MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmordi 14132
Description: Base ordering relationship for exponentiation of nonnegative reals to a fixed positive integer power. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expmordi (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))

Proof of Theorem expmordi
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘1))
2 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = 1 โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) = (๐ตโ†‘1))
31, 2breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘Ž = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž) โ†” (๐ดโ†‘1) < (๐ตโ†‘1)))
43imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = 1 โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘1) < (๐ตโ†‘1))))
5 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘๐‘))
6 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) = (๐ตโ†‘๐‘))
75, 6breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)))
87imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))))
9 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)))
10 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) = (๐ตโ†‘(๐‘ + 1)))
119, 10breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ + 1))))
1211imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = (๐‘ + 1) โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ + 1)))))
13 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) = (๐ดโ†‘๐‘))
14 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘Ž) = (๐ตโ†‘๐‘))
1513, 14breq12d 5162 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž) โ†” (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)))
1615imbi2d 341 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘Ž) < (๐ตโ†‘๐‘Ž)) โ†” (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))))
17 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
18 recn 11200 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
19 exp1 14033 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘1) = ๐ด)
20 exp1 14033 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ตโ†‘1) = ๐ต)
2119, 20breqan12d 5165 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘1) < (๐ตโ†‘1) โ†” ๐ด < ๐ต))
2217, 18, 21syl2an 597 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘1) < (๐ตโ†‘1) โ†” ๐ด < ๐ต))
2322biimpar 479 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ดโ†‘1) < (๐ตโ†‘1))
2423adantrl 715 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘1) < (๐ตโ†‘1))
25 simp2ll 1241 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
26 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2825, 27reexpcld 14128 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
29 simp2lr 1242 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3029, 27reexpcld 14128 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
3128, 30jca 513 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„))
32 simp2rl 1243 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
3325, 27, 32expge0d 14129 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘))
34 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))
3533, 34jca 513 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)))
36 simp2l 1200 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
37 simp2r 1201 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต))
38 ltmul12a 12070 . . . . . . . 8 (((((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ โˆง (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต))) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) < ((๐ตโ†‘๐‘) ยท ๐ต))
3931, 35, 36, 37, 38syl22anc 838 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด) < ((๐ตโ†‘๐‘) ยท ๐ต))
4025recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4140, 27expp1d 14112 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท ๐ด))
4229recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4342, 27expp1d 14112 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘ + 1)) = ((๐ตโ†‘๐‘) ยท ๐ต))
4439, 41, 433brtr4d 5181 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ + 1)))
45443exp 1120 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ + 1)))))
4645a2d 29 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + 1)) < (๐ตโ†‘(๐‘ + 1)))))
474, 8, 12, 16, 24, 46nnind 12230 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘)))
4847impcom 409 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))
49483impa 1111 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) < (๐ตโ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  rpexpmord  14133
  Copyright terms: Public domain W3C validator