Theorem fmtno4nprmfac193 48359

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12531	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12331	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12746	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12533	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12255	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12746	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12751	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12534	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12532	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12537	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12530	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12850	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12419	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12791	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12812	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12782	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12806	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12788	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12758	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12817	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12782	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12758	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12815	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12788	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12780	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12856	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12792	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12394	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12787	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11229	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12792	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12793	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12758	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12393	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12781	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11408	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12781	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12743	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12350	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12460	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12755	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12756	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16487	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48337	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5119	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12722   ∥ cdvds 16327  FermatNocfmtno 48312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-fmtno 48313

This theorem is used by:  fmtno4prm  48360