MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 17173
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 17158 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 12544 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 12349 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12753 . 2 34 ∈ ℕ
5 1nn0 12542 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 12543 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12748 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
8 5nn0 12546 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12748 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
10 8nn0 12549 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
119, 10deccl 12748 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12538 . . . 4 1258 ∈ ℂ
13 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
14 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
15 eqid 2737 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 12416 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 12793 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2768 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 11525 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
20 4nn0 12545 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
212, 20deccl 12748 . . . 4 34 ∈ ℕ0
22 7nn0 12548 . . . 4 7 ∈ ℕ0
23 eqid 2737 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 12748 . . . 4 23 ∈ ℕ0
25 eqid 2737 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2737 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 12433 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
28 2p1e3 12408 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 7443 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 12821 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2765 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 12831 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
33 3cn 12347 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
35 3p2e5 12417 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 11453 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 12793 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 12785 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
39 7cn 12360 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
40 7t3e21 12843 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 11270 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
42 1p2e3 12409 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 12793 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
44 4cn 12351 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
45 7t4e28 12844 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 11270 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 12798 . . . 4 (34 · 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 12799 . . 3 (34 · 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
50 9nn0 12550 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
519, 50deccl 12748 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
5214, 51eqeltri 2837 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5352nn0cni 12538 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
54 npcan 11517 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5553, 13, 54mp2an 692 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5655eqcomi 2746 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57 1nn 12277 . 2 1 ∈ ℕ
58 2nn 12339 . 2 2 ∈ ℕ
592, 22deccl 12748 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6059numexp1 17114 . . . 4 (37↑1) = 37
6160oveq2i 7442 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6249, 61eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
63 7nn 12358 . . . 4 7 ∈ ℕ
64 4lt7 12454 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 12761 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 5170 . 2 34 < (37↑1)
67141259lem4 17171 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68141259lem5 17172 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16945 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator