Theorem fmtno4prmfac193 48058

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number, it would be 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac193	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Proof of Theorem fmtno4prmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmtno4prmfac 48057	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))
2		5nn 12265	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ
3		1nn0 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		3nn 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12662	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ
6		1lt5 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 5
7		1nn 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		3nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt10 12781	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < ;10
10	7, 8, 3, 9	declti 12680	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;13
11		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · ;13) = (5 · ;13)
12	2, 5, 6, 10, 11	nprmi 16656	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (5 · ;13) ∈ ℙ
13		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = ;65)
14		5nn0 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
16		5cn 12267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℂ
17	16	mulridi 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 · 1) = 5
18	17	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 1) + 1) = (5 + 1)
19		5p1e6 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
20	18, 19	eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 1) + 1) = 6
21		5t3e15 12743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 3) = ;15
22	14, 3, 8, 15, 14, 3, 20, 21	decmul2c 12708	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · ;13) = ;65
23	13, 22	eqtr4di 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;65 → 𝑃 = (5 · ;13))
24	23	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (5 · ;13) ∈ ℙ))
25	12, 24	mtbiri 328	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;65 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
26	25	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;65 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
27		4nn0 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
28	27, 4	decnncl 12662	. . . . . . . 8 ⊢ ;43 ∈ ℕ
29		4nn 12262	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
30	29, 8, 3, 9	declti 12680	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;43
31		1lt3 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
32		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (;43 · 3) = (;43 · 3)
33	28, 4, 30, 31, 32	nprmi 16656	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (;43 · 3) ∈ ℙ
34		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = ;;129)
35		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;43 = ;43
36		4t3e12 12740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 3) = ;12
37		3t3e9 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 3) = 9
38	8, 27, 8, 35, 36, 37	decmul1 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ (;43 · 3) = ;;129
39	34, 38	eqtr4di 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ;;129 → 𝑃 = (;43 · 3))
40	39	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (;43 · 3) ∈ ℙ))
41	33, 40	mtbiri 328	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = ;;129 → ¬ 𝑃 ∈ ℙ)
42	41	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;129 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
43		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ;;193 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
44	26, 42, 43	3jaoi 1436	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = ;;193))
45	44	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
46	45	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → ((𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193) → 𝑃 = ;;193))
47	1, 46	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑃 = ;;193)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   ≤ cle 11178  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  9c9 12241  ;cdc 12642  ⌊cfl 13747  √csqrt 15193   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638  FermatNocfmtno 48012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-prod 15867  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-odz 16733  df-phi 16734  df-pc 16806  df-lgs 27283  df-fmtno 48013

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  48060