Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 42057
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 42056 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11461 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11571 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11459 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11775 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11475 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 11312 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11573 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 11894 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 11793 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2806 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 15616 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11575 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11380 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 10325 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 6880 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11434 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2828 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 11856 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 11821 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2858 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2870 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 318 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11574 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 11775 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11460 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 11793 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11468 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2806 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 15616 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 9nn0 11579 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
37 4t3e12 11853 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
38 3t3e9 11454 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
398, 27, 8, 35, 36, 37, 38decmul1 11819 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
4034, 39syl6eqr 2858 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4140eleq1d 2870 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4233, 41mtbiri 318 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4342pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
44 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4526, 43, 443jaoi 1545 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4645com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
47463ad2ant1 1156 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
481, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1099  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156   class class class wbr 4844  cfv 6097  (class class class)co 6870  1c1 10218   + caddc 10220   · cmul 10222  cle 10356  2c2 11352  3c3 11353  4c4 11354  5c5 11355  6c6 11356  9c9 11359  cdc 11755  cfl 12811  csqrt 14192  cdvds 15199  cprime 15599  FermatNocfmtno 42011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14853  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-prm 15600  df-odz 15683  df-phi 15684  df-pc 15755  df-lgs 25233  df-fmtno 42012
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  42059
  Copyright terms: Public domain W3C validator