Theorem addassnni 41459

Description: Associative law for addition. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
addassnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
addassnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
addassnni.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
addassnni	⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem addassnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addassnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 12258	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		addassnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 12258	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		addassnni.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
6	5	nncni 12258	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	2, 4, 6	addassi 11260	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424   + caddc 11147  ℕcn 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-1cn 11202  ax-addcl 11204  ax-addass 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-nn 12249

This theorem is referenced by: (None)