Proof of Theorem mcubic
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mcubic.m |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝐵↑2) − (3 · 𝐶))) |
2 | | mcubic.b |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
3 | 2 | sqcld 13714 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ) |
4 | | 3cn 11911 |
. . . . . . . 8
⊢ 3 ∈
ℂ |
5 | | mcubic.c |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
6 | | mulcl 10813 |
. . . . . . . 8
⊢ ((3
∈ ℂ ∧ 𝐶
∈ ℂ) → (3 · 𝐶) ∈ ℂ) |
7 | 4, 5, 6 | sylancr 590 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (3 · 𝐶) ∈
ℂ) |
8 | 3, 7 | subcld 11189 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (3 · 𝐶)) ∈
ℂ) |
9 | 1, 8 | eqeltrd 2838 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
10 | 4 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℂ) |
11 | | 3ne0 11936 |
. . . . . 6
⊢ 3 ≠
0 |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0) |
13 | 9, 10, 12 | divcld 11608 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) ∈ ℂ) |
14 | 13 | negcld 11176 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 3) ∈ ℂ) |
15 | | mcubic.n |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑁 = (((2 · (𝐵↑3)) − (9 · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · 𝐷))) |
16 | | 2cn 11905 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℂ |
17 | | 3nn0 12108 |
. . . . . . . . 9
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
18 | | expcl 13653 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈
ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ) |
19 | 2, 17, 18 | sylancl 589 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵↑3) ∈ ℂ) |
20 | | mulcl 10813 |
. . . . . . . 8
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (2 ·
(𝐵↑3)) ∈
ℂ) |
21 | 16, 19, 20 | sylancr 590 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑3)) ∈
ℂ) |
22 | | 9cn 11930 |
. . . . . . . 8
⊢ 9 ∈
ℂ |
23 | 2, 5 | mulcld 10853 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) |
24 | | mulcl 10813 |
. . . . . . . 8
⊢ ((9
∈ ℂ ∧ (𝐵
· 𝐶) ∈ ℂ)
→ (9 · (𝐵
· 𝐶)) ∈
ℂ) |
25 | 22, 23, 24 | sylancr 590 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (9 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ) |
26 | 21, 25 | subcld 11189 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) − (9 ·
(𝐵 · 𝐶))) ∈
ℂ) |
27 | | 2nn0 12107 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
28 | | 7nn 11922 |
. . . . . . . . 9
⊢ 7 ∈
ℕ |
29 | 27, 28 | decnncl 12313 |
. . . . . . . 8
⊢ ;27 ∈ ℕ |
30 | 29 | nncni 11840 |
. . . . . . 7
⊢ ;27 ∈ ℂ |
31 | | mcubic.d |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ) |
32 | | mulcl 10813 |
. . . . . . 7
⊢ ((;27 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (;27 · 𝐷) ∈ ℂ) |
33 | 30, 31, 32 | sylancr 590 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (;27 · 𝐷) ∈ ℂ) |
34 | 26, 33 | addcld 10852 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − (9 ·
(𝐵 · 𝐶))) + (;27 · 𝐷)) ∈ ℂ) |
35 | 15, 34 | eqeltrd 2838 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
36 | 30 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ;27 ∈ ℂ) |
37 | 29 | nnne0i 11870 |
. . . . 5
⊢ ;27 ≠ 0 |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ;27 ≠ 0) |
39 | 35, 36, 38 | divcld 11608 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑁 / ;27) ∈ ℂ) |
40 | | mcubic.x |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
41 | 2, 10, 12 | divcld 11608 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐵 / 3) ∈ ℂ) |
42 | 40, 41 | addcld 10852 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐵 / 3)) ∈ ℂ) |
43 | | mcubic.t |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
44 | 43, 10, 12 | divcld 11608 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑇 / 3) ∈ ℂ) |
45 | 44 | negcld 11176 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -(𝑇 / 3) ∈ ℂ) |
46 | | 3nn 11909 |
. . . . . 6
⊢ 3 ∈
ℕ |
47 | 46 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℕ) |
48 | | n2dvds3 15932 |
. . . . . 6
⊢ ¬ 2
∥ 3 |
49 | 48 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∥
3) |
50 | | oexpneg 15906 |
. . . . 5
⊢ (((𝑇 / 3) ∈ ℂ ∧ 3
∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑇 / 3)↑3) = -((𝑇 / 3)↑3)) |
51 | 44, 47, 49, 50 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (-(𝑇 / 3)↑3) = -((𝑇 / 3)↑3)) |
52 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℕ0) |
53 | 43, 10, 12, 52 | expdivd 13730 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑇 / 3)↑3) = ((𝑇↑3) / (3↑3))) |
54 | | mcubic.3 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = ((𝑁 + 𝐺) / 2)) |
55 | | 3exp3 16645 |
. . . . . . . 8
⊢
(3↑3) = ;27 |
56 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (3↑3) = ;27) |
57 | 54, 56 | oveq12d 7231 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3) / (3↑3)) = (((𝑁 + 𝐺) / 2) / ;27)) |
58 | | mcubic.g |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ) |
59 | 35, 58 | addcld 10852 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐺) ∈ ℂ) |
60 | | 2cnd 11908 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
61 | | 2ne0 11934 |
. . . . . . . . 9
⊢ 2 ≠
0 |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
63 | 59, 60, 36, 62, 38 | divdiv32d 11633 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / ;27) = (((𝑁 + 𝐺) / ;27) / 2)) |
64 | 35, 58 | addcomd 11034 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐺) = (𝐺 + 𝑁)) |
65 | 64 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝐺) / ;27) = ((𝐺 + 𝑁) / ;27)) |
66 | 58, 35, 36, 38 | divdird 11646 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝑁) / ;27) = ((𝐺 / ;27) + (𝑁 / ;27))) |
67 | 65, 66 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝐺) / ;27) = ((𝐺 / ;27) + (𝑁 / ;27))) |
68 | 67 | oveq1d 7228 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / ;27) / 2) = (((𝐺 / ;27) + (𝑁 / ;27)) / 2)) |
69 | 58, 36, 38 | divcld 11608 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐺 / ;27) ∈ ℂ) |
70 | 69, 39, 60, 62 | divdird 11646 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐺 / ;27) + (𝑁 / ;27)) / 2) = (((𝐺 / ;27) / 2) + ((𝑁 / ;27) / 2))) |
71 | 63, 68, 70 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 𝐺) / 2) / ;27) = (((𝐺 / ;27) / 2) + ((𝑁 / ;27) / 2))) |
72 | 53, 57, 71 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑇 / 3)↑3) = (((𝐺 / ;27) / 2) + ((𝑁 / ;27) / 2))) |
73 | 72 | negeqd 11072 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -((𝑇 / 3)↑3) = -(((𝐺 / ;27) / 2) + ((𝑁 / ;27) / 2))) |
74 | 69 | halfcld 12075 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐺 / ;27) / 2) ∈ ℂ) |
75 | 39 | halfcld 12075 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑁 / ;27) / 2) ∈ ℂ) |
76 | 74, 75 | negdi2d 11203 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -(((𝐺 / ;27) / 2) + ((𝑁 / ;27) / 2)) = (-((𝐺 / ;27) / 2) − ((𝑁 / ;27) / 2))) |
77 | 51, 73, 76 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-(𝑇 / 3)↑3) = (-((𝐺 / ;27) / 2) − ((𝑁 / ;27) / 2))) |
78 | 74 | negcld 11176 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -((𝐺 / ;27) / 2) ∈ ℂ) |
79 | | sqneg 13688 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 / ;27) / 2) ∈ ℂ → (-((𝐺 / ;27) / 2)↑2) = (((𝐺 / ;27) / 2)↑2)) |
80 | 74, 79 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (-((𝐺 / ;27) / 2)↑2) = (((𝐺 / ;27) / 2)↑2)) |
81 | 69, 60, 62 | sqdivd 13729 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐺 / ;27) / 2)↑2) = (((𝐺 / ;27)↑2) / (2↑2))) |
82 | 39, 60, 62 | sqdivd 13729 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑁 / ;27) / 2)↑2) = (((𝑁 / ;27)↑2) / (2↑2))) |
83 | 35, 36, 38 | sqdivd 13729 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑁 / ;27)↑2) = ((𝑁↑2) / (;27↑2))) |
84 | 83 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑁 / ;27)↑2) / (2↑2)) = (((𝑁↑2) / (;27↑2)) / (2↑2))) |
85 | 82, 84 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) / (;27↑2)) / (2↑2)) = (((𝑁 / ;27) / 2)↑2)) |
86 | | 4cn 11915 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 4 ∈
ℂ |
87 | 86 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 4 ∈
ℂ) |
88 | | expcl 13653 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈
ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ) |
89 | 9, 17, 88 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ) |
90 | 30 | sqcli 13750 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (;27↑2) ∈
ℂ |
91 | 90 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (;27↑2) ∈ ℂ) |
92 | | sqne0 13695 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (;27 ∈ ℂ → ((;27↑2) ≠ 0 ↔ ;27 ≠ 0)) |
93 | 36, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((;27↑2) ≠ 0 ↔ ;27 ≠ 0)) |
94 | 38, 93 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (;27↑2) ≠ 0) |
95 | 87, 89, 91, 94 | divassd 11643 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)) = (4 · ((𝑀↑3) / (;27↑2)))) |
96 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 9 ∈
ℂ) |
97 | | 9nn 11928 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 9 ∈
ℕ |
98 | 97 | nnne0i 11870 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 9 ≠
0 |
99 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 9 ≠ 0) |
100 | 9, 96, 99, 52 | expdivd 13730 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 9)↑3) = ((𝑀↑3) / (9↑3))) |
101 | 16, 4 | mulcomi 10841 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (2
· 3) = (3 · 2) |
102 | 101 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(3↑(2 · 3)) = (3↑(3 · 2)) |
103 | | expmul 13680 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((3
∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈
ℕ0) → (3↑(2 · 3)) =
((3↑2)↑3)) |
104 | 4, 27, 17, 103 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(3↑(2 · 3)) = ((3↑2)↑3) |
105 | | expmul 13680 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((3
∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈
ℕ0) → (3↑(3 · 2)) =
((3↑3)↑2)) |
106 | 4, 17, 27, 105 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(3↑(3 · 2)) = ((3↑3)↑2) |
107 | 102, 104,
106 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((3↑2)↑3) = ((3↑3)↑2) |
108 | | sq3 13767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(3↑2) = 9 |
109 | 108 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((3↑2)↑3) = (9↑3) |
110 | 55 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((3↑3)↑2) = (;27↑2) |
111 | 107, 109,
110 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(9↑3) = (;27↑2) |
112 | 111 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀↑3) / (9↑3)) = ((𝑀↑3) / (;27↑2)) |
113 | 100, 112 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 9)↑3) = ((𝑀↑3) / (;27↑2))) |
114 | 113 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑀 / 9)↑3)) = (4 ·
((𝑀↑3) / (;27↑2)))) |
115 | 95, 114 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)) = (4 · ((𝑀 / 9)↑3))) |
116 | 115 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)) / (2↑2)) = ((4 · ((𝑀 / 9)↑3)) /
(2↑2))) |
117 | | sq2 13766 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(2↑2) = 4 |
118 | 117 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((4
· ((𝑀 / 9)↑3))
/ (2↑2)) = ((4 · ((𝑀 / 9)↑3)) / 4) |
119 | 9, 96, 99 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑀 / 9) ∈ ℂ) |
120 | | expcl 13653 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 / 9) ∈ ℂ ∧ 3
∈ ℕ0) → ((𝑀 / 9)↑3) ∈
ℂ) |
121 | 119, 17, 120 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 9)↑3) ∈
ℂ) |
122 | | 4ne0 11938 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ≠
0 |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0) |
124 | 121, 87, 123 | divcan3d 11613 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑀 / 9)↑3)) / 4) = ((𝑀 / 9)↑3)) |
125 | 118, 124 | syl5eq 2790 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑀 / 9)↑3)) / (2↑2)) =
((𝑀 /
9)↑3)) |
126 | 116, 125 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)) / (2↑2)) = ((𝑀 / 9)↑3)) |
127 | 85, 126 | oveq12d 7231 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) / (;27↑2)) / (2↑2)) − (((4 ·
(𝑀↑3)) / (;27↑2)) / (2↑2))) = ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) − ((𝑀 / 9)↑3))) |
128 | 35 | sqcld 13714 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ) |
129 | 128, 91, 94 | divcld 11608 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) / (;27↑2)) ∈ ℂ) |
130 | | mulcl 10813 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((4
∈ ℂ ∧ (𝑀↑3) ∈ ℂ) → (4 ·
(𝑀↑3)) ∈
ℂ) |
131 | 86, 89, 130 | sylancr 590 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (4 · (𝑀↑3)) ∈
ℂ) |
132 | 131, 91, 94 | divcld 11608 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)) ∈ ℂ) |
133 | 16 | sqcli 13750 |
. . . . . . . 8
⊢
(2↑2) ∈ ℂ |
134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2↑2) ∈
ℂ) |
135 | 117, 122 | eqnetri 3011 |
. . . . . . . 8
⊢
(2↑2) ≠ 0 |
136 | 135 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (2↑2) ≠
0) |
137 | 129, 132,
134, 136 | divsubdird 11647 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) / (;27↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2))) / (2↑2)) = ((((𝑁↑2) / (;27↑2)) / (2↑2)) − (((4 ·
(𝑀↑3)) / (;27↑2)) /
(2↑2)))) |
138 | 75 | sqcld 13714 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑁 / ;27) / 2)↑2) ∈ ℂ) |
139 | 138, 121 | negsubd 11195 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) + -((𝑀 / 9)↑3)) = ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) − ((𝑀 / 9)↑3))) |
140 | 127, 137,
139 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) / (;27↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2))) / (2↑2)) = ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) + -((𝑀 / 9)↑3))) |
141 | 58, 36, 38 | sqdivd 13729 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐺 / ;27)↑2) = ((𝐺↑2) / (;27↑2))) |
142 | | mcubic.2 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3)))) |
143 | 142 | oveq1d 7228 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) / (;27↑2)) = (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / (;27↑2))) |
144 | 128, 131,
91, 94 | divsubdird 11647 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) − (4 · (𝑀↑3))) / (;27↑2)) = (((𝑁↑2) / (;27↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)))) |
145 | 141, 143,
144 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐺 / ;27)↑2) = (((𝑁↑2) / (;27↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2)))) |
146 | 145 | oveq1d 7228 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝐺 / ;27)↑2) / (2↑2)) = ((((𝑁↑2) / (;27↑2)) − ((4 · (𝑀↑3)) / (;27↑2))) / (2↑2))) |
147 | | oexpneg 15906 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 / 9) ∈ ℂ ∧ 3
∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 3) → (-(𝑀 / 9)↑3) = -((𝑀 / 9)↑3)) |
148 | 119, 47, 49, 147 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 9)↑3) = -((𝑀 / 9)↑3)) |
149 | 148 | oveq2d 7229 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) + (-(𝑀 / 9)↑3)) = ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) + -((𝑀 / 9)↑3))) |
150 | 140, 146,
149 | 3eqtr4d 2787 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐺 / ;27)↑2) / (2↑2)) = ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) + (-(𝑀 / 9)↑3))) |
151 | 80, 81, 150 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-((𝐺 / ;27) / 2)↑2) = ((((𝑁 / ;27) / 2)↑2) + (-(𝑀 / 9)↑3))) |
152 | 9, 10, 10, 12, 12 | divdiv1d 11639 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) / 3) = (𝑀 / (3 · 3))) |
153 | | 3t3e9 11997 |
. . . . . . 7
⊢ (3
· 3) = 9 |
154 | 153 | oveq2i 7224 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 / (3 · 3)) = (𝑀 / 9) |
155 | 152, 154 | eqtrdi 2794 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 3) / 3) = (𝑀 / 9)) |
156 | 155 | negeqd 11072 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -((𝑀 / 3) / 3) = -(𝑀 / 9)) |
157 | 13, 10, 12 | divnegd 11621 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → -((𝑀 / 3) / 3) = (-(𝑀 / 3) / 3)) |
158 | 156, 157 | eqtr3d 2779 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 9) = (-(𝑀 / 3) / 3)) |
159 | | eqidd 2738 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑁 / ;27) / 2) = ((𝑁 / ;27) / 2)) |
160 | | mcubic.0 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
161 | 43, 10, 160, 12 | divne0d 11624 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑇 / 3) ≠ 0) |
162 | 44, 161 | negne0d 11187 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -(𝑇 / 3) ≠ 0) |
163 | 14, 39, 42, 45, 77, 78, 151, 158, 159, 162 | dcubic 25729 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ (𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3))))))) |
164 | | binom3 13791 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 3) ∈ ℂ) →
((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) = (((𝑋↑3) + (3 · ((𝑋↑2) · (𝐵 / 3)))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)))) |
165 | 40, 41, 164 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) = (((𝑋↑3) + (3 · ((𝑋↑2) · (𝐵 / 3)))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)))) |
166 | 40 | sqcld 13714 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ) |
167 | 10, 166, 41 | mul12d 11041 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑋↑2) · (𝐵 / 3))) = ((𝑋↑2) · (3 · (𝐵 / 3)))) |
168 | 2, 10, 12 | divcan2d 11610 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (3 · (𝐵 / 3)) = 𝐵) |
169 | 168 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · (3 · (𝐵 / 3))) = ((𝑋↑2) · 𝐵)) |
170 | 166, 2 | mulcomd 10854 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝐵) = (𝐵 · (𝑋↑2))) |
171 | 167, 169,
170 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑋↑2) · (𝐵 / 3))) = (𝐵 · (𝑋↑2))) |
172 | 171 | oveq2d 7229 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + (3 · ((𝑋↑2) · (𝐵 / 3)))) = ((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) |
173 | 172 | oveq1d 7228 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + (3 · ((𝑋↑2) · (𝐵 / 3)))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3))) = (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)))) |
174 | 165, 173 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) = (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)))) |
175 | 174 | oveq1d 7228 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = ((((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3))) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)))) |
176 | | expcl 13653 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈
ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ) |
177 | 40, 17, 176 | sylancl 589 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋↑3) ∈ ℂ) |
178 | 2, 166 | mulcld 10853 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ) |
179 | 177, 178 | addcld 10852 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ) |
180 | 41 | sqcld 13714 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 3)↑2) ∈
ℂ) |
181 | 40, 180 | mulcld 10853 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2)) ∈
ℂ) |
182 | 10, 181 | mulcld 10853 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) ∈
ℂ) |
183 | | expcl 13653 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 / 3) ∈ ℂ ∧ 3
∈ ℕ0) → ((𝐵 / 3)↑3) ∈
ℂ) |
184 | 41, 17, 183 | sylancl 589 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 3)↑3) ∈
ℂ) |
185 | 182, 184 | addcld 10852 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) ∈
ℂ) |
186 | 14, 42 | mulcld 10853 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) ∈ ℂ) |
187 | 186, 39 | addcld 10852 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)) ∈ ℂ) |
188 | 179, 185,
187 | addassd 10855 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3))) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))))) |
189 | 14, 40, 41 | adddid 10857 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) = ((-(𝑀 / 3) · 𝑋) + (-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)))) |
190 | 189 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)) = (((-(𝑀 / 3) · 𝑋) + (-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) |
191 | 14, 40 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · 𝑋) ∈ ℂ) |
192 | 14, 41 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) ∈ ℂ) |
193 | 191, 192,
39 | addassd 10855 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((-(𝑀 / 3) · 𝑋) + (-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)) = ((-(𝑀 / 3) · 𝑋) + ((-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) + (𝑁 / ;27)))) |
194 | 1 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) = (((𝐵↑2) − (3 · 𝐶)) / 3)) |
195 | 3, 7, 10, 12 | divsubdird 11647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) − (3 · 𝐶)) / 3) = (((𝐵↑2) / 3) − ((3 · 𝐶) / 3))) |
196 | 5, 10, 12 | divcan3d 11613 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐶) / 3) = 𝐶) |
197 | 196 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) / 3) − ((3 · 𝐶) / 3)) = (((𝐵↑2) / 3) − 𝐶)) |
198 | 194, 195,
197 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑀 / 3) = (((𝐵↑2) / 3) − 𝐶)) |
199 | 198 | negeqd 11072 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 3) = -(((𝐵↑2) / 3) − 𝐶)) |
200 | 3, 10, 12 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 3) ∈
ℂ) |
201 | 200, 5 | negsubdi2d 11205 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → -(((𝐵↑2) / 3) − 𝐶) = (𝐶 − ((𝐵↑2) / 3))) |
202 | 199, 201 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 3) = (𝐶 − ((𝐵↑2) / 3))) |
203 | 202 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · 𝑋) = ((𝐶 − ((𝐵↑2) / 3)) · 𝑋)) |
204 | 5, 200, 40 | subdird 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐵↑2) / 3)) · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐵↑2) / 3) · 𝑋))) |
205 | 200, 40 | mulcomd 10854 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) / 3) · 𝑋) = (𝑋 · ((𝐵↑2) / 3))) |
206 | 4 | sqvali 13749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(3↑2) = (3 · 3) |
207 | 206 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵↑2) / (3↑2)) = ((𝐵↑2) / (3 ·
3)) |
208 | 2, 10, 12 | sqdivd 13729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 3)↑2) = ((𝐵↑2) / (3↑2))) |
209 | 3, 10, 10, 12, 12 | divdiv1d 11639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) / 3) / 3) = ((𝐵↑2) / (3 · 3))) |
210 | 207, 208,
209 | 3eqtr4a 2804 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 3)↑2) = (((𝐵↑2) / 3) / 3)) |
211 | 210 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐵 / 3)↑2)) = (3 ·
(((𝐵↑2) / 3) /
3))) |
212 | 200, 10, 12 | divcan2d 11610 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐵↑2) / 3) / 3)) = ((𝐵↑2) / 3)) |
213 | 211, 212 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐵 / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) / 3)) |
214 | 213 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑋 · (3 · ((𝐵 / 3)↑2))) = (𝑋 · ((𝐵↑2) / 3))) |
215 | 40, 10, 180 | mul12d 11041 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑋 · (3 · ((𝐵 / 3)↑2))) = (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2)))) |
216 | 205, 214,
215 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) / 3) · 𝑋) = (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2)))) |
217 | 216 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐵↑2) / 3) · 𝑋)) = ((𝐶 · 𝑋) − (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))))) |
218 | 203, 204,
217 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) − (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))))) |
219 | 202 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) = ((𝐶 − ((𝐵↑2) / 3)) · (𝐵 / 3))) |
220 | 5, 200, 41 | subdird 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐵↑2) / 3)) · (𝐵 / 3)) = ((𝐶 · (𝐵 / 3)) − (((𝐵↑2) / 3) · (𝐵 / 3)))) |
221 | 5, 2, 10, 12 | divassd 11643 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 3) = (𝐶 · (𝐵 / 3))) |
222 | 5, 2 | mulcomd 10854 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶)) |
223 | 222 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) / 3) = ((𝐵 · 𝐶) / 3)) |
224 | 221, 223 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 / 3)) = ((𝐵 · 𝐶) / 3)) |
225 | 3, 10, 2, 10, 12, 12 | divmuldivd 11649 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) / 3) · (𝐵 / 3)) = (((𝐵↑2) · 𝐵) / (3 · 3))) |
226 | | df-3 11894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 3 = (2 +
1) |
227 | 226 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1)) |
228 | | expp1 13642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈
ℕ0) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵)) |
229 | 2, 27, 228 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵)) |
230 | 227, 229 | eqtr2id 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝐵) = (𝐵↑3)) |
231 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (3 · 3) =
9) |
232 | 230, 231 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) · 𝐵) / (3 · 3)) = ((𝐵↑3) / 9)) |
233 | 225, 232 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) / 3) · (𝐵 / 3)) = ((𝐵↑3) / 9)) |
234 | 224, 233 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐵 / 3)) − (((𝐵↑2) / 3) · (𝐵 / 3))) = (((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9))) |
235 | 219, 220,
234 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) = (((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9))) |
236 | 15 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 / ;27) = ((((2 · (𝐵↑3)) − (9 · (𝐵 · 𝐶))) + (;27 · 𝐷)) / ;27)) |
237 | 26, 33, 36, 38 | divdird 11646 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝐵↑3)) − (9 ·
(𝐵 · 𝐶))) + (;27 · 𝐷)) / ;27) = ((((2 · (𝐵↑3)) − (9 · (𝐵 · 𝐶))) / ;27) + ((;27 · 𝐷) / ;27))) |
238 | 21, 25, 36, 38 | divsubdird 11647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − (9 ·
(𝐵 · 𝐶))) / ;27) = (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((9 · (𝐵 · 𝐶)) / ;27))) |
239 | | 9t3e27 12416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (9
· 3) = ;27 |
240 | 239 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((9
· (𝐵 · 𝐶)) / (9 · 3)) = ((9
· (𝐵 · 𝐶)) / ;27) |
241 | 23, 10, 96, 12, 99 | divcan5d 11634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((9 · (𝐵 · 𝐶)) / (9 · 3)) = ((𝐵 · 𝐶) / 3)) |
242 | 240, 241 | eqtr3id 2792 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((9 · (𝐵 · 𝐶)) / ;27) = ((𝐵 · 𝐶) / 3)) |
243 | 242 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((9 · (𝐵 · 𝐶)) / ;27)) = (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3))) |
244 | 238, 243 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) − (9 ·
(𝐵 · 𝐶))) / ;27) = (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3))) |
245 | 31, 36, 38 | divcan3d 11613 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((;27 · 𝐷) / ;27) = 𝐷) |
246 | 244, 245 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝐵↑3)) − (9 ·
(𝐵 · 𝐶))) / ;27) + ((;27 · 𝐷) / ;27)) = ((((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)) + 𝐷)) |
247 | 236, 237,
246 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 / ;27) = ((((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)) + 𝐷)) |
248 | 235, 247 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) + (𝑁 / ;27)) = ((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + ((((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)) + 𝐷))) |
249 | 19, 96, 99 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑3) / 9) ∈
ℂ) |
250 | 21, 36, 38 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑3)) / ;27) ∈ ℂ) |
251 | 249, 250 | negsubdi2d 11205 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → -(((𝐵↑3) / 9) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27)) = (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵↑3) / 9))) |
252 | 2, 10, 12, 52 | expdivd 13730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 3)↑3) = ((𝐵↑3) / (3↑3))) |
253 | 55 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵↑3) / (3↑3)) = ((𝐵↑3) / ;27) |
254 | | ax-1cn 10787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 1 ∈
ℂ |
255 | | 2p1e3 11972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2 + 1) =
3 |
256 | 4, 16, 254, 255 | subaddrii 11167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (3
− 2) = 1 |
257 | 256 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((3
− 2) · (𝐵↑3)) = (1 · (𝐵↑3)) |
258 | 19 | mulid2d 10851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (1 · (𝐵↑3)) = (𝐵↑3)) |
259 | 257, 258 | syl5eq 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((3 − 2) ·
(𝐵↑3)) = (𝐵↑3)) |
260 | 10, 60, 19 | subdird 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((3 − 2) ·
(𝐵↑3)) = ((3 ·
(𝐵↑3)) − (2
· (𝐵↑3)))) |
261 | 259, 260 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝐵↑3) = ((3 · (𝐵↑3)) − (2 · (𝐵↑3)))) |
262 | 261 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑3) / ;27) = (((3 · (𝐵↑3)) − (2 · (𝐵↑3))) / ;27)) |
263 | | mulcl 10813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((3
∈ ℂ ∧ (𝐵↑3) ∈ ℂ) → (3 ·
(𝐵↑3)) ∈
ℂ) |
264 | 4, 19, 263 | sylancr 590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (3 · (𝐵↑3)) ∈
ℂ) |
265 | 264, 21, 36, 38 | divsubdird 11647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((3 · (𝐵↑3)) − (2 ·
(𝐵↑3))) / ;27) = (((3 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27))) |
266 | 262, 265 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑3) / ;27) = (((3 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27))) |
267 | 253, 266 | syl5eq 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((𝐵↑3) / (3↑3)) = (((3 ·
(𝐵↑3)) / ;27) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27))) |
268 | 22, 4, 239 | mulcomli 10842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (3
· 9) = ;27 |
269 | 268 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((3
· (𝐵↑3)) / (3
· 9)) = ((3 · (𝐵↑3)) / ;27) |
270 | 19, 96, 10, 99, 12 | divcan5d 11634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐵↑3)) / (3 · 9)) =
((𝐵↑3) /
9)) |
271 | 269, 270 | eqtr3id 2792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((3 · (𝐵↑3)) / ;27) = ((𝐵↑3) / 9)) |
272 | 271 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((3 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27)) = (((𝐵↑3) / 9) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27))) |
273 | 252, 267,
272 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 3)↑3) = (((𝐵↑3) / 9) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27))) |
274 | 273 | negeqd 11072 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → -((𝐵 / 3)↑3) = -(((𝐵↑3) / 9) − ((2 · (𝐵↑3)) / ;27))) |
275 | 23, 10, 12 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) / 3) ∈ ℂ) |
276 | 275, 249,
250 | npncan3d 11225 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3))) = (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵↑3) / 9))) |
277 | 251, 274,
276 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → -((𝐵 / 3)↑3) = ((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)))) |
278 | 277 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (-((𝐵 / 3)↑3) + 𝐷) = (((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3))) + 𝐷)) |
279 | 184 | negcld 11176 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → -((𝐵 / 3)↑3) ∈
ℂ) |
280 | 279, 31 | addcomd 11034 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (-((𝐵 / 3)↑3) + 𝐷) = (𝐷 + -((𝐵 / 3)↑3))) |
281 | 235, 192 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) ∈
ℂ) |
282 | 250, 275 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)) ∈ ℂ) |
283 | 281, 282,
31 | addassd 10855 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + (((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3))) + 𝐷) = ((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + ((((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)) + 𝐷))) |
284 | 278, 280,
283 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐷 + -((𝐵 / 3)↑3)) = ((((𝐵 · 𝐶) / 3) − ((𝐵↑3) / 9)) + ((((2 · (𝐵↑3)) / ;27) − ((𝐵 · 𝐶) / 3)) + 𝐷))) |
285 | 31, 184 | negsubd 11195 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐷 + -((𝐵 / 3)↑3)) = (𝐷 − ((𝐵 / 3)↑3))) |
286 | 248, 284,
285 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) + (𝑁 / ;27)) = (𝐷 − ((𝐵 / 3)↑3))) |
287 | 218, 286 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · 𝑋) + ((-(𝑀 / 3) · (𝐵 / 3)) + (𝑁 / ;27))) = (((𝐶 · 𝑋) − (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2)))) + (𝐷 − ((𝐵 / 3)↑3)))) |
288 | 190, 193,
287 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)) = (((𝐶 · 𝑋) − (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2)))) + (𝐷 − ((𝐵 / 3)↑3)))) |
289 | 5, 40 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ) |
290 | 289, 31, 182, 184 | addsub4d 11236 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) − ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3))) = (((𝐶 · 𝑋) − (3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2)))) + (𝐷 − ((𝐵 / 3)↑3)))) |
291 | 288, 290 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)) = (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) − ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)))) |
292 | 291 | oveq2d 7229 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = (((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) − ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3))))) |
293 | 289, 31 | addcld 10852 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) ∈ ℂ) |
294 | 185, 293 | pncan3d 11192 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) + (((𝐶 · 𝑋) + 𝐷) − ((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)))) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) |
295 | 292, 294 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) |
296 | 295 | oveq2d 7229 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((3 · (𝑋 · ((𝐵 / 3)↑2))) + ((𝐵 / 3)↑3)) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27)))) = (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) |
297 | 175, 188,
296 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷))) |
298 | 297 | eqeq1d 2739 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((((𝑋 + (𝐵 / 3))↑3) + ((-(𝑀 / 3) · (𝑋 + (𝐵 / 3))) + (𝑁 / ;27))) = 0 ↔ (((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0)) |
299 | | oveq1 7220 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = (0↑3)) |
300 | | 0exp 13670 |
. . . . . . . . 9
⊢ (3 ∈
ℕ → (0↑3) = 0) |
301 | 46, 300 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
(0↑3) = 0 |
302 | 299, 301 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) = 0) |
303 | | 0ne1 11901 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ≠
1 |
304 | 303 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑟 = 0 → 0 ≠
1) |
305 | 302, 304 | eqnetrd 3008 |
. . . . . 6
⊢ (𝑟 = 0 → (𝑟↑3) ≠ 1) |
306 | 305 | necon2i 2975 |
. . . . 5
⊢ ((𝑟↑3) = 1 → 𝑟 ≠ 0) |
307 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) ↔ -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = 𝑋) |
308 | 2 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
309 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℂ) |
310 | 43 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℂ) |
311 | 309, 310 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ∈ ℂ) |
312 | 9 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ) |
313 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑟 ≠ 0) |
314 | 160 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑇 ≠ 0) |
315 | 309, 310,
313, 314 | mulne0d 11484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · 𝑇) ≠ 0) |
316 | 312, 311,
315 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) ∈ ℂ) |
317 | 311, 316 | addcld 10852 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) ∈ ℂ) |
318 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ∈
ℂ) |
319 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 3 ≠ 0) |
320 | 308, 317,
318, 319 | divdird 11646 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + ((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) / 3) = ((𝐵 / 3) + (((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
321 | 308, 311,
316 | addassd 10855 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) = (𝐵 + ((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))))) |
322 | 321 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = ((𝐵 + ((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇)))) / 3)) |
323 | 41 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝐵 / 3) ∈ ℂ) |
324 | 317, 318,
319 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) ∈ ℂ) |
325 | 323, 324 | subnegd 11196 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝐵 / 3) − -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3)) = ((𝐵 / 3) + (((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
326 | 320, 322,
325 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = ((𝐵 / 3) − -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
327 | 326 | negeqd 11072 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = -((𝐵 / 3) − -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
328 | 324 | negcld 11176 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) ∈ ℂ) |
329 | 323, 328 | negsubdi2d 11205 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -((𝐵 / 3) − -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3)) = (-(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) − (𝐵 / 3))) |
330 | 327, 329 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = (-(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) − (𝐵 / 3))) |
331 | 330 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (-(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = 𝑋 ↔ (-(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) − (𝐵 / 3)) = 𝑋)) |
332 | 307, 331 | syl5bb 286 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) ↔ (-(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) − (𝐵 / 3)) = 𝑋)) |
333 | 40 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℂ) |
334 | 328, 323,
333 | subadd2d 11208 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((-(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) − (𝐵 / 3)) = 𝑋 ↔ (𝑋 + (𝐵 / 3)) = -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
335 | 311, 316,
318, 319 | divdird 11646 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = (((𝑟 · 𝑇) / 3) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3))) |
336 | 335 | negeqd 11072 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = -(((𝑟 · 𝑇) / 3) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3))) |
337 | 311, 318,
319 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) / 3) ∈ ℂ) |
338 | 316, 318,
319 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3) ∈ ℂ) |
339 | 337, 338 | negdi2d 11203 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -(((𝑟 · 𝑇) / 3) + ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3)) = (-((𝑟 · 𝑇) / 3) − ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3))) |
340 | 309, 310,
318, 319 | divassd 11643 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) / 3) = (𝑟 · (𝑇 / 3))) |
341 | 340 | negeqd 11072 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -((𝑟 · 𝑇) / 3) = -(𝑟 · (𝑇 / 3))) |
342 | 44 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑇 / 3) ∈ ℂ) |
343 | 309, 342 | mulneg2d 11286 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑟 · -(𝑇 / 3)) = -(𝑟 · (𝑇 / 3))) |
344 | 341, 343 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -((𝑟 · 𝑇) / 3) = (𝑟 · -(𝑇 / 3))) |
345 | 312, 311,
318, 315, 319 | divdiv32d 11633 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3) = ((𝑀 / 3) / (𝑟 · 𝑇))) |
346 | 13 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / 3) ∈ ℂ) |
347 | 346, 311,
318, 315, 319 | divcan7d 11636 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 3) / 3) / ((𝑟 · 𝑇) / 3)) = ((𝑀 / 3) / (𝑟 · 𝑇))) |
348 | 155 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((𝑀 / 3) / 3) / ((𝑟 · 𝑇) / 3)) = ((𝑀 / 9) / ((𝑟 · 𝑇) / 3))) |
349 | 348 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (((𝑀 / 3) / 3) / ((𝑟 · 𝑇) / 3)) = ((𝑀 / 9) / ((𝑟 · 𝑇) / 3))) |
350 | 345, 347,
349 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3) = ((𝑀 / 9) / ((𝑟 · 𝑇) / 3))) |
351 | 119 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (𝑀 / 9) ∈ ℂ) |
352 | 311, 318,
315, 319 | divne0d 11624 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑟 · 𝑇) / 3) ≠ 0) |
353 | 351, 337,
352 | div2negd 11623 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (-(𝑀 / 9) / -((𝑟 · 𝑇) / 3)) = ((𝑀 / 9) / ((𝑟 · 𝑇) / 3))) |
354 | 344 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (-(𝑀 / 9) / -((𝑟 · 𝑇) / 3)) = (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3)))) |
355 | 350, 353,
354 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3) = (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3)))) |
356 | 344, 355 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → (-((𝑟 · 𝑇) / 3) − ((𝑀 / (𝑟 · 𝑇)) / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3))))) |
357 | 336, 339,
356 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3))))) |
358 | 357 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑋 + (𝐵 / 3)) = -(((𝑟 · 𝑇) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3) ↔ (𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3)))))) |
359 | 332, 334,
358 | 3bitrrd 309 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ≠ 0)) → ((𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3)))) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
360 | 359 | anassrs 471 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ≠ 0) → ((𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3)))) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
361 | 306, 360 | sylan2 596 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ∧ (𝑟↑3) = 1) → ((𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3)))) ↔ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3))) |
362 | 361 | pm5.32da 582 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → (((𝑟↑3) = 1 ∧ (𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3))))) ↔ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3)))) |
363 | 362 | rexbidva 3215 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ (𝑋 + (𝐵 / 3)) = ((𝑟 · -(𝑇 / 3)) − (-(𝑀 / 9) / (𝑟 · -(𝑇 / 3))))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3)))) |
364 | 163, 298,
363 | 3bitr3d 312 |
1
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑3) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ∃𝑟 ∈ ℂ ((𝑟↑3) = 1 ∧ 𝑋 = -(((𝐵 + (𝑟 · 𝑇)) + (𝑀 / (𝑟 · 𝑇))) / 3)))) |