Theorem fmtno4nprmfac193 46542

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12502	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12698	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12297	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12703	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12698	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12698	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12229	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12703	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12707	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12499	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12498	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12698	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12497	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12698	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12698	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12500	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12698	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12493	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12698	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12698	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12698	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12501	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12698	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12698	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12806	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12748	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12385	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12747	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12366	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12738	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12744	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12714	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12773	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12738	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12367	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12714	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12771	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12744	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12736	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12812	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12748	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12361	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12743	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11229	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12748	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12749	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12714	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12360	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12737	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11407	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12737	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12700	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12316	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12424	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12711	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12712	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16361	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 46520	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5157	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 322	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119  2c2 12273  3c3 12274  4c4 12275  5c5 12276  6c6 12277  7c7 12278  8c8 12279  9c9 12280  ;cdc 12683   ∥ cdvds 16203  FermatNocfmtno 46495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-fmtno 46496

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  46543