Theorem expmordi 13813

Description: Base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expmordi	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem expmordi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑1))
2		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑏))
7	5, 6	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))))
9		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))))
17		recn 10892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 10892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp1 13716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20		exp1 13716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
21	19, 20	breqan12d 5086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 18, 21	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
23	22	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
24	23	adantrl 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25		simp2ll 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
28	25, 27	reexpcld 13809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) ∈ ℝ)
29		simp2lr 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29, 27	reexpcld 13809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ)
31	28, 30	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ))
32		simp2rl 1240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
33	25, 27, 32	expge0d 13810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ (𝐴↑𝑏))
34		simp3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))
35	33, 34	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
36		simp2l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37		simp2r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
38		ltmul12a 11761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
39	31, 35, 36, 37, 38	syl22anc 835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
40	25	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 27	expp1d 13793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
42	29	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42, 27	expp1d 13793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
44	39, 41, 43	3brtr4d 5102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45	44	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
46	45	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
47	4, 8, 12, 16, 24, 46	nnind 11921	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
48	47	impcom 407	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))
49	48	3impa 1108	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  rpexpmord  13814