Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prmfac193 42013
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac193 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193
StepHypRef Expression
1 fmtno4prmfac 42012 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
2 5nn 11390 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
3 1nn0 11510 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
4 3nn 11388 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11720 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ
6 1lt5 11405 . . . . . . . 8 1 < 5
7 1nn 11233 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
8 3nn0 11512 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
9 1lt10 11882 . . . . . . . . 9 1 < 10
107, 8, 3, 9declti 11748 . . . . . . . 8 1 < 13
11 eqid 2771 . . . . . . . 8 (5 · 13) = (5 · 13)
122, 5, 6, 10, 11nprmi 15609 . . . . . . 7 ¬ (5 · 13) ∈ ℙ
13 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 65 → 𝑃 = 65)
14 5nn0 11514 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
15 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 13 = 13
16 5cn 11302 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℂ
1716mulid1i 10244 . . . . . . . . . . . 12 (5 · 1) = 5
1817oveq1i 6803 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19 5p1e6 11357 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
2018, 19eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((5 · 1) + 1) = 6
21 5t3e15 11836 . . . . . . . . . 10 (5 · 3) = 15
2214, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21decmul2c 11790 . . . . . . . . 9 (5 · 13) = 65
2313, 22syl6eqr 2823 . . . . . . . 8 (𝑃 = 65 → 𝑃 = (5 · 13))
2423eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · 13) ∈ ℙ))
2512, 24mtbiri 316 . . . . . 6 (𝑃 = 65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
2625pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑃 = 65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
27 4nn0 11513 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
2827, 4decnncl 11720 . . . . . . . 8 43 ∈ ℕ
29 4nn 11389 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
3029, 8, 3, 9declti 11748 . . . . . . . 8 1 < 43
31 1lt3 11398 . . . . . . . 8 1 < 3
32 eqid 2771 . . . . . . . 8 (43 · 3) = (43 · 3)
3328, 4, 30, 31, 32nprmi 15609 . . . . . . 7 ¬ (43 · 3) ∈ ℙ
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 129 → 𝑃 = 129)
35 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 43 = 43
36 9nn0 11518 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
37 4t3e12 11833 . . . . . . . . . 10 (4 · 3) = 12
38 3t3e9 11382 . . . . . . . . . 10 (3 · 3) = 9
398, 27, 8, 35, 36, 37, 38decmul1 11786 . . . . . . . . 9 (43 · 3) = 129
4034, 39syl6eqr 2823 . . . . . . . 8 (𝑃 = 129 → 𝑃 = (43 · 3))
4140eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (43 · 3) ∈ ℙ))
4233, 41mtbiri 316 . . . . . 6 (𝑃 = 129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
4342pm2.21d 119 . . . . 5 (𝑃 = 129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
44 ax-1 6 . . . . 5 (𝑃 = 193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4526, 43, 443jaoi 1539 . . . 4 ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = 193))
4645com12 32 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
47463ad2ant1 1127 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193) → 𝑃 = 193))
481, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = 193)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cle 10277  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  9c9 11279  cdc 11695  cfl 12799  csqrt 14181  cdvds 15189  cprime 15592  FermatNocfmtno 41967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-odz 15677  df-phi 15678  df-pc 15749  df-lgs 25241  df-fmtno 41968
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  42015
  Copyright terms: Public domain W3C validator