Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑1)) |
2 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑1)) |
3 | 1, 2 | breq12d 5066 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1))) |
4 | 3 | imbi2d 344 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))) |
5 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏)) |
6 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑏)) |
7 | 5, 6 | breq12d 5066 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) |
8 | 7 | imbi2d 344 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))) |
9 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1))) |
10 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1))) |
11 | 9, 10 | breq12d 5066 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))) |
12 | 11 | imbi2d 344 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))) |
13 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑁)) |
14 | | oveq2 7221 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑁)) |
15 | 13, 14 | breq12d 5066 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))) |
16 | 15 | imbi2d 344 |
. . . 4
⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))) |
17 | | recn 10819 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈
ℂ) |
18 | | recn 10819 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈
ℂ) |
19 | | exp1 13641 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴) |
20 | | exp1 13641 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵) |
21 | 19, 20 | breqan12d 5069 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵)) |
22 | 17, 18, 21 | syl2an 599 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵)) |
23 | 22 | biimpar 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1)) |
24 | 23 | adantrl 716 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1)) |
25 | | simp2ll 1242 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
26 | | nnnn0 12097 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈
ℕ0) |
27 | 26 | 3ad2ant1 1135 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0) |
28 | 25, 27 | reexpcld 13733 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) ∈ ℝ) |
29 | | simp2lr 1243 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ) |
30 | 29, 27 | reexpcld 13733 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ) |
31 | 28, 30 | jca 515 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ)) |
32 | | simp2rl 1244 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ 𝐴) |
33 | 25, 27, 32 | expge0d 13734 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ (𝐴↑𝑏)) |
34 | | simp3 1140 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) |
35 | 33, 34 | jca 515 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) |
36 | | simp2l 1201 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) |
37 | | simp2r 1202 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) |
38 | | ltmul12a 11688 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵)) |
39 | 31, 35, 36, 37, 38 | syl22anc 839 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵)) |
40 | 25 | recnd 10861 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
41 | 40, 27 | expp1d 13717 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴)) |
42 | 29 | recnd 10861 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
43 | 42, 27 | expp1d 13717 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵↑𝑏) · 𝐵)) |
44 | 39, 41, 43 | 3brtr4d 5085 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))) |
45 | 44 | 3exp 1121 |
. . . . 5
⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))) |
46 | 45 | a2d 29 |
. . . 4
⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))) |
47 | 4, 8, 12, 16, 24, 46 | nnind 11848 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))) |
48 | 47 | impcom 411 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)) |
49 | 48 | 3impa 1112 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)) |