Theorem 1259prm 17075

Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		37prm 17060	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℙ
2		3nn0 12491	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn 12296	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12698	. 2 ⊢ ;34 ∈ ℕ
5		1nn0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12693	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
8		5nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
10		8nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;;;1258 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12485	. . . 4 ⊢ ;;;1258 ∈ ℂ
13		ax-1cn 11167	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		1259prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
15		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;;;1258 = ;;;1258
16		8p1e9 12363	. . . . . 6 ⊢ (8 + 1) = 9
17	9, 10, 5, 15, 16	decaddi 12738	. . . . 5 ⊢ (;;;1258 + 1) = ;;;1259
18	14, 17	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;1258 + 1)
19	12, 13, 18	mvrraddi 11478	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;1258
20		4nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21	2, 20	deccl 12693	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
22		7nn0 12495	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
24	6, 2	deccl 12693	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
25		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;34 = ;34
26		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
27		3t3e9 12380	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
28		2p1e3 12355	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
29	27, 28	oveq12i 7416	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30		9p3e12 12766	. . . . . 6 ⊢ (9 + 3) = ;12
31	29, 30	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + (2 + 1)) = ;12
32		4t3e12 12776	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
33		3cn 12294	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
34		2cn 12288	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		3p2e5 12364	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
36	33, 34, 35	addcomli 11407	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
37	5, 6, 2, 32, 36	decaddi 12738	. . . . 5 ⊢ ((4 · 3) + 3) = ;15
38	2, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37	decmac 12730	. . . 4 ⊢ ((;34 · 3) + ;23) = ;;125
39		7cn 12307	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
40		7t3e21 12788	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
41	39, 33, 40	mulcomli 11224	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
42		1p2e3 12356	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
43	6, 5, 6, 41, 42	decaddi 12738	. . . . 5 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
44		4cn 12298	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
45		7t4e28 12789	. . . . . 6 ⊢ (7 · 4) = ;28
46	39, 44, 45	mulcomli 11224	. . . . 5 ⊢ (4 · 7) = ;28
47	22, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46	decmul1c 12743	. . . 4 ⊢ (;34 · 7) = ;;238
48	21, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47	decmul2c 12744	. . 3 ⊢ (;34 · ;37) = ;;;1258
49	19, 48	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;34 · ;37)
50		9nn0 12497	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
51	9, 50	deccl 12693	. . . . . 6 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ0
52	14, 51	eqeltri 2823	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
53	52	nn0cni 12485	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
54		npcan 11470	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
55	53, 13, 54	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
56	55	eqcomi 2735	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57		1nn 12224	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
58		2nn 12286	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
59	2, 22	deccl 12693	. . . . 5 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
60	59	numexp1 17016	. . . 4 ⊢ (;37↑1) = ;37
61	60	oveq2i 7415	. . 3 ⊢ (;34 · (;37↑1)) = (;34 · ;37)
62	49, 61	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;34 · (;37↑1))
63		7nn 12305	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
64		4lt7 12401	. . . 4 ⊢ 4 < 7
65	2, 20, 63, 64	declt 12706	. . 3 ⊢ ;34 < ;37
66	65, 60	breqtrri 5168	. 2 ⊢ ;34 < (;37↑1)
67	14	1259lem4 17073	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68	14	1259lem5 17074	. 2 ⊢ (((2↑;34) − 1) gcd 𝑁) = 1
69	1, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68	pockthi 16846	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249   − cmin 11445  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  5c5 12271  7c7 12273  8c8 12274  9c9 12275  ℕ₀cn0 12473  ;cdc 12678  ↑cexp 14029  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-odz 16704  df-phi 16705  df-pc 16776

This theorem is referenced by: (None)