Theorem sinord 26481

Description: Sine is increasing over the closed interval from -(π / 2) to (π / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinord	⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))

Proof of Theorem sinord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neghalfpire 26413	. . . . 5 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
2		halfpire 26412	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
3		iccssre 13439	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3976	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4	sseli 3976	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltsub2 11742	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
8	2, 7	mp3an3 1447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
9	5, 6, 8	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴)))
10		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝐵))
11	10	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π)))
12	4	sseli 3976	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		resubcl 11555	. . . . . 6 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
14	2, 12, 13	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ)
15	1, 2	elicc2i 13423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (π / 2)))
16	15	simp3bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑥 ≤ (π / 2))
17		subge0 11758	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
18	2, 12, 17	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ↔ 𝑥 ≤ (π / 2)))
19	16, 18	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥))
20	15	simp2bi 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → -(π / 2) ≤ 𝑥)
21		lesub2 11740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
22	1, 2, 21	mp3an13 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (-(π / 2) ≤ 𝑥 ↔ ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2))))
24	20, 23	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ ((π / 2) − -(π / 2)))
25	2	recni 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
26	25, 25	subnegi 11570	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
27		pidiv2halves 26415	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	26, 27	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − -(π / 2)) = π
29	24, 28	breqtrdi 5189	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ≤ π)
30		0re 11247	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		pire 26406	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
32	30, 31	elicc2i 13423	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ (((π / 2) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((π / 2) − 𝑥) ∧ ((π / 2) − 𝑥) ≤ π))
33	14, 19, 29, 32	syl3anbrc 1341	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π))
34	11, 33	vtoclga 3563	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π))
35		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((π / 2) − 𝑥) = ((π / 2) − 𝐴))
36	35	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((π / 2) − 𝑥) ∈ (0[,]π) ↔ ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π)))
37	36, 33	vtoclga 3563	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π))
38		cosord 26478	. . 3 ⊢ ((((π / 2) − 𝐵) ∈ (0[,]π) ∧ ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0[,]π)) → (((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴) ↔ (cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵))))
39	34, 37, 38	syl2anr 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (((π / 2) − 𝐵) < ((π / 2) − 𝐴) ↔ (cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵))))
40	5	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41		coshalfpim 26443	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝐴)) = (sin‘𝐴))
42	40, 41	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝐴)) = (sin‘𝐴))
43	6	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
44		coshalfpim 26443	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) − 𝐵)) = (sin‘𝐵))
45	43, 44	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → (cos‘((π / 2) − 𝐵)) = (sin‘𝐵))
46	42, 45	breqan12d 5164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → ((cos‘((π / 2) − 𝐴)) < (cos‘((π / 2) − 𝐵)) ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))
47	9, 39, 46	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) ∧ 𝐵 ∈ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (sin‘𝐴) < (sin‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  2c2 12298  [,]cicc 13360  sincsin 16040  cosccos 16041  πcpi 16043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809

This theorem is referenced by:  tanord1  26484