Theorem fmtno4nprmfac193 45026

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12249	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12257	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12052	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12251	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 11984	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12457	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12461	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12253	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12252	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12255	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12256	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mulid2i 10980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12502	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12140	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12501	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12121	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12070	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12067	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11167	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12492	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12119	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12468	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12527	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12492	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12122	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12468	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12525	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12498	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12490	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mulid2i 10980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12530	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12502	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12116	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12497	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 10984	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12502	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12503	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12468	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12115	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12491	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addid1i 11162	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12491	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12454	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12071	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12179	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12465	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12466	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16121	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 45004	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5082	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437   ∥ cdvds 15963  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  45027