MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 16241
Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 16226 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 11662 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 11459 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11866 . 2 34 ∈ ℕ
5 1nn0 11660 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
6 2nn0 11661 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11860 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ0
8 5nn0 11664 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
97, 8deccl 11860 . . . . . 6 125 ∈ ℕ0
10 8nn0 11667 . . . . . 6 8 ∈ ℕ0
119, 10deccl 11860 . . . . 5 1258 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11655 . . . 4 1258 ∈ ℂ
13 ax-1cn 10330 . . . 4 1 ∈ ℂ
14 1259prm.1 . . . . 5 𝑁 = 1259
15 eqid 2778 . . . . . 6 1258 = 1258
16 8p1e9 11532 . . . . . 6 (8 + 1) = 9
179, 10, 5, 15, 16decaddi 11906 . . . . 5 (1258 + 1) = 1259
1814, 17eqtr4i 2805 . . . 4 𝑁 = (1258 + 1)
1912, 13, 18mvrraddi 10640 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
20 4nn0 11663 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
212, 20deccl 11860 . . . 4 34 ∈ ℕ0
22 7nn0 11666 . . . 4 7 ∈ ℕ0
23 eqid 2778 . . . 4 37 = 37
246, 2deccl 11860 . . . 4 23 ∈ ℕ0
25 eqid 2778 . . . . 5 34 = 34
26 eqid 2778 . . . . 5 23 = 23
27 3t3e9 11549 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
28 2p1e3 11524 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
2927, 28oveq12i 6934 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30 9p3e12 11935 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3129, 30eqtri 2802 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
32 4t3e12 11945 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
33 3cn 11456 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
34 2cn 11450 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
35 3p2e5 11533 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3633, 34, 35addcomli 10568 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
375, 6, 2, 32, 36decaddi 11906 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
382, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37decmac 11898 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
39 7cn 11473 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
40 7t3e21 11957 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4139, 33, 40mulcomli 10386 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
42 1p2e3 11525 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
436, 5, 6, 41, 42decaddi 11906 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
44 4cn 11461 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
45 7t4e28 11958 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4639, 44, 45mulcomli 10386 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4722, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46decmul1c 11912 . . . 4 (34 · 7) = 238
4821, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47decmul2c 11913 . . 3 (34 · 37) = 1258
4919, 48eqtr4i 2805 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
50 9nn0 11668 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
519, 50deccl 11860 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
5214, 51eqeltri 2855 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5352nn0cni 11655 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
54 npcan 10632 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5553, 13, 54mp2an 682 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5655eqcomi 2787 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57 1nn 11387 . 2 1 ∈ ℕ
58 2nn 11448 . 2 2 ∈ ℕ
592, 22deccl 11860 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6059numexp1 16185 . . . 4 (37↑1) = 37
6160oveq2i 6933 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6249, 61eqtr4i 2805 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
63 7nn 11471 . . . 4 7 ∈ ℕ
64 4lt7 11570 . . . 4 4 < 7
652, 20, 63, 64declt 11874 . . 3 34 < 37
6665, 60breqtrri 4913 . 2 34 < (37↑1)
67141259lem4 16239 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68141259lem5 16240 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
691, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68pockthi 16015 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  wcel 2107  (class class class)co 6922  cc 10270  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  cmin 10606  2c2 11430  3c3 11431  4c4 11432  5c5 11433  7c7 11435  8c8 11436  9c9 11437  0cn0 11642  cdc 11845  cexp 13178  cprime 15790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623  df-prm 15791  df-odz 15874  df-phi 15875  df-pc 15946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator