Theorem fmtno4nprmfac193 47548

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12442	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12241	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12436	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12173	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12645	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12649	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12438	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12437	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12440	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12433	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12441	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12690	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12689	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12305	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12710	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12680	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12704	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12686	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12656	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12715	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12680	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12656	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12713	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12686	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12678	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12754	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12690	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12300	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12685	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11159	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12690	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12691	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12656	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12299	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12679	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11337	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12679	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12642	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12260	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12363	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12653	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12654	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47526	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5110	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625   ∥ cdvds 16198  FermatNocfmtno 47501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-fmtno 47502

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47549