Theorem 11prm 16506

Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
11prm	⊢ ;11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11950	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 11685	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12157	. 2 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4		1lt10 12276	. . 3 ⊢ 1 < ;10
5	2, 1, 1, 4	declti 12175	. 2 ⊢ 1 < ;11
6		0nn0 11949	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		2cn 11749	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	mul02i 10867	. . 3 ⊢ (0 · 2) = 0
9		1e0p1 12179	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
10	1, 6, 8, 9	dec2dvds 16454	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;11
11		3nn 11753	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		3nn0 11952	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		2nn 11747	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		3t3e9 11841	. . . . 5 ⊢ (3 · 3) = 9
15	14	oveq1i 7160	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16		9p2e11 12224	. . . 4 ⊢ (9 + 2) = ;11
17	15, 16	eqtri 2781	. . 3 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
18		2lt3 11846	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	11, 12, 13, 17, 18	ndvdsi 15813	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;11
20		2nn0 11951	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		5nn0 11954	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		1lt2 11845	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	1, 20, 1, 21, 4, 22	decltc 12166	. 2 ⊢ ;11 < ;25
24	3, 5, 10, 19, 23	prmlem1 16499	1 ⊢ ;11 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  2c2 11729  3c3 11730  5c5 11732  9c9 11736  ;cdc 12137  ℙcprime 16067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-prm 16068

This theorem is referenced by:  60gcd7e1  39572