Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β π
) |
2 | | hlatl 37868 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
3 | 2 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β πΎ β AtLat) |
4 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β π΄) |
5 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β π
β π΄) |
6 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(meetβπΎ) =
(meetβπΎ) |
7 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
8 | | atcvrj1x.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | atnem0 37826 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β π
β (π(meetβπΎ)π
) = (0.βπΎ))) |
10 | 3, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β π
β (π(meetβπΎ)π
) = (0.βπΎ))) |
11 | 1, 10 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π(meetβπΎ)π
) = (0.βπΎ)) |
12 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β πΎ β HL) |
13 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
14 | 13, 8 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 4, 14 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | | atcvrj1x.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | | atcvrj1x.c |
. . . . 5
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
18 | 13, 16, 6, 7, 17, 8 | cvrp 37925 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β π΄) β ((π(meetβπΎ)π
) = (0.βπΎ) β ππΆ(π β¨ π
))) |
19 | 12, 15, 5, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β ((π(meetβπΎ)π
) = (0.βπΎ) β ππΆ(π β¨ π
))) |
20 | 11, 19 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β ππΆ(π β¨ π
)) |
21 | | simp3r 1203 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β€ (π β¨ π
)) |
22 | | atcvrj1x.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
23 | 22, 16, 8 | hlatexchb2 37903 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ π β π
) β (π β€ (π β¨ π
) β (π β¨ π
) = (π β¨ π
))) |
24 | 23 | 3adant3r 1182 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ (π β¨ π
) β (π β¨ π
) = (π β¨ π
))) |
25 | 21, 24 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β¨ π
) = (π β¨ π
)) |
26 | 20, 25 | breqtrd 5132 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π
β§ π β€ (π β¨ π
))) β ππΆ(π β¨ π
)) |