MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmordi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmordi 13986
Description: Base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expmordi (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))

Proof of Theorem expmordi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐴𝑎) = (𝐴↑1))
2 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝐵𝑎) = (𝐵↑1))
31, 2breq12d 5105 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
6 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
75, 6breq12d 5105 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)))
87imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))))
9 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 5105 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑁))
14 oveq2 7345 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑁))
1513, 14breq12d 5105 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝑎) < (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
1615imbi2d 340 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑎) < (𝐵𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))))
17 recn 11062 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18 recn 11062 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19 exp1 13889 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20 exp1 13889 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
2119, 20breqan12d 5108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2217, 18, 21syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
2322biimpar 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
2423adantrl 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25 simp2ll 1239 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnnn0 12341 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27263ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2825, 27reexpcld 13982 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) ∈ ℝ)
29 simp2lr 1240 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029, 27reexpcld 13982 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐵𝑏) ∈ ℝ)
3128, 30jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → ((𝐴𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑏) ∈ ℝ))
32 simp2rl 1241 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
3325, 27, 32expge0d 13983 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 0 ≤ (𝐴𝑏))
34 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))
3533, 34jca 512 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (0 ≤ (𝐴𝑏) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)))
36 simp2l 1198 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37 simp2r 1199 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵))
38 ltmul12a 11932 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴𝑏) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) < ((𝐵𝑏) · 𝐵))
3931, 35, 36, 37, 38syl22anc 836 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → ((𝐴𝑏) · 𝐴) < ((𝐵𝑏) · 𝐵))
4025recnd 11104 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4140, 27expp1d 13966 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴𝑏) · 𝐴))
4229recnd 11104 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4342, 27expp1d 13966 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵𝑏) · 𝐵))
4439, 41, 433brtr4d 5124 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45443exp 1118 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴𝑏) < (𝐵𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
4645a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑏) < (𝐵𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
474, 8, 12, 16, 24, 46nnind 12092 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
4847impcom 408 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))
49483impa 1109 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5092  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   < clt 11110  cle 11111  cn 12074  0cn0 12334  cexp 13883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-seq 13823  df-exp 13884
This theorem is referenced by:  rpexpmord  13987
  Copyright terms: Public domain W3C validator