Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmordi 13544
 Description: Mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expmordi (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))

Proof of Theorem expmordi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐴𝑎) = (𝐴↑1))
2 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐵𝑎) = (𝐵↑1))
31, 2breq12d 5046 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
43imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
6 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
75, 6breq12d 5046 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)))
87imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))))
9 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 5046 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
1211imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑁))
14 oveq2 7150 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑁))
1513, 14breq12d 5046 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
1615imbi2d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))))
17 recn 10631 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18 recn 10631 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19 exp1 13448 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20 exp1 13448 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2119, 20breqan12d 5049 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2217, 18, 21syl2an 598 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2322biimpar 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
2423adantrl 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25 simp2ll 1237 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnnn0 11907 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27263ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2825, 27reexpcld 13540 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) ∈ ℝ)
29 simp2lr 1238 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029, 27reexpcld 13540 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ)
3128, 30jca 515 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → ((𝐴𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑏) ∈ ℝ))
32 simp2rl 1239 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
3325, 27, 32expge0d 13541 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ (𝐴𝑏))
34 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))
3533, 34jca 515 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (0 ≤ (𝐴𝑏) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)))
36 simp2l 1196 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37 simp2r 1197 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵))
38 ltmul12a 11500 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴𝑏) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) < ((𝐵𝑏) · 𝐵))
3931, 35, 36, 37, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) < ((𝐵𝑏) · 𝐵))
4025recnd 10673 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4140, 27expp1d 13524 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴𝑏) · 𝐴))
4229recnd 10673 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4342, 27expp1d 13524 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵𝑏) · 𝐵))
4439, 41, 433brtr4d 5065 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45443exp 1116 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴𝑏) < (𝐵𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
4645a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
474, 8, 12, 16, 24, 46nnind 11658 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
4847impcom 411 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))
49483impa 1107 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5033  (class class class)co 7142  ℂcc 10539  ℝcr 10540  0cc0 10541  1c1 10542   + caddc 10544   · cmul 10546   < clt 10679   ≤ cle 10680  ℕcn 11640  ℕ0cn0 11900  ↑cexp 13442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7571  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11987  df-uz 12249  df-seq 13382  df-exp 13443 This theorem is referenced by:  rpexpmord  13545
 Copyright terms: Public domain W3C validator