Theorem fmtno4nprmfac193 47736

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12408	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12215	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12410	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12147	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12618	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12622	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12413	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12412	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12411	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12409	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12414	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12407	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12415	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12613	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12663	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12298	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12662	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11316	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12653	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12277	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12677	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12659	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12629	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12688	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12653	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12629	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12686	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12659	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12651	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12727	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12663	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12274	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12658	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11132	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12663	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12664	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12629	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12273	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12652	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11311	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12652	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12615	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12234	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12337	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12626	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12627	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47714	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5103	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  7c7 12196  8c8 12197  9c9 12198  ;cdc 12598   ∥ cdvds 16170  FermatNocfmtno 47689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-fmtno 47690

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47737