MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmordi 14072
Description: Base ordering relationship for exponentiation of nonnegative reals to a fixed positive integer power. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expmordi (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))

Proof of Theorem expmordi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐴𝑎) = (𝐴↑1))
2 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐵𝑎) = (𝐵↑1))
31, 2breq12d 5118 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
6 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
75, 6breq12d 5118 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))))
9 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 5118 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑁))
14 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑁))
1513, 14breq12d 5118 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
1615imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))))
17 recn 11141 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18 recn 11141 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19 exp1 13973 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20 exp1 13973 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2119, 20breqan12d 5121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2217, 18, 21syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2322biimpar 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
2423adantrl 714 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25 simp2ll 1240 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27263ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2825, 27reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) ∈ ℝ)
29 simp2lr 1241 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029, 27reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ)
3128, 30jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → ((𝐴𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑏) ∈ ℝ))
32 simp2rl 1242 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
3325, 27, 32expge0d 14069 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ (𝐴𝑏))
34 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))
3533, 34jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (0 ≤ (𝐴𝑏) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)))
36 simp2l 1199 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37 simp2r 1200 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵))
38 ltmul12a 12011 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴𝑏) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) < ((𝐵𝑏) · 𝐵))
3931, 35, 36, 37, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) < ((𝐵𝑏) · 𝐵))
4025recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4140, 27expp1d 14052 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴𝑏) · 𝐴))
4229recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4342, 27expp1d 14052 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵𝑏) · 𝐵))
4439, 41, 433brtr4d 5137 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45443exp 1119 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴𝑏) < (𝐵𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
4645a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
474, 8, 12, 16, 24, 46nnind 12171 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
4847impcom 408 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))
49483impa 1110 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  rpexpmord  14073
  Copyright terms: Public domain W3C validator