Theorem 11prm 17192

Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
11prm	⊢ ;11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12531	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12255	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12746	. 2 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4		1lt10 12867	. . 3 ⊢ 1 < ;10
5	2, 1, 1, 4	declti 12765	. 2 ⊢ 1 < ;11
6		0nn0 12530	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		2cn 12327	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	mul02i 11410	. . 3 ⊢ (0 · 2) = 0
9		1e0p1 12769	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
10	1, 6, 8, 9	dec2dvds 17140	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;11
11		3nn 12331	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		3nn0 12533	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		2nn 12325	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		3t3e9 12419	. . . . 5 ⊢ (3 · 3) = 9
15	14	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16		9p2e11 12814	. . . 4 ⊢ (9 + 2) = ;11
17	15, 16	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
18		2lt3 12425	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	11, 12, 13, 17, 18	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;11
20		2nn0 12532	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		5nn0 12535	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		1lt2 12424	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	1, 20, 1, 21, 4, 22	decltc 12756	. 2 ⊢ ;11 < ;25
24	3, 5, 10, 19, 23	prmlem1 17184	1 ⊢ ;11 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  5c5 12309  9c9 12313  ;cdc 12722  ℙcprime 16746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-prm 16747

This theorem is used by:  60gcd7e1  42805