Theorem fmtno4nprmfac193 47820

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12417	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12425	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12224	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12419	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12156	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12627	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12631	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12421	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12420	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12423	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12424	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12622	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12307	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12671	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12692	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12662	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12638	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12697	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12662	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12638	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12695	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12668	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12660	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12736	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12672	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12283	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12667	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11141	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12672	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12673	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12638	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12282	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12661	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11320	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12661	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12624	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12243	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12346	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12635	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12636	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47798	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5106	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607   ∥ cdvds 16179  FermatNocfmtno 47773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-fmtno 47774

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47821