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Theorem monotoddzzfi 39539
Description: A function which is odd and monotonic on 0 is monotonic on . This proof is far too long. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotoddzzfi.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
monotoddzzfi.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥))
monotoddzzfi.3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
monotoddzzfi ((𝜑𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem monotoddzzfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6669 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
2 fveq2 6669 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
3 fveq2 6669 . . 3 (𝑎 = 𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐵))
4 zssre 11987 . . 3 ℤ ⊆ ℝ
5 eleq1 2900 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
65anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
7 fveq2 6669 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
87eleq1d 2897 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑎) ∈ ℝ))
96, 8imbi12d 347 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)))
10 monotoddzzfi.1 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
119, 10chvarvv 2001 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
12 elznn 11996 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0)))
1312simprbi 499 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0))
14 elznn 11996 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℤ ↔ (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
1514simprbi 499 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0))
1613, 15anim12i 614 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
1716adantl 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)))
18 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝜑)
19 nnnn0 11903 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
2019ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
21 nnnn0 11903 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
2221ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
23 vex 3497 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
24 vex 3497 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
25 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → 𝑥 = 𝑎)
2625eleq1d 2897 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0))
27 simpr 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → 𝑦 = 𝑏)
2827eleq1d 2897 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑦 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
2926, 283anbi23d 1435 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)))
30 breq12 5070 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (𝑥 < 𝑦𝑎 < 𝑏))
31 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑏 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑏))
327, 31breqan12d 5081 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3330, 32imbi12d 347 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
3429, 33imbi12d 347 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))))
35 monotoddzzfi.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)))
3623, 24, 34, 35vtocl2 3561 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3718, 20, 22, 36syl3anc 1367 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
3837ex 415 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
3911adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
4039adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
41 0red 10643 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
42 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑏 ∈ ℤ))
4342anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℤ)))
44 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑏))
4544eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑏) ∈ ℝ))
4643, 45imbi12d 347 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)))
4746, 10chvarvv 2001 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
4847adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
4948adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
50 0red 10643 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
51 znegcl 12016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
5251ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → -𝑎 ∈ ℤ)
53 negex 10883 . . . . . . . . . . . . . . 15 -𝑎 ∈ V
54 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
5554anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ)))
56 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘-𝑎))
5756eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑎 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ))
5855, 57imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)))
5953, 58, 10vtocl 3559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
6052, 59syldan 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘-𝑎) ∈ ℝ)
62 0z 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
63 c0ex 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ V
64 eleq1 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
6564anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ)))
66 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
6766eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘0) ∈ ℝ))
6865, 67imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)))
6963, 68, 10vtocl 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
7062, 69mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
7170recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
72 neg0 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -0 = 0
7372fveq2i 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹‘-0) = (𝐹‘0)
74 negeq 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
7574fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-0))
7666negeqd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹‘0))
7775, 76eqeq12d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0)))
7865, 77imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))))
79 monotoddzzfi.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥))
8063, 78, 79vtocl 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))
8162, 80mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘-0) = -(𝐹‘0))
8273, 81syl5eqr 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = -(𝐹‘0))
8371, 82eqnegad 11361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
8483adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘0) = 0)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘0) = 0)
86 nngt0 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑎 ∈ ℕ → 0 < -𝑎)
8786adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 < -𝑎)
88 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 𝜑)
89 0nn0 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℕ0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℕ0)
91 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → -𝑎 ∈ ℕ0)
92 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → 𝑥 = 0)
9392eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
94 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → 𝑦 = -𝑎)
9594eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ -𝑎 ∈ ℕ0))
9693, 953anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0)))
97 breq12 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < -𝑎))
9892fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘0))
9994fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑎))
10098, 99breq12d 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10197, 100imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎))))
10296, 101imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = -𝑎) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))))
10363, 53, 102, 35vtocl2 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10488, 90, 91, 103syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (0 < -𝑎 → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎)))
10587, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘0) < (𝐹‘-𝑎))
10685, 105eqbrtrrd 5089 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 < (𝐹‘-𝑎))
10750, 61, 106ltled 10787 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
108 0le0 11737 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
10984ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → (𝐹‘0) = 0)
110108, 109breqtrrid 5103 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → 0 ≤ (𝐹‘0))
111 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 (-𝑎 = 0 → (𝐹‘-𝑎) = (𝐹‘0))
112111breq2d 5077 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐹‘-𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐹‘0)))
113112adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → (0 ≤ (𝐹‘-𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐹‘0)))
114110, 113mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) ∧ -𝑎 = 0) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
115 elnn0 11898 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
116115biimpi 218 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑎 ∈ ℕ0 → (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
117116ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (-𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 = 0))
118107, 114, 117mpjaodan 955 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝐹‘-𝑎))
119 negeq 10877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → -𝑥 = -𝑎)
120119fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-𝑎))
1217negeqd 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑎))
122120, 121eqeq12d 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎)))
1236, 122imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))))
124123, 79chvarvv 2001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
125124adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
126125adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
127118, 126breqtrd 5091 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ≤ -(𝐹𝑎))
12840le0neg1d 11210 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑎) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝐹𝑎)))
129127, 128mpbird 259 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 0)
13084adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘0) = 0)
131 nngt0 11667 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → 0 < 𝑏)
132131ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑏)
133 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 𝜑)
13489a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℕ0)
13521ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
136 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → 𝑥 = 0)
137136eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
138 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → 𝑦 = 𝑏)
139138eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑦 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0))
140137, 1393anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0)))
141 breq12 5070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < 𝑏))
14266, 31breqan12d 5081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
143141, 142imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏))))
144140, 143imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑏) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))))
14563, 24, 144, 35vtocl2 3561 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
146133, 134, 135, 145syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (0 < 𝑏 → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏)))
147132, 146mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹‘0) < (𝐹𝑏))
148130, 147eqbrtrrd 5089 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → 0 < (𝐹𝑏))
14940, 41, 49, 129, 148lelttrd 10797 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))
150149a1d 25 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
151150ex 415 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((-𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
152 simp3 1134 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
153 zre 11984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
154153adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
155154ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
156 1red 10641 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℝ)
157 nnre 11644 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℝ)
158157ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
159 0red 10643 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ∈ ℝ)
160 nn0ge0 11921 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑏 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝑏)
161160ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ≤ -𝑏)
162155le0neg1d 11210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑏))
163161, 162mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ≤ 0)
164 0le1 11162 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
165164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 0 ≤ 1)
166155, 159, 156, 163, 165letrd 10796 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ≤ 1)
167 nnge1 11664 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑎)
168167ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 1 ≤ 𝑎)
169155, 156, 158, 166, 168letrd 10796 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏𝑎)
170155, 158lenltd 10785 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑏𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑏))
171169, 170mpbid 234 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝑎 < 𝑏)
1721713adant3 1128 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ¬ 𝑎 < 𝑏)
173152, 172pm2.21dd 197 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))
1741733exp 1115 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℕ ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
175 negex 10883 . . . . . . . . . . . 12 -𝑏 ∈ V
176 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → 𝑥 = -𝑏)
177176eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ -𝑏 ∈ ℕ0))
178 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → 𝑦 = -𝑎)
179178eleq1d 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ -𝑎 ∈ ℕ0))
180177, 1793anbi23d 1435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0)))
181 breq12 5070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -𝑏 < -𝑎))
182 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑏 → (𝐹𝑥) = (𝐹‘-𝑏))
183 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑎 → (𝐹𝑦) = (𝐹‘-𝑎))
184182, 183breqan12d 5081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
185181, 184imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦)) ↔ (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎))))
186180, 185imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = -𝑏𝑦 = -𝑎) → (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))))
187175, 53, 186, 35vtocl2 3561 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
1881873com23 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
1891883expb 1116 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
190189adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → (𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎)))
191 negeq 10877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → -𝑥 = -𝑏)
192191fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → (𝐹‘-𝑥) = (𝐹‘-𝑏))
19344negeqd 10879 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑏 → -(𝐹𝑥) = -(𝐹𝑏))
194192, 193eqeq12d 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏)))
19543, 194imbi12d 347 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑏 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑥) = -(𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))))
196195, 79chvarvv 2001 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏 ∈ ℤ) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
197196adantrl 714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
198197adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹‘-𝑏) = -(𝐹𝑏))
199125adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹‘-𝑎) = -(𝐹𝑎))
200198, 199breq12d 5078 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐹‘-𝑏) < (𝐹‘-𝑎) ↔ -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
201190, 200sylibd 241 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (-𝑏 < -𝑎 → -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
202 zre 11984 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
203202ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
204203adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑎 ∈ ℝ)
205154ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → 𝑏 ∈ ℝ)
206204, 205ltnegd 11217 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 ↔ -𝑏 < -𝑎))
20739adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
20848adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
209207, 208ltnegd 11217 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → ((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ↔ -(𝐹𝑏) < -(𝐹𝑎)))
210201, 206, 2093imtr4d 296 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
211210ex 415 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((-𝑎 ∈ ℕ0 ∧ -𝑏 ∈ ℕ0) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
21238, 151, 174, 211ccased 1033 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 ∈ ℕ ∨ -𝑏 ∈ ℕ0)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏))))
21317, 212mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝐹𝑎) < (𝐹𝑏)))
2141, 2, 3, 4, 11, 213ltord1 11165 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
2152143impb 1111 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   < clt 10674  cle 10675  -cneg 10870  cn 11637  0cn0 11896  cz 11980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981
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