Theorem expmordi 14310

Description: Base ordering relationship for exponentiation of nonnegative reals to a fixed positive integer power. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expmordi	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem expmordi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑1))
2		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
4	3	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑏))
7	5, 6	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
8	7	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))))
9		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
12	11	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 343	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))))
17		recn 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp1 14210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20		exp1 14210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
21	19, 20	breqan12d 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 18, 21	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
23	22	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
24	23	adantrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25		simp2ll 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
28	25, 27	reexpcld 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) ∈ ℝ)
29		simp2lr 1260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29, 27	reexpcld 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ)
31	28, 30	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ))
32		simp2rl 1261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
33	25, 27, 32	expge0d 14307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ (𝐴↑𝑏))
34		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))
35	33, 34	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
36		simp2l 1218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37		simp2r 1219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
38		ltmul12a 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
39	31, 35, 36, 37, 38	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
40	25	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 27	expp1d 14290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
42	29	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42, 27	expp1d 14290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
44	39, 41, 43	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45	44	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
46	45	a2d 30	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
47	4, 8, 12, 16, 24, 46	nnind 12353	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
48	47	impcom 413	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))
49	48	3impa 1127	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  rpexpmord  14311