Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 45840
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 12436 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 12444 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12640 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 12239 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12645 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 12438 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 12640 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 12640 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 12171 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 12645 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 12649 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 12441 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 12440 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12640 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 12439 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12640 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 12640 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 12442 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 12640 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 12640 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2737 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 12640 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 12640 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2737 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2737 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 12443 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 12640 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 12640 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2737 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 12241 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 11167 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 12311 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 12748 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 12690 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 12327 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 39, 40decmul1 12689 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2737 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2737 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 12248 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 12307 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 11354 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 12308 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 12257 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 12254 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 12710 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 11354 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 12680 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 12306 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2737 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 12704 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 12686 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 12656 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 12715 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 12680 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 12309 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 12656 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 12713 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 12686 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 12678 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 12260 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 11167 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 12718 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 12754 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 12690 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 12303 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 12685 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 11171 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 12690 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 12691 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2737 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2737 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2737 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2737 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 12656 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 12302 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 12679 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 11349 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 12679 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 12642 . . . 4 0 < 10
90 9nn 12258 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 12366 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 12653 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 12654 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 16301 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 45818 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 5118 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 323 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  cdvds 16143  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-fmtno 45794
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  45841
  Copyright terms: Public domain W3C validator