Theorem atleneN 35239

Description: Inequality derived from atom condition. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlene.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlene.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atlene.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atleneN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ≠ 𝑅)

Proof of Theorem atleneN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlene.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		atlene.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2771	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4		atlene.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	atcvrj1 35236	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))
6	2, 3, 4	atcvrneN 35235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅)
7	5, 6	syld3an3 1515	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑃 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ≠ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786  ‘cfv 6029  (class class class)co 6792  lecple 16152  joincjn 17148   ⋖ ccvr 35067  Atomscatm 35068  HLchlt 35155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17132  df-poset 17150  df-plt 17162  df-lub 17178  df-glb 17179  df-join 17180  df-meet 17181  df-p0 17243  df-lat 17250  df-clat 17312  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156

This theorem is referenced by: (None)