Theorem fmtno4prmfac193 47574

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac193	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno4prmfac 47573	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))
2		5nn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		1nn0 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6		1lt5 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
7		1nn 12197	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		3nn0 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt10 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < ;10
10	7, 8, 3, 9	declti 12687	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;13
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · ;13) = (5 · ;13)
12	2, 5, 6, 10, 11	nprmi 16659	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (5 · ;13) ∈ ℙ
13		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = ;65)
14		5nn0 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
16		5cn 12274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
17	16	mulridi 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 1) = 5
18	17	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19		5p1e6 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
20	18, 19	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 1) + 1) = 6
21		5t3e15 12750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 3) = ;15
22	14, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21	decmul2c 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · ;13) = ;65
23	13, 22	eqtr4di 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = (5 · ;13))
24	23	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · ;13) ∈ ℙ))
25	12, 24	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
26	25	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
27		4nn0 12461	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27, 4	decnncl 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ;43 ∈ ℕ
29		4nn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
30	29, 8, 3, 9	declti 12687	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;43
31		1lt3 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
32		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (;43 · 3) = (;43 · 3)
33	28, 4, 30, 31, 32	nprmi 16659	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;43 · 3) ∈ ℙ
34		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = ;;129)
35		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 = ;43
36		4t3e12 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 3) = ;12
37		3t3e9 12348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
38	8, 27, 8, 35, 36, 37	decmul1 12713	. . . . . . . . 9 ⊢ (;43 · 3) = ;;129
39	34, 38	eqtr4di 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = (;43 · 3))
40	39	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (;43 · 3) ∈ ℙ))
41	33, 40	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;;129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
42	41	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
43		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
44	26, 42, 43	3jaoi 1430	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
45	44	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
46	45	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
47	1, 46	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  9c9 12248  ;cdc 12649  ⌊cfl 13752  √csqrt 15199   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641  FermatNocfmtno 47528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-odz 16735  df-phi 16736  df-pc 16808  df-lgs 27206  df-fmtno 47529

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47576