Theorem fmtno4nprmfac193 47561

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12542	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12550	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12345	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12277	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12753	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12757	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12548	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12856	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12798	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12433	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12797	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12818	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12788	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12812	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12794	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12764	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12823	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12788	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12764	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12821	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12794	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12786	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12826	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12862	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12798	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12409	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12793	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11270	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12798	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12799	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12764	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12408	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12787	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11448	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12787	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12750	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12364	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12472	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12761	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12762	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16449	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47539	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5151	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733   ∥ cdvds 16290  FermatNocfmtno 47514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-fmtno 47515

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47562