Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atleneN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atleneN 38300
Description: Inequality derived from atom condition. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atlene.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atlene.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atlene.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atleneN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑅 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)

Proof of Theorem atleneN
StepHypRef Expression
1 atlene.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 atlene.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 eqid 2732 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4 atlene.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4atcvrj1 38297 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑅 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅))
62, 3, 4atcvrneN 38296 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
75, 6syld3an3 1409 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑅 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  lecple 17203  joincjn 18263   β‹– ccvr 38127  Atomscatm 38128  HLchlt 38215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator