MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logccv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logccv 26584
Description: The natural logarithm function on the reals is a strictly concave function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
logccv (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))

Proof of Theorem logccv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 13040 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
43rpred 13040 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 < 𝐡)
61rpgt0d 13043 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 0 < 𝐴)
74ltpnfd 13125 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 < +∞)
8 0xr 11283 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
9 pnfxr 11290 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
10 iccssioo 13417 . . . . . . . . . . . 12 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐡 < +∞)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
118, 9, 10mpanl12 701 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝐴 ∧ 𝐡 < +∞) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
126, 7, 11syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
13 ioorp 13426 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1412, 13sseqtrdi 4028 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
1514sselda 3978 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615relogcld 26544 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716renegcld 11663 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817fmpttd 7119 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
19 ax-resscn 11187 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
2014resabs1d 6010 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
21 ssid 4000 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
22 cncfss 24806 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
2319, 21, 22mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
24 relogcn 26559 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
2523, 24sselii 3975 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
26 rescncf 24804 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
2714, 25, 26mpisyl 21 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2820, 27eqeltrrd 2829 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
29 fvres 6910 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
3029negeqd 11476 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = -(logβ€˜π‘₯))
3130mpteq2ia 5245 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))
3231eqcomi 2736 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯))
3332negfcncf 24831 . . . . . . 7 ((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
3428, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
35 cncfcdm 24805 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
3619, 34, 35sylancr 586 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
3718, 36mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
38 ioossre 13409 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
39 ltso 11316 . . . . . . . 8 < Or ℝ
40 soss 5604 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or (𝐴(,)𝐡)))
4138, 39, 40mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝐴(,)𝐡)
4241a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Or (𝐴(,)𝐡))
43 ioossicc 13434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4443, 14sstrid 3989 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
4544sselda 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4645rprecred 13051 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
4746renegcld 11663 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ ℝ)
4847fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4948frnd 6724 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) βŠ† ℝ)
50 soss 5604 . . . . . . . 8 (ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
5149, 39, 50mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
52 sopo 5603 . . . . . . 7 ( < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) β†’ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
5351, 52syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
54 negex 11480 . . . . . . . . 9 -(1 / π‘₯) ∈ V
55 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))
5654, 55fnmpti 6692 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Fn (𝐴(,)𝐡)
57 dffn4 6811 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
5856, 57mpbi 229 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))
5958a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
6044sselda 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
6160adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
6261rprecred 13051 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
6344sselda 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
6463adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
6564rprecred 13051 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
6662, 65ltnegd 11814 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ ((1 / 𝑧) < (1 / 𝑦) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
6764, 61ltrecd 13058 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ (1 / 𝑧) < (1 / 𝑦)))
68 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑦))
6968negeqd 11476 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ -(1 / π‘₯) = -(1 / 𝑦))
70 negex 11480 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑦) ∈ V
7169, 55, 70fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) = -(1 / 𝑦))
72 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑧))
7372negeqd 11476 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ -(1 / π‘₯) = -(1 / 𝑧))
74 negex 11480 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑧) ∈ V
7573, 55, 74fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) = -(1 / 𝑧))
7671, 75breqan12d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7776adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7866, 67, 773bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
7978biimpd 228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
8079ralrimivva 3195 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)(𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
81 soisoi 7330 . . . . . 6 ((( < Or (𝐴(,)𝐡) ∧ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ∧ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)(𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
8242, 53, 59, 80, 81syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
83 reelprrecn 11222 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8483a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
85 relogcl 26496 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8786recnd 11264 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8887negcld 11580 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8954a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ V)
90 ovexd 7449 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
91 relogf1o 26487 . . . . . . . . . . . . 13 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
92 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . 13 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9493feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)))
95 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
9695mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))
9794, 96eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
9897oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
99 dvrelog 26558 . . . . . . . . 9 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
10098, 99eqtr3di 2782 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
10184, 87, 90, 100dvmptneg 25885 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / π‘₯)))
102 eqid 2727 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
103102tgioo2 24706 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
104 iccntr 24724 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1052, 4, 104syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
10684, 88, 89, 101, 14, 103, 102, 105dvmptres2 25881 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
107 isoeq1 7319 . . . . . 6 ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))))
108106, 107syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))))
10982, 108mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
110 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0(,)1))
111 eqid 2727 . . . 4 ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))
1122, 4, 5, 37, 109, 110, 111dvcvx 25940 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))))
113 ax-1cn 11188 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
114 elioore 13378 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0(,)1) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
115114adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
116115recnd 11264 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
117 nncan 11511 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
118113, 116, 117sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
119118oveq1d 7429 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) = (𝑇 Β· 𝐴))
120119oveq1d 7429 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)))
121 ioossicc 13434 . . . . . . . 8 (0(,)1) βŠ† (0[,]1)
122121, 110sselid 3976 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0[,]1))
123 iirev 24837 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
124122, 123syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
125 lincmb01cmp 13496 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
1262, 4, 5, 124, 125syl31anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
127120, 126eqeltrrd 2829 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
128 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
129128negeqd 11476 . . . . 5 (π‘₯ = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
130 eqid 2727 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))
131 negex 11480 . . . . 5 -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ∈ V
132129, 130, 131fvmpt 6999 . . . 4 (((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
133127, 132syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
1341rpxrd 13041 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1353rpxrd 13041 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1362, 4, 5ltled 11384 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
137 lbicc2 13465 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
138134, 135, 136, 137syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
139 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΄))
140139negeqd 11476 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π΄))
141 negex 11480 . . . . . . . . 9 -(logβ€˜π΄) ∈ V
142140, 130, 141fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄) = -(logβ€˜π΄))
143138, 142syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄) = -(logβ€˜π΄))
144143oveq2d 7430 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) = (𝑇 Β· -(logβ€˜π΄)))
1451relogcld 26544 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
146145recnd 11264 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
147116, 146mulneg2d 11690 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· -(logβ€˜π΄)) = -(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)))
148144, 147eqtrd 2767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) = -(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)))
149 ubicc2 13466 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
150134, 135, 136, 149syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
151 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΅))
152151negeqd 11476 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π΅))
153 negex 11480 . . . . . . . . 9 -(logβ€˜π΅) ∈ V
154152, 130, 153fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅) = -(logβ€˜π΅))
155150, 154syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅) = -(logβ€˜π΅))
156155oveq2d 7430 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· -(logβ€˜π΅)))
157 1re 11236 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
158 resubcl 11546 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
159157, 115, 158sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
160159recnd 11264 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
1613relogcld 26544 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΅) ∈ ℝ)
162161recnd 11264 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΅) ∈ β„‚)
163160, 162mulneg2d 11690 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· -(logβ€˜π΅)) = -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))
164156, 163eqtrd 2767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅)) = -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))
165148, 164oveq12d 7432 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))) = (-(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
166115, 145remulcld 11266 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
167166recnd 11264 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
168159, 161remulcld 11266 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
169168recnd 11264 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
170167, 169negdid 11606 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) = (-(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
171165, 170eqtr4d 2770 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))) = -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
172112, 133, 1713brtr3d 5173 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
173166, 168readdcld 11265 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
17414, 127sseldd 3979 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
175174relogcld 26544 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
176173, 175ltnegd 11814 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ↔ -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))))
177172, 176mpbird 257 1 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Po wpo 5582   Or wor 5583  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  β„+crp 12998  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  TopOpenctopn 17394  topGenctg 17410  β„‚fldccnfld 21266  intcnt 22908  β€“cnβ†’ccncf 24783   D cdv 25779  logclog 26475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477
This theorem is referenced by:  amgmlem  26909  amgmwlem  48158
  Copyright terms: Public domain W3C validator