Theorem 11prm 16844

Description: 11 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
11prm	⊢ ;11 ∈ ℙ

Proof of Theorem 11prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12012	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12485	. 2 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4		1lt10 12604	. . 3 ⊢ 1 < ;10
5	2, 1, 1, 4	declti 12503	. 2 ⊢ 1 < ;11
6		0nn0 12276	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		2cn 12076	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	7	mul02i 11192	. . 3 ⊢ (0 · 2) = 0
9		1e0p1 12507	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
10	1, 6, 8, 9	dec2dvds 16792	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;11
11		3nn 12080	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		3nn0 12279	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		2nn 12074	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		3t3e9 12168	. . . . 5 ⊢ (3 · 3) = 9
15	14	oveq1i 7305	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
16		9p2e11 12552	. . . 4 ⊢ (9 + 2) = ;11
17	15, 16	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
18		2lt3 12173	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	11, 12, 13, 17, 18	ndvdsi 16149	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;11
20		2nn0 12278	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		5nn0 12281	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22		1lt2 12172	. . 3 ⊢ 1 < 2
23	1, 20, 1, 21, 4, 22	decltc 12494	. 2 ⊢ ;11 < ;25
24	3, 5, 10, 19, 23	prmlem1 16837	1 ⊢ ;11 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2101  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902   · cmul 10904  2c2 12056  3c3 12057  5c5 12059  9c9 12063  ;cdc 12465  ℙcprime 16404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fz 13268  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-dvds 15992  df-prm 16405

This theorem is referenced by:  60gcd7e1  40039