Theorem addassnni 41511

Description: Associative law for addition. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
addassnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
addassnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
addassnni.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
addassnni	⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem addassnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addassnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 12252	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		addassnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 12252	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		addassnni.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
6	5	nncni 12252	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	2, 4, 6	addassi 11254	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7416   + caddc 11141  ℕcn 12242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-1cn 11196  ax-addcl 11198  ax-addass 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12243

This theorem is referenced by: (None)