Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 43218
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11761 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11769 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11962 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11564 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11967 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11763 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11962 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 11962 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 11497 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 11967 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 11971 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11766 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11765 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11962 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11764 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11962 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11762 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 11962 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11767 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 11962 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11760 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 11962 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2795 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 11962 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 11962 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2795 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2795 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11768 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11962 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 11962 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2795 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2795 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 11566 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 10492 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 7026 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11636 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2819 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 12071 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 12013 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11652 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 39, 40decmul1 12011 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2795 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2795 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 11573 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 10441 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11632 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10679 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 7026 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11633 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2819 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 11582 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 11579 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 12033 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10679 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 12002 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11631 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2795 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 12027 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 12008 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 11978 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 12038 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 12002 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11634 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 11978 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 12036 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 12008 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 12000 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 11585 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 10492 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 7026 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 12041 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2819 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 12077 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 12013 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11628 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 12007 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 10496 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 12013 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 12014 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2795 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2795 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2795 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2795 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 11978 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11627 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 12001 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10674 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 12001 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 11964 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11583 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11691 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 11975 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 11976 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 15596 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 43196 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 4970 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 324 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  cdc 11947  cdvds 15440  FermatNocfmtno 43171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-fmtno 43172
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43219
  Copyright terms: Public domain W3C validator