Theorem sinord 26774

Description: Sine is increasing over the closed interval from -(π / 2) to (π / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))

Proof of Theorem sinord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 26706	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
2		halfpire 26705	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3		iccssre 13485	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3927	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	sseli 3927	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltsub2 11738	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
8	2, 7	mp3an3 1479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
9	5, 6, 8	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
10		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝐵))
11	10	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π)))
12	4	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		resubcl 11549	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
14	2, 12, 13	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
15	1, 2	elicc2i 13468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
16	15	simp3bi 1165	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
17		subge0 11754	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
18	2, 12, 17	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
19	16, 18	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
20	15	simp2bi 1164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
21		lesub2 11736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
22	1, 2, 21	mp3an13 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
23	12, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
24	20, 23	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
25	2	recni 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	25, 25	subnegi 11564	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
27		pidiv2halves 26708	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	26, 27	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
29	24, 28	breqtrdi 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
30		0re 11237	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		pire 26695	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13468	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
34	11, 33	vtoclga 3536	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π))
35		oveq2 7422	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝐴))
36	35	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π)))
37	36, 33	vtoclga 3536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π))
38		cosord 26771	. . 3 ⊢ ((((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π) ∧ ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴) ↔ (cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵))))
39	34, 37, 38	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴) ↔ (cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵))))
40	5	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41		coshalfpim 26736	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝐴)) = (sin‘𝐴))
42	40, 41	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝐴)) = (sin‘𝐴))
43	6	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
44		coshalfpim 26736	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝐵)) = (sin‘𝐵))
45	43, 44	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝐵)) = (sin‘𝐵))
46	42, 45	breqan12d 5119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵)) ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))
47	9, 39, 46	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  [,]cicc 13404  sincsin 16152  cosccos 16153  πcpi 16155

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-bc 14370  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156  df-sin 16158  df-cos 16159  df-pi 16161  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cncf 25109  df-limc 26096  df-dv 26097

This theorem is used by:  tanord1  26777