Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reefiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reefiso 24951
 Description: The exponential function on the reals determines an isomorphism from reals onto positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
reefiso (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+)

Proof of Theorem reefiso
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1o 24950 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
2 eflt 15462 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
3 fvres 6685 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
4 fvres 6685 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) = (exp‘𝑦))
53, 4breqan12d 5078 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) < ((exp ↾ ℝ)‘𝑦) ↔ (exp‘𝑥) < (exp‘𝑦)))
62, 5bitr4d 283 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) < ((exp ↾ ℝ)‘𝑦)))
76rgen2a 3233 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) < ((exp ↾ ℝ)‘𝑦))
8 df-isom 6360 . 2 ((exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+) ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) < ((exp ↾ ℝ)‘𝑦))))
91, 7, 8mpbir2an 707 1 (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3142   class class class wbr 5062   ↾ cres 5555  –1-1-onto→wf1o 6350  ‘cfv 6351   Isom wiso 6352  ℝcr 10528   < clt 10667  ℝ+crp 12382  expce 15407 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380 This theorem is referenced by:  efcvx  24952  relogiso  25094
 Copyright terms: Public domain W3C validator