df-phi 16093  df-pc 16164  df-lgs 25799  df-fmtno 43537
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43584
  Copyright terms: Public domain W3C validator