Theorem fmtno4nprmfac193 47931

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12429	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12437	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12236	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12639	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12643	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12433	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12432	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12435	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12428	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12436	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12742	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12684	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12319	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12683	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12704	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12674	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12298	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12680	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12650	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12709	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12674	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12650	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12707	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12680	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12672	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12712	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12748	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12684	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12295	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12679	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11153	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12684	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12685	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12650	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12294	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12673	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11332	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12673	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12636	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12255	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12358	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12647	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12648	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47909	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5108	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619   ∥ cdvds 16191  FermatNocfmtno 47884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-fmtno 47885

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47932