MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 16942
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 ๐‘ = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 16927 . 2 37 โˆˆ โ„™
2 3nn0 12364 . . 3 3 โˆˆ โ„•0
3 4nn 12169 . . 3 4 โˆˆ โ„•
42, 3decnncl 12570 . 2 34 โˆˆ โ„•
5 1nn0 12362 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
6 2nn0 12363 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
75, 6deccl 12565 . . . . . . 7 12 โˆˆ โ„•0
8 5nn0 12366 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
97, 8deccl 12565 . . . . . 6 125 โˆˆ โ„•0
10 8nn0 12369 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„•0
119, 10deccl 12565 . . . . 5 1258 โˆˆ โ„•0
1211nn0cni 12358 . . . 4 1258 โˆˆ โ„‚
13 ax-1cn 11042 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
14 1259prm.1 . . . . 5 ๐‘ = 1259
15 eqid 2737 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 12236 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 12610 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2768 . . . 4 ๐‘ = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 11351 . . 3 (๐‘ โˆ’ 1) = 1258
20 4nn0 12365 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•0
212, 20deccl 12565 . . . 4 34 โˆˆ โ„•0
22 7nn0 12368 . . . 4 7 โˆˆ โ„•0
23 eqid 2737 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 12565 . . . 4 23 โˆˆ โ„•0
25 eqid 2737 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2737 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 12253 . . . . . . 7 (3 ยท 3) = 9
28 2p1e3 12228 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 7361 . . . . . 6 ((3 ยท 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 12638 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2765 . . . . 5 ((3 ยท 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 12648 . . . . . 6 (4 ยท 3) = 12
33 3cn 12167 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
34 2cn 12161 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
35 3p2e5 12237 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 11280 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 12610 . . . . 5 ((4 ยท 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 12602 . . . 4 ((34 ยท 3) + 23) = 125
39 7cn 12180 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„‚
40 7t3e21 12660 . . . . . . 7 (7 ยท 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 11097 . . . . . 6 (3 ยท 7) = 21
42 1p2e3 12229 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 12610 . . . . 5 ((3 ยท 7) + 2) = 23
44 4cn 12171 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
45 7t4e28 12661 . . . . . 6 (7 ยท 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 11097 . . . . 5 (4 ยท 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 12615 . . . 4 (34 ยท 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 12616 . . 3 (34 ยท 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2768 . 2 (๐‘ โˆ’ 1) = (34 ยท 37)
50 9nn0 12370 . . . . . . 7 9 โˆˆ โ„•0
519, 50deccl 12565 . . . . . 6 1259 โˆˆ โ„•0
5214, 51eqeltri 2834 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„•0
5352nn0cni 12358 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„‚
54 npcan 11343 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5553, 13, 54mp2an 690 . . 3 ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘
5655eqcomi 2746 . 2 ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)
57 1nn 12097 . 2 1 โˆˆ โ„•
58 2nn 12159 . 2 2 โˆˆ โ„•
592, 22deccl 12565 . . . . 5 37 โˆˆ โ„•0
6059numexp1 16883 . . . 4 (37โ†‘1) = 37
6160oveq2i 7360 . . 3 (34 ยท (37โ†‘1)) = (34 ยท 37)
6249, 61eqtr4i 2768 . 2 (๐‘ โˆ’ 1) = (34 ยท (37โ†‘1))
63 7nn 12178 . . . 4 7 โˆˆ โ„•
64 4lt7 12274 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 12578 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 5130 . 2 34 < (37โ†‘1)
67141259lem4 16940 . 2 ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
68141259lem5 16941 . 2 (((2โ†‘34) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16713 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   < clt 11122   โˆ’ cmin 11318  2c2 12141  3c3 12142  4c4 12143  5c5 12144  7c7 12146  8c8 12147  9c9 12148  โ„•0cn0 12346  cdc 12550  โ†‘cexp 13895  โ„™cprime 16481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-inf 9312  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-xnn0 12419  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071  df-gcd 16309  df-prm 16482  df-odz 16571  df-phi 16572  df-pc 16643
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator