Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrneN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvrneN 36599
Description: Inequality derived from atom condition. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrne.j = (join‘𝐾)
atcvrne.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrne.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvrneN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)

Proof of Theorem atcvrneN
StepHypRef Expression
1 hlatl 36529 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
213ad2ant1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simp21 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2820 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5 atcvrne.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atn0 36477 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
72, 3, 6syl2anc 586 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
8 simp1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
9 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
109, 5atbase 36458 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
113, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12 simp22 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
13 simp23 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
14 simp3 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
15 atcvrne.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
16 atcvrne.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
179, 15, 4, 16, 5atcvrj0 36597 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝑃 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑄 = 𝑅))
188, 11, 12, 13, 14, 17syl131anc 1379 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝑃 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑄 = 𝑅))
1918necon3bid 3050 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝑃 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑄𝑅))
207, 19mpbid 234 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5040  cfv 6329  (class class class)co 7131  Basecbs 16459  joincjn 17530  0.cp0 17623  ccvr 36431  Atomscatm 36432  AtLatcal 36433  HLchlt 36519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5434  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-proset 17514  df-poset 17532  df-plt 17544  df-lub 17560  df-glb 17561  df-join 17562  df-meet 17563  df-p0 17625  df-lat 17632  df-clat 17694  df-oposet 36345  df-ol 36347  df-oml 36348  df-covers 36435  df-ats 36436  df-atl 36467  df-cvlat 36491  df-hlat 36520
This theorem is referenced by:  atleneN  36603
  Copyright terms: Public domain W3C validator