Theorem expmordi 14132

Description: Base ordering relationship for exponentiation of nonnegative reals to a fixed positive integer power. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expmordi	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem expmordi

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑1))
2		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑1) < (𝐵↑1)))
4	3	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 1 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))))
5		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑏))
6		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑏))
7	5, 6	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
8	7	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))))
9		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑(𝑏 + 1)))
10		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑(𝑏 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
13		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴↑𝑎) = (𝐴↑𝑁))
14		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐵↑𝑎) = (𝐵↑𝑁))
15	13, 14	breq12d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎) ↔ (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑎) < (𝐵↑𝑎)) ↔ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))))
17		recn 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
18		recn 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
19		exp1 14032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20		exp1 14032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
21	19, 20	breqan12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
22	17, 18, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑1) < (𝐵↑1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
23	22	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
24	23	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑1) < (𝐵↑1))
25		simp2ll 1241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnnn0 12449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
27	26	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
28	25, 27	reexpcld 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) ∈ ℝ)
29		simp2lr 1242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29, 27	reexpcld 14128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ)
31	28, 30	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ))
32		simp2rl 1243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ 𝐴)
33	25, 27, 32	expge0d 14129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 0 ≤ (𝐴↑𝑏))
34		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))
35	33, 34	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)))
36		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
37		simp2r 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
38		ltmul12a 12038	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑𝑏) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴↑𝑏) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏))) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
39	31, 35, 36, 37, 38	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → ((𝐴↑𝑏) · 𝐴) < ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
40	25	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 27	expp1d 14112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) = ((𝐴↑𝑏) · 𝐴))
42	29	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → 𝐵 ∈ ℂ)
43	42, 27	expp1d 14112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐵↑(𝑏 + 1)) = ((𝐵↑𝑏) · 𝐵))
44	39, 41, 43	3brtr4d 5139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))
45	44	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
46	45	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑏) < (𝐵↑𝑏)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑(𝑏 + 1)) < (𝐵↑(𝑏 + 1)))))
47	4, 8, 12, 16, 24, 46	nnind 12204	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁)))
48	47	impcom 407	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))
49	48	3impa 1109	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) < (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  rpexpmord  14133