Theorem fmtno4nprmfac193 47499

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12542	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12275	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12751	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12755	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12546	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12539	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12854	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12795	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12816	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12786	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12762	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12821	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12786	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12413	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12762	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12819	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12792	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12784	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12824	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12860	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12796	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12407	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12791	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12796	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12797	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12762	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12406	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12785	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11446	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12785	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12748	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12362	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12470	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12759	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12760	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47477	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5156	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731   ∥ cdvds 16287  FermatNocfmtno 47452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-fmtno 47453

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47500