MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 16943
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 ๐‘ = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm ๐‘ โˆˆ โ„™

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 16928 . 2 37 โˆˆ โ„™
2 3nn0 12365 . . 3 3 โˆˆ โ„•0
3 4nn 12170 . . 3 4 โˆˆ โ„•
42, 3decnncl 12571 . 2 34 โˆˆ โ„•
5 1nn0 12363 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•0
6 2nn0 12364 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
75, 6deccl 12566 . . . . . . 7 12 โˆˆ โ„•0
8 5nn0 12367 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
97, 8deccl 12566 . . . . . 6 125 โˆˆ โ„•0
10 8nn0 12370 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„•0
119, 10deccl 12566 . . . . 5 1258 โˆˆ โ„•0
1211nn0cni 12359 . . . 4 1258 โˆˆ โ„‚
13 ax-1cn 11043 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
14 1259prm.1 . . . . 5 ๐‘ = 1259
15 eqid 2738 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 12237 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 12611 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2769 . . . 4 ๐‘ = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 11352 . . 3 (๐‘ โˆ’ 1) = 1258
20 4nn0 12366 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•0
212, 20deccl 12566 . . . 4 34 โˆˆ โ„•0
22 7nn0 12369 . . . 4 7 โˆˆ โ„•0
23 eqid 2738 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 12566 . . . 4 23 โˆˆ โ„•0
25 eqid 2738 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2738 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 12254 . . . . . . 7 (3 ยท 3) = 9
28 2p1e3 12229 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 7362 . . . . . 6 ((3 ยท 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 12639 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2766 . . . . 5 ((3 ยท 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 12649 . . . . . 6 (4 ยท 3) = 12
33 3cn 12168 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
34 2cn 12162 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
35 3p2e5 12238 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 11281 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 12611 . . . . 5 ((4 ยท 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 12603 . . . 4 ((34 ยท 3) + 23) = 125
39 7cn 12181 . . . . . . 7 7 โˆˆ โ„‚
40 7t3e21 12661 . . . . . . 7 (7 ยท 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 11098 . . . . . 6 (3 ยท 7) = 21
42 1p2e3 12230 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 12611 . . . . 5 ((3 ยท 7) + 2) = 23
44 4cn 12172 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
45 7t4e28 12662 . . . . . 6 (7 ยท 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 11098 . . . . 5 (4 ยท 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 12616 . . . 4 (34 ยท 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 12617 . . 3 (34 ยท 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2769 . 2 (๐‘ โˆ’ 1) = (34 ยท 37)
50 9nn0 12371 . . . . . . 7 9 โˆˆ โ„•0
519, 50deccl 12566 . . . . . 6 1259 โˆˆ โ„•0
5214, 51eqeltri 2835 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„•0
5352nn0cni 12359 . . . 4 ๐‘ โˆˆ โ„‚
54 npcan 11344 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
5553, 13, 54mp2an 691 . . 3 ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘
5655eqcomi 2747 . 2 ๐‘ = ((๐‘ โˆ’ 1) + 1)
57 1nn 12098 . 2 1 โˆˆ โ„•
58 2nn 12160 . 2 2 โˆˆ โ„•
592, 22deccl 12566 . . . . 5 37 โˆˆ โ„•0
6059numexp1 16884 . . . 4 (37โ†‘1) = 37
6160oveq2i 7361 . . 3 (34 ยท (37โ†‘1)) = (34 ยท 37)
6249, 61eqtr4i 2769 . 2 (๐‘ โˆ’ 1) = (34 ยท (37โ†‘1))
63 7nn 12179 . . . 4 7 โˆˆ โ„•
64 4lt7 12275 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 12579 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 5131 . 2 34 < (37โ†‘1)
67141259lem4 16941 . 2 ((2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = (1 mod ๐‘)
68141259lem5 16942 . 2 (((2โ†‘34) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16714 1 ๐‘ โˆˆ โ„™
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123   โˆ’ cmin 11319  2c2 12142  3c3 12143  4c4 12144  5c5 12145  7c7 12147  8c8 12148  9c9 12149  โ„•0cn0 12347  cdc 12551  โ†‘cexp 13896  โ„™cprime 16482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310  df-prm 16483  df-odz 16572  df-phi 16573  df-pc 16644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator