Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 43138
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 43137 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11534 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11731 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11525 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11938 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11633 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 11458 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11733 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 12058 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 11956 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2780 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 15895 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11735 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2780 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11536 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 10450 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 6992 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11600 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2804 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 12020 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 11985 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2834 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2852 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 319 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11734 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 11938 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11530 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 11956 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11626 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2780 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 15895 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2780 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 4t3e12 12017 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
37 3t3e9 11620 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
388, 27, 8, 35, 36, 37decmul1 11982 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
3934, 38syl6eqr 2834 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4039eleq1d 2852 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4133, 40mtbiri 319 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4241pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
43 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4426, 42, 433jaoi 1408 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4544com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
46453ad2ant1 1114 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
471, 46mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1068  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051   class class class wbr 4934  cfv 6193  (class class class)co 6982  1c1 10342   + caddc 10344   · cmul 10346  cle 10481  2c2 11501  3c3 11502  4c4 11503  5c5 11504  6c6 11505  9c9 11508  cdc 11917  cfl 12981  csqrt 14459  cdvds 15473  cprime 15877  FermatNocfmtno 43092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-inf2 8904  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-dju 9130  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-xnn0 11786  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-ioo 12564  df-ico 12566  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-mod 13059  df-seq 13191  df-exp 13251  df-fac 13455  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-clim 14712  df-prod 15126  df-dvds 15474  df-gcd 15710  df-prm 15878  df-odz 15964  df-phi 15965  df-pc 16036  df-lgs 25588  df-fmtno 43093
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43140
  Copyright terms: Public domain W3C validator