Theorem 1259prm 17112

Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		37prm 17097	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℙ
2		3nn0 12528	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn 12333	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12735	. 2 ⊢ ;34 ∈ ℕ
5		1nn0 12526	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn0 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
8		5nn0 12530	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
10		8nn0 12533	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;;;1258 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12522	. . . 4 ⊢ ;;;1258 ∈ ℂ
13		ax-1cn 11204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		1259prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
15		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;;;1258 = ;;;1258
16		8p1e9 12400	. . . . . 6 ⊢ (8 + 1) = 9
17	9, 10, 5, 15, 16	decaddi 12775	. . . . 5 ⊢ (;;;1258 + 1) = ;;;1259
18	14, 17	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;1258 + 1)
19	12, 13, 18	mvrraddi 11515	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;1258
20		4nn0 12529	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21	2, 20	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
22		7nn0 12532	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
23		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
24	6, 2	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
25		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ;34 = ;34
26		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
27		3t3e9 12417	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
28		2p1e3 12392	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
29	27, 28	oveq12i 7438	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
30		9p3e12 12803	. . . . . 6 ⊢ (9 + 3) = ;12
31	29, 30	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + (2 + 1)) = ;12
32		4t3e12 12813	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
33		3cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
34		2cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
35		3p2e5 12401	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
36	33, 34, 35	addcomli 11444	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
37	5, 6, 2, 32, 36	decaddi 12775	. . . . 5 ⊢ ((4 · 3) + 3) = ;15
38	2, 20, 6, 2, 25, 26, 2, 8, 5, 31, 37	decmac 12767	. . . 4 ⊢ ((;34 · 3) + ;23) = ;;125
39		7cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
40		7t3e21 12825	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
41	39, 33, 40	mulcomli 11261	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
42		1p2e3 12393	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
43	6, 5, 6, 41, 42	decaddi 12775	. . . . 5 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
44		4cn 12335	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
45		7t4e28 12826	. . . . . 6 ⊢ (7 · 4) = ;28
46	39, 44, 45	mulcomli 11261	. . . . 5 ⊢ (4 · 7) = ;28
47	22, 2, 20, 25, 10, 6, 43, 46	decmul1c 12780	. . . 4 ⊢ (;34 · 7) = ;;238
48	21, 2, 22, 23, 10, 24, 38, 47	decmul2c 12781	. . 3 ⊢ (;34 · ;37) = ;;;1258
49	19, 48	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;34 · ;37)
50		9nn0 12534	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
51	9, 50	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ0
52	14, 51	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
53	52	nn0cni 12522	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
54		npcan 11507	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
55	53, 13, 54	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
56	55	eqcomi 2737	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
57		1nn 12261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
58		2nn 12323	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
59	2, 22	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
60	59	numexp1 17053	. . . 4 ⊢ (;37↑1) = ;37
61	60	oveq2i 7437	. . 3 ⊢ (;34 · (;37↑1)) = (;34 · ;37)
62	49, 61	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;34 · (;37↑1))
63		7nn 12342	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
64		4lt7 12438	. . . 4 ⊢ 4 < 7
65	2, 20, 63, 64	declt 12743	. . 3 ⊢ ;34 < ;37
66	65, 60	breqtrri 5179	. 2 ⊢ ;34 < (;37↑1)
67	14	1259lem4 17110	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
68	14	1259lem5 17111	. 2 ⊢ (((2↑;34) − 1) gcd 𝑁) = 1
69	1, 4, 49, 56, 4, 57, 58, 62, 66, 67, 68	pockthi 16883	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   − cmin 11482  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  5c5 12308  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  ℕ₀cn0 12510  ;cdc 12715  ↑cexp 14066  ℙcprime 16649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-odz 16741  df-phi 16742  df-pc 16813

This theorem is referenced by: (None)