Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 43583
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11902 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11910 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12102 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11705 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12107 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11904 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 12102 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 12102 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 11638 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 12107 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 12111 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11907 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11906 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12102 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11905 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 12102 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11903 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 12102 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11908 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 12102 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11901 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 12102 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2821 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 12102 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 12102 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2821 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2821 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11909 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 12102 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 12102 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2821 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2821 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 11707 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 10635 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 7155 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11777 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2844 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 12210 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 12152 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11793 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 39, 40decmul1 12151 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2821 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2821 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 11714 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11773 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10821 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11774 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2844 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 11723 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 11720 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 12172 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10821 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 12142 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11772 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2821 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 12166 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 12148 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 12118 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 12177 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 12142 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11775 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 12118 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 12175 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 12148 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 12140 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 11726 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 10635 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 12180 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2844 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 12216 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 12152 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11769 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 12147 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 10639 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 12152 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 12153 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2821 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2821 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2821 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2821 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 12118 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11768 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 12141 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10816 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 12141 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 12104 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11724 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11832 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 12115 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 12116 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 15753 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 43561 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 5066 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 324 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11681  3c3 11682  4c4 11683  5c5 11684  6c6 11685  7c7 11686  8c8 11687  9c9 11688  cdc 12087  cdvds 15597  FermatNocfmtno 43536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-fmtno 43537
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43584
  Copyright terms: Public domain W3C validator