Theorem fmtno4nprmfac193 44914

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12187	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 11982	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12181	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 11914	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12386	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12390	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12184	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12183	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12182	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12185	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12186	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 11984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mulid2i 10911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12070	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12430	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12051	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 11997	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12421	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12049	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12397	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12456	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12421	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12052	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12397	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12454	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12427	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12419	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mulid2i 10911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12431	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12046	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12426	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 10915	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12431	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12432	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12397	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12045	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12420	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addid1i 11092	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12420	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12383	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12001	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12109	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12394	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12395	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16049	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 44892	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5078	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 322	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366   ∥ cdvds 15891  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  44915