Theorem fmtno4nprmfac193 48932

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12662	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12670	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12462	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12664	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12386	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12878	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12883	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12667	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12666	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12665	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12668	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12669	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12924	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12923	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12944	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12914	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12528	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12920	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12890	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12949	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12914	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12890	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12947	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12920	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12912	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12952	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12988	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12924	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12525	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12919	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12924	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12925	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12524	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12913	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11536	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12913	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12875	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12481	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12591	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12887	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12888	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48910	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5116	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854   ∥ cdvds 16466  FermatNocfmtno 48885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-fmtno 48886

This theorem is used by:  fmtno4prm  48933