Theorem fmtno4prmfac193 48752

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac193	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno4prmfac 48751	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))
2		5nn 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		1nn0 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12842	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6		1lt5 12529	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
7		1nn 12350	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		3nn0 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt10 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < ;10
10	7, 8, 3, 9	declti 12861	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;13
11		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · ;13) = (5 · ;13)
12	2, 5, 6, 10, 11	nprmi 16870	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (5 · ;13) ∈ ℙ
13		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = ;65)
14		5nn0 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
16		5cn 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
17	16	mulridi 11317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 1) = 5
18	17	oveq1i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19		5p1e6 12493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
20	18, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 1) + 1) = 6
21		5t3e15 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 3) = ;15
22	14, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21	decmul2c 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · ;13) = ;65
23	13, 22	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = (5 · ;13))
24	23	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · ;13) ∈ ℙ))
25	12, 24	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
26	25	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
27		4nn0 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27, 4	decnncl 12842	. . . . . . . 8 ⊢ ;43 ∈ ℕ
29		4nn 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
30	29, 8, 3, 9	declti 12861	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;43
31		1lt3 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
32		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (;43 · 3) = (;43 · 3)
33	28, 4, 30, 31, 32	nprmi 16870	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;43 · 3) ∈ ℙ
34		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = ;;129)
35		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 = ;43
36		4t3e12 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 3) = ;12
37		3t3e9 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
38	8, 27, 8, 35, 36, 37	decmul1 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ (;43 · 3) = ;;129
39	34, 38	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = (;43 · 3))
40	39	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (;43 · 3) ∈ ℙ))
41	33, 40	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;;129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
42	41	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
43		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
44	26, 42, 43	3jaoi 1454	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
45	44	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
46	45	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
47	1, 46	mpd 16	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   ≤ cle 11348  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  9c9 12408  ;cdc 12818  ⌊cfl 13934  √csqrt 15406   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852  FermatNocfmtno 48706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-prod 16079  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-odz 16948  df-phi 16949  df-pc 17021  df-lgs 27628  df-fmtno 48707

This theorem is used by:  fmtno4prm  48754