Theorem fmtno4nprmfac193 48049

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12444	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12251	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12655	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12446	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12650	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12655	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12659	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12448	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12447	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12450	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12443	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12650	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12700	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12699	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12720	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12690	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12714	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12666	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12725	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12690	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12666	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12723	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12696	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12688	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12764	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12700	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12310	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12695	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11145	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12700	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12701	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12666	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12309	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12689	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11324	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12689	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12652	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12270	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12373	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12663	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12664	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16372	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48027	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5094	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  7c7 12232  8c8 12233  9c9 12234  ;cdc 12635   ∥ cdvds 16212  FermatNocfmtno 48002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-fmtno 48003

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  48050