Theorem fmtno4prmfac193 48659

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac193	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno4prmfac 48658	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))
2		5nn 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		1nn0 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12839	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6		1lt5 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
7		1nn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		3nn0 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt10 12960	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < ;10
10	7, 8, 3, 9	declti 12858	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;13
11		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · ;13) = (5 · ;13)
12	2, 5, 6, 10, 11	nprmi 16865	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (5 · ;13) ∈ ℙ
13		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = ;65)
14		5nn0 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
16		5cn 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
17	16	mulridi 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 1) = 5
18	17	oveq1i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19		5p1e6 12490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
20	18, 19	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 1) + 1) = 6
21		5t3e15 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 3) = ;15
22	14, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21	decmul2c 12886	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · ;13) = ;65
23	13, 22	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = (5 · ;13))
24	23	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · ;13) ∈ ℙ))
25	12, 24	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
26	25	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
27		4nn0 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27, 4	decnncl 12839	. . . . . . . 8 ⊢ ;43 ∈ ℕ
29		4nn 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
30	29, 8, 3, 9	declti 12858	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;43
31		1lt3 12519	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
32		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (;43 · 3) = (;43 · 3)
33	28, 4, 30, 31, 32	nprmi 16865	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;43 · 3) ∈ ℙ
34		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = ;;129)
35		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 = ;43
36		4t3e12 12918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 3) = ;12
37		3t3e9 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
38	8, 27, 8, 35, 36, 37	decmul1 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (;43 · 3) = ;;129
39	34, 38	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = (;43 · 3))
40	39	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (;43 · 3) ∈ ℙ))
41	33, 40	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;;129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
42	41	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
43		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
44	26, 42, 43	3jaoi 1454	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
45	44	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
46	45	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
47	1, 46	mpd 16	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   ≤ cle 11345  2c2 12398  3c3 12399  4c4 12400  5c5 12401  6c6 12402  9c9 12405  ;cdc 12815  ⌊cfl 13931  √csqrt 15401   ∥ cdvds 16423  ℙcprime 16847  FermatNocfmtno 48613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-prod 16074  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-odz 16943  df-phi 16944  df-pc 17016  df-lgs 27623  df-fmtno 48614

This theorem is used by:  fmtno4prm  48661