Theorem sinord 25278

Description: Sine is increasing over the closed interval from -(π / 2) to (π / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))

Proof of Theorem sinord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 25210	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
2		halfpire 25209	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3		iccssre 12904	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3874	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	sseli 3874	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltsub2 11216	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
8	2, 7	mp3an3 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
9	5, 6, 8	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
10		oveq2 7179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝐵))
11	10	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π)))
12	4	sseli 3874	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		resubcl 11029	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
14	2, 12, 13	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
15	1, 2	elicc2i 12888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
16	15	simp3bi 1148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
17		subge0 11232	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
18	2, 12, 17	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
19	16, 18	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
20	15	simp2bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
21		lesub2 11214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
22	1, 2, 21	mp3an13 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
24	20, 23	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
25	2	recni 10734	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	25, 25	subnegi 11044	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
27		pidiv2halves 25212	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	26, 27	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
29	24, 28	breqtrdi 5072	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
30		0re 10722	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		pire 25203	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 12888	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
34	11, 33	vtoclga 3479	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π))
35		oveq2 7179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝐴))
36	35	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π)))
37	36, 33	vtoclga 3479	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π))
38		cosord 25275	. . 3 ⊢ ((((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π) ∧ ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴) ↔ (cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵))))
39	34, 37, 38	syl2anr 600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴) ↔ (cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵))))
40	5	recnd 10748	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41		coshalfpim 25240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝐴)) = (sin‘𝐴))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝐴)) = (sin‘𝐴))
43	6	recnd 10748	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
44		coshalfpim 25240	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝐵)) = (sin‘𝐵))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝐵)) = (sin‘𝐵))
46	42, 45	breqan12d 5047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵)) ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))
47	9, 39, 46	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3844   class class class wbr 5031  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  ℂcc 10614  ℝcr 10615  0cc0 10616   + caddc 10619   < clt 10754   ≤ cle 10755   − cmin 10949  -cneg 10950   / cdiv 11376  2c2 11772  [,]cicc 12825  sincsin 15510  cosccos 15511  πcpi 15513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694  ax-addf 10695  ax-mulf 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-fi 8949  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-ioo 12826  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-icc 12829  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-seq 13462  df-exp 13523  df-fac 13727  df-bc 13756  df-hash 13784  df-shft 14517  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-limsup 14919  df-clim 14936  df-rlim 14937  df-sum 15137  df-ef 15514  df-sin 15516  df-cos 15517  df-pi 15519  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-hom 16693  df-cco 16694  df-rest 16800  df-topn 16801  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-topgen 16821  df-pt 16822  df-prds 16825  df-xrs 16879  df-qtop 16884  df-imas 16885  df-xps 16887  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-mulg 18344  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-psmet 20210  df-xmet 20211  df-met 20212  df-bl 20213  df-mopn 20214  df-fbas 20215  df-fg 20216  df-cnfld 20219  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-cld 21771  df-ntr 21772  df-cls 21773  df-nei 21850  df-lp 21888  df-perf 21889  df-cn 21979  df-cnp 21980  df-haus 22067  df-tx 22314  df-hmeo 22507  df-fil 22598  df-fm 22690  df-flim 22691  df-flf 22692  df-xms 23074  df-ms 23075  df-tms 23076  df-cncf 23631  df-limc 24618  df-dv 24619

This theorem is referenced by:  tanord1  25281