Theorem 11prm 17085

Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
11prm	⊢ ;11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12458	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12197	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12669	. 2 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4		1lt10 12788	. . 3 ⊢ 1 < ;10
5	2, 1, 1, 4	declti 12687	. 2 ⊢ 1 < ;11
6		0nn0 12457	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		2cn 12261	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	mul02i 11363	. . 3 ⊢ (0 · 2) = 0
9		1e0p1 12691	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
10	1, 6, 8, 9	dec2dvds 17034	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;11
11		3nn 12265	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		3nn0 12460	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		2nn 12259	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		3t3e9 12348	. . . . 5 ⊢ (3 · 3) = 9
15	14	oveq1i 7397	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16		9p2e11 12736	. . . 4 ⊢ (9 + 2) = ;11
17	15, 16	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
18		2lt3 12353	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	11, 12, 13, 17, 18	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;11
20		2nn0 12459	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		5nn0 12462	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		1lt2 12352	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	1, 20, 1, 21, 4, 22	decltc 12678	. 2 ⊢ ;11 < ;25
24	3, 5, 10, 19, 23	prmlem1 17078	1 ⊢ ;11 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  5c5 12244  9c9 12248  ;cdc 12649  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  60gcd7e1  41993