Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 42078
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11594 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11602 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11793 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11391 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11798 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11596 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11793 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 11793 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 11327 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 11798 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 11802 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11599 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11598 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11793 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11597 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11793 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11595 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 11793 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11600 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 11793 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11593 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 11793 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2817 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 11793 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 11793 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2817 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2817 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11601 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11793 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 11793 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2817 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2817 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 11393 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 10339 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 6893 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11469 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2839 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 11901 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 11843 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11485 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 2, 39, 40decmul1 11842 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2817 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2817 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 11402 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 10288 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11465 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10522 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 6893 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11466 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2839 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 11414 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 11410 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 11863 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10522 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 11833 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11464 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2817 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 11857 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 11839 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 11809 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 11868 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 11833 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11467 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 11809 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 11866 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 11839 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 11831 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 11418 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 10339 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 6893 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 11871 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2839 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 11907 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 11843 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11462 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 11838 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 10343 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 11843 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 11844 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2817 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2817 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2817 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2817 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 11809 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11461 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 11832 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10517 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 11832 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 11795 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11416 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11524 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 11806 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 11807 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 15374 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 42056 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 4863 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 314 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4855  cfv 6110  (class class class)co 6883  0cc0 10230  1c1 10231   + caddc 10233   · cmul 10235  2c2 11367  3c3 11368  4c4 11369  5c5 11370  6c6 11371  7c7 11372  8c8 11373  9c9 11374  cdc 11778  cdvds 15222  FermatNocfmtno 42031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-sup 8596  df-inf 8597  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-rp 12066  df-fz 12569  df-seq 13044  df-exp 13103  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-dvds 15223  df-fmtno 42032
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  42079
  Copyright terms: Public domain W3C validator