MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  11prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 11prm 16984
Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
11prm 11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12426 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 1nn 12161 . . 3 1 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12635 . 2 11 ∈ ℕ
4 1lt10 12754 . . 3 1 < 10
52, 1, 1, 4declti 12653 . 2 1 < 11
6 0nn0 12425 . . 3 0 ∈ ℕ0
7 2cn 12225 . . . 4 2 ∈ ℂ
87mul02i 11341 . . 3 (0 · 2) = 0
9 1e0p1 12657 . . 3 1 = (0 + 1)
101, 6, 8, 9dec2dvds 16932 . 2 ¬ 2 ∥ 11
11 3nn 12229 . . 3 3 ∈ ℕ
12 3nn0 12428 . . 3 3 ∈ ℕ0
13 2nn 12223 . . 3 2 ∈ ℕ
14 3t3e9 12317 . . . . 5 (3 · 3) = 9
1514oveq1i 7364 . . . 4 ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16 9p2e11 12702 . . . 4 (9 + 2) = 11
1715, 16eqtri 2764 . . 3 ((3 · 3) + 2) = 11
18 2lt3 12322 . . 3 2 < 3
1911, 12, 13, 17, 18ndvdsi 16291 . 2 ¬ 3 ∥ 11
20 2nn0 12427 . . 3 2 ∈ ℕ0
21 5nn0 12430 . . 3 5 ∈ ℕ0
22 1lt2 12321 . . 3 1 < 2
231, 20, 1, 21, 4, 22decltc 12644 . 2 11 < 25
243, 5, 10, 19, 23prmlem1 16977 1 11 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7354  0cc0 11048  1c1 11049   + caddc 11051   · cmul 11053  2c2 12205  3c3 12206  5c5 12208  9c9 12212  cdc 12615  cprime 16544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-sup 9375  df-inf 9376  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-rp 12913  df-fz 13422  df-seq 13904  df-exp 13965  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-dvds 16134  df-prm 16545
This theorem is referenced by:  60gcd7e1  40451
  Copyright terms: Public domain W3C validator