Theorem fmtno4nprmfac193 47448

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12569	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12577	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12372	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12571	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12304	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12778	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12782	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12574	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12573	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12572	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12575	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12576	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12881	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12823	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12460	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12822	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12843	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12813	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12439	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12837	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12819	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12789	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12848	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12813	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12789	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12846	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12819	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12811	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12851	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12887	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12823	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12436	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12818	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11299	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12823	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12824	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12789	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12435	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12812	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11477	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12812	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12775	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12391	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12499	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12786	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12787	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 47426	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5174	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758   ∥ cdvds 16302  FermatNocfmtno 47401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-fmtno 47402

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  47449