Theorem fmtno4nprmfac193 47575

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12458	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12265	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12460	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12197	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12669	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12673	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12463	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12462	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12459	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12464	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12457	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12664	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12348	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12713	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12704	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12680	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12739	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12704	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12680	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12737	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12710	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12702	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12742	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12778	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12714	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12324	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12709	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11183	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12714	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12715	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12680	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12323	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12703	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11361	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12703	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12666	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12284	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12387	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12677	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12678	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47553	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5115	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649   ∥ cdvds 16222  FermatNocfmtno 47528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-fmtno 47529

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47576