Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 42015
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11511 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11519 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11715 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11389 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11721 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11513 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11715 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 11715 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 11234 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 11721 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 11728 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11516 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11515 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11715 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11514 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11715 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11512 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 11715 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11517 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 11715 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11510 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 11715 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2771 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 11715 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 11715 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2771 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2771 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11518 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11715 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 11715 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2771 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2771 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 11298 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 10246 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 6804 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11363 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2793 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 11866 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 11789 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11383 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 2, 39, 40decmul1 11787 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2771 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2771 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 11303 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 10197 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11358 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10431 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 6804 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11359 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 11309 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 11307 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 11819 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10431 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 11774 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11357 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2771 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 11811 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 11782 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 11738 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 11825 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 11774 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11360 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 11738 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 11823 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 11782 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 11770 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 11311 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 10246 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 6804 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 11828 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 11872 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 11789 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11355 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 11781 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 10250 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 11789 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 11791 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2771 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2771 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2771 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2771 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 11738 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11354 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 11772 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10426 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 11772 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 11718 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11395 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11432 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 11733 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 11735 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 15345 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 41993 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 4795 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 312 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144  2c2 11273  3c3 11274  4c4 11275  5c5 11276  6c6 11277  7c7 11278  8c8 11279  9c9 11280  cdc 11696  cdvds 15190  FermatNocfmtno 41968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-rp 12037  df-fz 12535  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-dvds 15191  df-fmtno 41969
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  42016
  Copyright terms: Public domain W3C validator