Theorem 11prm 17179

Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
11prm	⊢ ;11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12524	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12248	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12739	. 2 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4		1lt10 12860	. . 3 ⊢ 1 < ;10
5	2, 1, 1, 4	declti 12758	. 2 ⊢ 1 < ;11
6		0nn0 12523	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		2cn 12320	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	mul02i 11403	. . 3 ⊢ (0 · 2) = 0
9		1e0p1 12762	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
10	1, 6, 8, 9	dec2dvds 17127	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;11
11		3nn 12324	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		3nn0 12526	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		2nn 12318	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		3t3e9 12412	. . . . 5 ⊢ (3 · 3) = 9
15	14	oveq1i 7420	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16		9p2e11 12807	. . . 4 ⊢ (9 + 2) = ;11
17	15, 16	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
18		2lt3 12418	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	11, 12, 13, 17, 18	ndvdsi 16474	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;11
20		2nn0 12525	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		5nn0 12528	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		1lt2 12417	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	1, 20, 1, 21, 4, 22	decltc 12749	. 2 ⊢ ;11 < ;25
24	3, 5, 10, 19, 23	prmlem1 17171	1 ⊢ ;11 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109  2c2 12299  3c3 12300  5c5 12302  9c9 12306  ;cdc 12715  ℙcprime 16733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-dvds 16315  df-prm 16734

This theorem is used by:  60gcd7e1  42800