Theorem expmordi 14134

Description: Base ordering relationship for exponentiation of nonnegative reals to a fixed positive integer power. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expmordi	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem expmordi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑1))
2		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑏))
7	5, 6	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))))
9		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5161	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))))
17		recn 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp1 14035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20		exp1 14035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
21	19, 20	breqan12d 5164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 18, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
23	22	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
24	23	adantrl 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25		simp2ll 1240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnnn0 12481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
28	25, 27	reexpcld 14130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) ∈ ℝ)
29		simp2lr 1241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29, 27	reexpcld 14130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ)
31	28, 30	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ))
32		simp2rl 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
33	25, 27, 32	expge0d 14131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ (𝐴↑𝑏))
34		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))
35	33, 34	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
36		simp2l 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37		simp2r 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
38		ltmul12a 12072	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
39	31, 35, 36, 37, 38	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
40	25	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 27	expp1d 14114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
42	29	recnd 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42, 27	expp1d 14114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
44	39, 41, 43	3brtr4d 5180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45	44	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
46	45	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
47	4, 8, 12, 16, 24, 46	nnind 12232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
48	47	impcom 408	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))
49	48	3impa 1110	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251  ℕcn 12214  ℕ₀cn0 12474  ↑cexp 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030

This theorem is referenced by:  rpexpmord  14135