Theorem fmtno4nprmfac193 48628

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12615	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 12623	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 12415	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 12617	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 12339	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 12831	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 12836	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 12620	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 12619	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 12822	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 12618	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 12616	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 12621	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 12614	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 12822	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 12822	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 12622	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 12822	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 12822	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 12417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mullidi 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12877	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12876	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 12482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 11495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 11495	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12867	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12873	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 12843	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12902	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12867	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 12484	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 12843	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12900	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12873	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12865	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mullidi 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12941	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12877	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 12478	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12872	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 11311	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12877	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12878	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 12843	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 12477	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12866	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addridi 11490	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12866	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 12828	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 12434	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 12544	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 12840	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 12841	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 48606	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 5111	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  8c8 12396  9c9 12397  ;cdc 12807   ∥ cdvds 16415  FermatNocfmtno 48581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-fmtno 48582

This theorem is used by:  fmtno4prm  48629