MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 17068
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 17053 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 12487 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 12292 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12694 . 2 34 ∈ ℕ
5 1nn0 12485 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 12486 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12689 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
8 5nn0 12489 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12689 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
10 8nn0 12492 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12689 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12481 . . . 4 1258 ∈ ℂ
13 ax-1cn 11164 . . . 4 1 ∈ ℂ
14 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
15 eqid 2724 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 12359 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 12734 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2755 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 11474 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
20 4nn0 12488 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
212, 20deccl 12689 . . . 4 34 ∈ ℕ0
22 7nn0 12491 . . . 4 7 ∈ ℕ0
23 eqid 2724 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 12689 . . . 4 23 ∈ ℕ0
25 eqid 2724 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2724 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 12376 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
28 2p1e3 12351 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 7413 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 12762 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2752 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 12772 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
33 3cn 12290 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 2cn 12284 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
35 3p2e5 12360 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 11403 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 12734 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 12726 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
39 7cn 12303 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
40 7t3e21 12784 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 11220 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
42 1p2e3 12352 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 12734 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
44 4cn 12294 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
45 7t4e28 12785 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 11220 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 12739 . . . 4 (34 · 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 12740 . . 3 (34 · 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2755 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
50 9nn0 12493 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
519, 50deccl 12689 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
5214, 51eqeltri 2821 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5352nn0cni 12481 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
54 npcan 11466 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5553, 13, 54mp2an 689 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5655eqcomi 2733 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57 1nn 12220 . 2 1 ∈ ℕ
58 2nn 12282 . 2 2 ∈ ℕ
592, 22deccl 12689 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6059numexp1 17009 . . . 4 (37↑1) = 37
6160oveq2i 7412 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6249, 61eqtr4i 2755 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
63 7nn 12301 . . . 4 7 ∈ ℕ
64 4lt7 12397 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 12702 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 5165 . 2 34 < (37↑1)
67141259lem4 17066 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68141259lem5 17067 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16839 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7401  cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11245  cmin 11441  2c2 12264  3c3 12265  4c4 12266  5c5 12267  7c7 12269  8c8 12270  9c9 12271  0cn0 12469  cdc 12674  cexp 14024  cprime 16605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-odz 16697  df-phi 16698  df-pc 16769
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator