Theorem fmtno4nprmfac193 48144

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12491	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12499	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12291	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12215	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12706	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12711	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12496	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12494	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12497	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12490	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12697	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12498	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12697	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12752	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12751	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12742	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12357	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12748	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12718	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12777	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12742	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12718	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12775	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12748	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12740	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12780	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12752	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12354	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12747	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11185	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12752	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12753	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12718	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12353	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12741	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11364	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12741	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12703	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12310	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12420	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12715	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12716	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48122	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5105	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 325	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12682   ∥ cdvds 16277  FermatNocfmtno 48097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-fmtno 48098

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  48145