Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 46242
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 12488 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 12496 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12692 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 12291 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12697 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 12490 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 12692 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 12692 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 12223 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 12697 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 12701 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 12493 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 12492 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12692 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 12491 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12692 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 12489 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 12692 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 12494 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 12692 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 12487 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 12692 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2733 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 12692 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 12692 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2733 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2733 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 12495 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 12692 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 12692 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2733 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 12293 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mullidi 11219 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 7419 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 12363 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 12800 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 12742 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 12379 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 39, 40decmul1 12741 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2733 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2733 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 12300 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 12359 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 11406 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 12360 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 12309 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 12306 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 12762 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 11406 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 12732 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 12358 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2733 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 12756 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 12738 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 12708 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 12767 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 12732 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 12361 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 12708 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 12765 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 12738 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 12730 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 12312 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mullidi 11219 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 12770 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2761 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 12806 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 12742 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 12355 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 12737 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 11223 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 12742 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 12743 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2733 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2733 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2733 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2733 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 12708 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 12354 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 12731 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addridi 11401 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 12731 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 12694 . . . 4 0 < 10
90 9nn 12310 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 12418 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 12705 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 12706 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 16355 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 46220 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 5157 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 323 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  cdc 12677  cdvds 16197  FermatNocfmtno 46195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-fmtno 46196
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  46243
  Copyright terms: Public domain W3C validator