Theorem fmtno4nprmfac193 43218

Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4nprmfac193	⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11761	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn0 11769	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11962	. . . 4 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
4		3nn 11564	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11967	. . 3 ⊢ ;;193 ∈ ℕ
6		3nn0 11763	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7	6, 6	deccl 11962	. . . 4 ⊢ ;33 ∈ ℕ0
8	7, 2	deccl 11962	. . 3 ⊢ ;;339 ∈ ℕ0
9		1nn 11497	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 9	decnncl 11967	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ
11	10	decnncl2 11971	. . 3 ⊢ ;;110 ∈ ℕ
12		6nn0 11766	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
13		5nn0 11765	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14	12, 13	deccl 11962	. . . . . 6 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
15		4nn0 11764	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
16	14, 15	deccl 11962	. . . . 5 ⊢ ;;654 ∈ ℕ0
17		2nn0 11762	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	16, 17	deccl 11962	. . . 4 ⊢ ;;;6542 ∈ ℕ0
19		7nn0 11767	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
20	1, 1	deccl 11962	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
21		0nn0 11760	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22	3, 6	deccl 11962	. . . . 5 ⊢ ;;193 ∈ ℕ0
23		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;;339 = ;;339
24	1, 19	deccl 11962	. . . . . 6 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
25	24, 6	deccl 11962	. . . . 5 ⊢ ;;173 ∈ ℕ0
26		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ;33 = ;33
27		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ;;173 = ;;173
28		8nn0 11768	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
29	13, 28	deccl 11962	. . . . . 6 ⊢ ;58 ∈ ℕ0
30	13, 19	deccl 11962	. . . . . . 7 ⊢ ;57 ∈ ℕ0
31		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ;;193 = ;;193
32		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ;19 = ;19
33		3cn 11566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
34	33	mulid2i 10492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 3) = 3
35	34	oveq1i 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36		3p2e5 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
37	35, 36	eqtri 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 3) + 2) = 5
38		9t3e27 12071	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 · 3) = ;27
39	6, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38	decmul1c 12013	. . . . . . . 8 ⊢ (;19 · 3) = ;57
40		3t3e9 11652	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
41	6, 3, 6, 31, 39, 40	decmul1 12011	. . . . . . 7 ⊢ (;;193 · 3) = ;;579
42		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ;17 = ;17
43		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ;58 = ;58
44		5cn 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
45		ax-1cn 10441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
46		5p1e6 11632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 1) = 6
47	44, 45, 46	addcomli 10679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 5) = 6
48	47	oveq1i 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49		6p1e7 11633	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 1) = 7
50	48, 49	eqtri 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 5) + 1) = 7
51		8cn 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
52		7cn 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
53		8p7e15 12033	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 + 7) = ;15
54	51, 52, 53	addcomli 10679	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 8) = ;15
55	1, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54	decaddc 12002	. . . . . . 7 ⊢ (;17 + ;58) = ;75
56		4p1e5 11631	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
57		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ;57 = ;57
58		7p7e14 12027	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 + 7) = ;14
59	13, 19, 19, 57, 46, 15, 58	decaddci 12008	. . . . . . . 8 ⊢ (;57 + 7) = ;64
60	12, 15, 56, 59	decsuc 11978	. . . . . . 7 ⊢ ((;57 + 7) + 1) = ;65
61		9p5e14 12038	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 5) = ;14
62	30, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61	decaddc 12002	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + (;17 + ;58)) = ;;654
63		7p1e8 11634	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
64	13, 19, 63, 57	decsuc 11978	. . . . . . 7 ⊢ (;57 + 1) = ;58
65		9p3e12 12036	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 3) = ;12
66	30, 2, 6, 41, 64, 17, 65	decaddci 12008	. . . . . 6 ⊢ ((;;193 · 3) + 3) = ;;582
67	6, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66	decma2c 12000	. . . . 5 ⊢ ((;;193 · ;33) + ;;173) = ;;;6542
68		9cn 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
69	68	mulid2i 10492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 9) = 9
70	69	oveq1i 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71		9p8e17 12041	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 8) = ;17
72	70, 71	eqtri 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 9) + 8) = ;17
73		9t9e81 12077	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 9) = ;81
74	2, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73	decmul1c 12013	. . . . . . 7 ⊢ (;19 · 9) = ;;171
75		1p2e3 11628	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
76	24, 1, 17, 74, 75	decaddi 12007	. . . . . 6 ⊢ ((;19 · 9) + 2) = ;;173
77	68, 33, 38	mulcomli 10496	. . . . . 6 ⊢ (3 · 9) = ;27
78	2, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77	decmul1c 12013	. . . . 5 ⊢ (;;193 · 9) = ;;;1737
79	22, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78	decmul2c 12014	. . . 4 ⊢ (;;193 · ;;339) = ;;;;65427
80		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;;110 = ;;110
81		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;;;6542 = ;;;6542
82		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
83		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ;;654 = ;;654
84	14, 15, 56, 83	decsuc 11978	. . . . 5 ⊢ (;;654 + 1) = ;;655
85		2p1e3 11627	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
86	16, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85	decadd 12001	. . . 4 ⊢ (;;;6542 + ;11) = ;;;6553
87	52	addid1i 10674	. . . 4 ⊢ (7 + 0) = 7
88	18, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87	decadd 12001	. . 3 ⊢ ((;;193 · ;;339) + ;;110) = ;;;;65537
89		10pos 11964	. . . 4 ⊢ 0 < ;10
90		9nn 11583	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
91		1lt9 11691	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
92	1, 1, 90, 91	declt 11975	. . . 4 ⊢ ;11 < ;19
93	20, 3, 21, 6, 89, 92	decltc 11976	. . 3 ⊢ ;;110 < ;;193
94	5, 8, 11, 88, 93	ndvdsi 15596	. 2 ⊢ ¬ ;;193 ∥ ;;;;65537
95		fmtno4 43196	. . 3 ⊢ (FermatNo‘4) = ;;;;65537
96	95	breq2i 4970	. 2 ⊢ (;;193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ ;;193 ∥ ;;;;65537)
97	94, 96	mtbir 324	1 ⊢ ¬ ;;193 ∥ (FermatNo‘4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  5c5 11543  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  ;cdc 11947   ∥ cdvds 15440  FermatNocfmtno 43171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-fmtno 43172

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  43219