MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logccv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logccv 26171
Description: The natural logarithm function on the reals is a strictly concave function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
logccv (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))

Proof of Theorem logccv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 13016 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
43rpred 13016 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 simpl3 1194 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 < 𝐡)
61rpgt0d 13019 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 0 < 𝐴)
74ltpnfd 13101 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 < +∞)
8 0xr 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
9 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
10 iccssioo 13393 . . . . . . . . . . . 12 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐡 < +∞)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
118, 9, 10mpanl12 701 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝐴 ∧ 𝐡 < +∞) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
126, 7, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
13 ioorp 13402 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1412, 13sseqtrdi 4033 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
1514sselda 3983 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615relogcld 26131 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716renegcld 11641 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817fmpttd 7115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
19 ax-resscn 11167 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
2014resabs1d 6013 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
21 ssid 4005 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
22 cncfss 24415 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
2319, 21, 22mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
24 relogcn 26146 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
2523, 24sselii 3980 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
26 rescncf 24413 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
2714, 25, 26mpisyl 21 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2820, 27eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
29 fvres 6911 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
3029negeqd 11454 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = -(logβ€˜π‘₯))
3130mpteq2ia 5252 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))
3231eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯))
3332negfcncf 24439 . . . . . . 7 ((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
3428, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
35 cncfcdm 24414 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
3619, 34, 35sylancr 588 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
3718, 36mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
38 ioossre 13385 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
39 ltso 11294 . . . . . . . 8 < Or ℝ
40 soss 5609 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or (𝐴(,)𝐡)))
4138, 39, 40mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝐴(,)𝐡)
4241a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Or (𝐴(,)𝐡))
43 ioossicc 13410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4443, 14sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
4544sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4645rprecred 13027 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
4746renegcld 11641 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ ℝ)
4847fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4948frnd 6726 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) βŠ† ℝ)
50 soss 5609 . . . . . . . 8 (ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
5149, 39, 50mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
52 sopo 5608 . . . . . . 7 ( < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) β†’ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
5351, 52syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
54 negex 11458 . . . . . . . . 9 -(1 / π‘₯) ∈ V
55 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))
5654, 55fnmpti 6694 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Fn (𝐴(,)𝐡)
57 dffn4 6812 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
5856, 57mpbi 229 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))
5958a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
6044sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
6160adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
6261rprecred 13027 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
6344sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
6463adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
6564rprecred 13027 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
6662, 65ltnegd 11792 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ ((1 / 𝑧) < (1 / 𝑦) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
6764, 61ltrecd 13034 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ (1 / 𝑧) < (1 / 𝑦)))
68 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑦))
6968negeqd 11454 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ -(1 / π‘₯) = -(1 / 𝑦))
70 negex 11458 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑦) ∈ V
7169, 55, 70fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) = -(1 / 𝑦))
72 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑧))
7372negeqd 11454 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ -(1 / π‘₯) = -(1 / 𝑧))
74 negex 11458 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑧) ∈ V
7573, 55, 74fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) = -(1 / 𝑧))
7671, 75breqan12d 5165 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7776adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7866, 67, 773bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
7978biimpd 228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
8079ralrimivva 3201 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)(𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
81 soisoi 7325 . . . . . 6 ((( < Or (𝐴(,)𝐡) ∧ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ∧ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)(𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
8242, 53, 59, 80, 81syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
83 reelprrecn 11202 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8483a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
85 relogcl 26084 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8685adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8786recnd 11242 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8887negcld 11558 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8954a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ V)
90 ovexd 7444 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
91 relogf1o 26075 . . . . . . . . . . . . 13 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
92 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . 13 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9493feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)))
95 fvres 6911 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
9695mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))
9794, 96eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
9897oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
99 dvrelog 26145 . . . . . . . . 9 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
10098, 99eqtr3di 2788 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
10184, 87, 90, 100dvmptneg 25483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / π‘₯)))
102 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
103102tgioo2 24319 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
104 iccntr 24337 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1052, 4, 104syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
10684, 88, 89, 101, 14, 103, 102, 105dvmptres2 25479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
107 isoeq1 7314 . . . . . 6 ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))))
108106, 107syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))))
10982, 108mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
110 simpr 486 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0(,)1))
111 eqid 2733 . . . 4 ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))
1122, 4, 5, 37, 109, 110, 111dvcvx 25537 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))))
113 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
114 elioore 13354 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0(,)1) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
115114adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
116115recnd 11242 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
117 nncan 11489 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
118113, 116, 117sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
119118oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) = (𝑇 Β· 𝐴))
120119oveq1d 7424 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)))
121 ioossicc 13410 . . . . . . . 8 (0(,)1) βŠ† (0[,]1)
122121, 110sselid 3981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0[,]1))
123 iirev 24445 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
124122, 123syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
125 lincmb01cmp 13472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
1262, 4, 5, 124, 125syl31anc 1374 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
127120, 126eqeltrrd 2835 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
128 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
129128negeqd 11454 . . . . 5 (π‘₯ = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
130 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))
131 negex 11458 . . . . 5 -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ∈ V
132129, 130, 131fvmpt 6999 . . . 4 (((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
133127, 132syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
1341rpxrd 13017 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1353rpxrd 13017 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1362, 4, 5ltled 11362 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
137 lbicc2 13441 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
138134, 135, 136, 137syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
139 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΄))
140139negeqd 11454 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π΄))
141 negex 11458 . . . . . . . . 9 -(logβ€˜π΄) ∈ V
142140, 130, 141fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄) = -(logβ€˜π΄))
143138, 142syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄) = -(logβ€˜π΄))
144143oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) = (𝑇 Β· -(logβ€˜π΄)))
1451relogcld 26131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
146145recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
147116, 146mulneg2d 11668 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· -(logβ€˜π΄)) = -(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)))
148144, 147eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) = -(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)))
149 ubicc2 13442 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
150134, 135, 136, 149syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
151 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΅))
152151negeqd 11454 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π΅))
153 negex 11458 . . . . . . . . 9 -(logβ€˜π΅) ∈ V
154152, 130, 153fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅) = -(logβ€˜π΅))
155150, 154syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅) = -(logβ€˜π΅))
156155oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· -(logβ€˜π΅)))
157 1re 11214 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
158 resubcl 11524 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
159157, 115, 158sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
160159recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
1613relogcld 26131 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΅) ∈ ℝ)
162161recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΅) ∈ β„‚)
163160, 162mulneg2d 11668 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· -(logβ€˜π΅)) = -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))
164156, 163eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅)) = -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))
165148, 164oveq12d 7427 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))) = (-(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
166115, 145remulcld 11244 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
167166recnd 11242 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
168159, 161remulcld 11244 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
169168recnd 11242 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
170167, 169negdid 11584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) = (-(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
171165, 170eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))) = -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
172112, 133, 1713brtr3d 5180 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
173166, 168readdcld 11243 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
17414, 127sseldd 3984 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
175174relogcld 26131 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
176173, 175ltnegd 11792 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ↔ -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))))
177172, 176mpbird 257 1 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Po wpo 5587   Or wor 5588  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  amgmlem  26494  amgmwlem  47897
  Copyright terms: Public domain W3C validator