Theorem fmtno4nprmfac193 48309

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12529	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12321	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12736	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12245	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12736	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12741	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12527	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12520	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12781	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12389	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12802	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11403	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12772	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12387	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12748	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12807	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12772	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12390	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12748	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12805	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12778	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12770	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12782	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12384	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12777	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11219	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12782	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12783	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12748	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12383	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12771	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11398	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12771	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12733	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12340	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12450	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12745	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12746	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16471	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48287	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5118	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  8c8 12302  9c9 12303  ;cdc 12712   ∥ cdvds 16311  FermatNocfmtno 48262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-fmtno 48263

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  48310