MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 16471
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 16456 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 11914 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 11719 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12117 . 2 34 ∈ ℕ
5 1nn0 11912 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 11913 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12112 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
8 5nn0 11916 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12112 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
10 8nn0 11919 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12112 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11908 . . . 4 1258 ∈ ℂ
13 ax-1cn 10595 . . . 4 1 ∈ ℂ
14 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
15 eqid 2824 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 11786 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 12157 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2850 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 10903 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
20 4nn0 11915 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
212, 20deccl 12112 . . . 4 34 ∈ ℕ0
22 7nn0 11918 . . . 4 7 ∈ ℕ0
23 eqid 2824 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 12112 . . . 4 23 ∈ ℕ0
25 eqid 2824 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2824 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 11803 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
28 2p1e3 11778 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 7163 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 12185 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2847 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 12195 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
33 3cn 11717 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 2cn 11711 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
35 3p2e5 11787 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 10832 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 12157 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 12149 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
39 7cn 11730 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
40 7t3e21 12207 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 10650 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
42 1p2e3 11779 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 12157 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
44 4cn 11721 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
45 7t4e28 12208 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 10650 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 12162 . . . 4 (34 · 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 12163 . . 3 (34 · 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2850 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
50 9nn0 11920 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
519, 50deccl 12112 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
5214, 51eqeltri 2912 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5352nn0cni 11908 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
54 npcan 10895 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5553, 13, 54mp2an 691 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5655eqcomi 2833 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57 1nn 11647 . 2 1 ∈ ℕ
58 2nn 11709 . 2 2 ∈ ℕ
592, 22deccl 12112 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6059numexp1 16413 . . . 4 (37↑1) = 37
6160oveq2i 7162 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6249, 61eqtr4i 2850 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
63 7nn 11728 . . . 4 7 ∈ ℕ
64 4lt7 11824 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 12125 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 5080 . 2 34 < (37↑1)
67141259lem4 16469 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68141259lem5 16470 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16243 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7151  cc 10535  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675  cmin 10870  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  5c5 11694  7c7 11696  8c8 11697  9c9 11698  0cn0 11896  cdc 12097  cexp 13436  cprime 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-mod 13244  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-odz 16102  df-phi 16103  df-pc 16174
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator