Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 45839
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4) ∧ 𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4)))) β†’ 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 45838 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4) ∧ 𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4)))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 12246 . . . . . . . 8 5 ∈ β„•
3 1nn0 12436 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•0
4 3nn 12239 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•
53, 4decnncl 12645 . . . . . . . 8 13 ∈ β„•
6 1lt5 12340 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 12171 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
8 3nn0 12438 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
9 1lt10 12764 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 12663 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (5 Β· 13) = (5 Β· 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 16572 . . . . . . 7 Β¬ (5 Β· 13) ∈ β„™
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 β†’ 𝑃 = 65)
14 5nn0 12440 . . . . . . . . . 10 5 ∈ β„•0
15 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 12248 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ β„‚
1716mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . 12 (5 Β· 1) = 5
1817oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((5 Β· 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 12307 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((5 Β· 1) + 1) = 6
21 5t3e15 12726 . . . . . . . . . 10 (5 Β· 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 12691 . . . . . . . . 9 (5 Β· 13) = 65
2313, 22eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 β†’ 𝑃 = (5 Β· 13))
2423eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ↔ (5 Β· 13) ∈ β„™))
2512, 24mtbiri 327 . . . . . 6 (𝑃 = 65 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ β„™)
2625pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 = 65 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 = 193))
27 4nn0 12439 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„•0
2827, 4decnncl 12645 . . . . . . . 8 43 ∈ β„•
29 4nn 12243 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„•
3029, 8, 3, 9declti 12663 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 12333 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2737 . . . . . . . 8 (43 Β· 3) = (43 Β· 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 16572 . . . . . . 7 Β¬ (43 Β· 3) ∈ β„™
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 β†’ 𝑃 = 129)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 4t3e12 12723 . . . . . . . . . 10 (4 Β· 3) = 12
37 3t3e9 12327 . . . . . . . . . 10 (3 Β· 3) = 9
388, 27, 8, 35, 36, 37decmul1 12689 . . . . . . . . 9 (43 Β· 3) = 129
3934, 38eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 β†’ 𝑃 = (43 Β· 3))
4039eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 β†’ (𝑃 ∈ β„™ ↔ (43 Β· 3) ∈ β„™))
4133, 40mtbiri 327 . . . . . 6 (𝑃 = 129 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ β„™)
4241pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑃 = 129 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 = 193))
43 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 = 193))
4426, 42, 433jaoi 1428 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 = 193))
4544com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) β†’ 𝑃 = 193))
46453ad2ant1 1134 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4) ∧ 𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4)))) β†’ ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) β†’ 𝑃 = 193))
471, 46mpd 15 1 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4) ∧ 𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4)))) β†’ 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  9c9 12222  cdc 12625  βŒŠcfl 13702  βˆšcsqrt 15125   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-odz 16644  df-phi 16645  df-pc 16716  df-lgs 26659  df-fmtno 45794
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  45841
  Copyright terms: Public domain W3C validator