Theorem fmtno4nprmfac193 48753

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12634	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12426	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12842	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12847	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12631	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12630	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12833	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12629	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12833	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12632	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12625	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12833	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12833	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12833	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12633	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12833	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12833	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12888	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12514	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12887	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12908	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11506	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12878	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12492	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12884	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12854	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12913	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12878	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12854	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12911	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12884	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12876	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12952	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12888	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12489	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12883	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11322	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12888	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12889	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12854	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12488	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12877	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11501	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12877	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12839	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12445	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12555	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12851	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12852	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48731	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5110	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  7c7 12406  8c8 12407  9c9 12408  ;cdc 12818   ∥ cdvds 16428  FermatNocfmtno 48706

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-fmtno 48707

This theorem is used by:  fmtno4prm  48754