Theorem fmtno4nprmfac193 46752

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12486	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12690	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12289	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12695	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12690	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12690	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12221	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12695	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12699	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12490	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12690	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12489	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12690	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12690	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12492	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12690	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12485	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12690	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12690	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12690	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12690	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12690	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12740	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12739	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12760	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11404	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12730	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12356	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12754	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12736	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12706	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12765	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12730	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12359	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12706	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12763	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12736	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12728	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12740	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12353	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12735	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11221	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12740	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12741	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12706	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12352	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12729	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11399	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12729	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12692	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12308	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12416	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12703	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12704	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16354	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 46730	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5147	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  5c5 12268  6c6 12269  7c7 12270  8c8 12271  9c9 12272  ;cdc 12675   ∥ cdvds 16196  FermatNocfmtno 46705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-dvds 16197  df-fmtno 46706

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  46753