Theorem fmtno4prmfac193 48036

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac193	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno4prmfac 48035	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))
2		5nn 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		1nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6		1lt5 12356	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
7		1nn 12185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		3nn0 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt10 12783	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < ;10
10	7, 8, 3, 9	declti 12682	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;13
11		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · ;13) = (5 · ;13)
12	2, 5, 6, 10, 11	nprmi 16658	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (5 · ;13) ∈ ℙ
13		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = ;65)
14		5nn0 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
16		5cn 12269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
17	16	mulridi 11149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 1) = 5
18	17	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19		5p1e6 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
20	18, 19	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 1) + 1) = 6
21		5t3e15 12745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 3) = ;15
22	14, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21	decmul2c 12710	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · ;13) = ;65
23	13, 22	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = (5 · ;13))
24	23	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · ;13) ∈ ℙ))
25	12, 24	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
26	25	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
27		4nn0 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27, 4	decnncl 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ;43 ∈ ℕ
29		4nn 12264	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
30	29, 8, 3, 9	declti 12682	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;43
31		1lt3 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
32		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (;43 · 3) = (;43 · 3)
33	28, 4, 30, 31, 32	nprmi 16658	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;43 · 3) ∈ ℙ
34		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = ;;129)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 = ;43
36		4t3e12 12742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 3) = ;12
37		3t3e9 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
38	8, 27, 8, 35, 36, 37	decmul1 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ (;43 · 3) = ;;129
39	34, 38	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = (;43 · 3))
40	39	eleq1d 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (;43 · 3) ∈ ℙ))
41	33, 40	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;;129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
42	41	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
43		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
44	26, 42, 43	3jaoi 1431	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
45	44	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
46	45	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
47	1, 46	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   ≤ cle 11180  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  9c9 12243  ;cdc 12644  ⌊cfl 13749  √csqrt 15195   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640  FermatNocfmtno 47990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-odz 16735  df-phi 16736  df-pc 16808  df-lgs 27258  df-fmtno 47991

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  48038