Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 46752
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 12486 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 12494 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12690 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 12289 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12695 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 12488 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 12690 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 12690 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 12221 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 12695 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 12699 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 12491 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 12490 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12690 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 12489 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12690 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 12487 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 12690 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 12492 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 12690 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 12485 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 12690 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2724 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 12690 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 12690 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2724 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2724 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 12493 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 12690 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 12690 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2724 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2724 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 12291 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mullidi 11217 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 7412 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 12361 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2752 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 12798 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 12740 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 12377 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 39, 40decmul1 12739 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2724 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2724 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 12298 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 12357 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 11404 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 7412 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 12358 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2752 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 12307 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 12304 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 12760 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 11404 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 12730 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 12356 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2724 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 12754 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 12736 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 12706 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 12765 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 12730 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 12359 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 12706 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 12763 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 12736 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 12728 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 12310 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mullidi 11217 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 7412 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 12768 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2752 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 12804 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 12740 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 12353 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 12735 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 11221 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 12740 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 12741 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2724 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2724 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2724 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2724 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 12706 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 12352 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 12729 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addridi 11399 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 12729 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 12692 . . . 4 0 < 10
90 9nn 12308 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 12416 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 12703 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 12704 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 16354 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 46730 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 5147 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 323 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  5c5 12268  6c6 12269  7c7 12270  8c8 12271  9c9 12272  cdc 12675  cdvds 16196  FermatNocfmtno 46705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-rp 12973  df-fz 13483  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-dvds 16197  df-fmtno 46706
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  46753
  Copyright terms: Public domain W3C validator