MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logccv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logccv 26720
Description: The natural logarithm function on the reals is a strictly concave function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
logccv (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) < (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))

Proof of Theorem logccv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 13075 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpred 13075 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 simpl3 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 𝐵)
61rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝐴)
74ltpnfd 13161 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 < +∞)
8 0xr 11306 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
9 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
10 iccssioo 13453 . . . . . . . . . . . 12 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴𝐵 < +∞)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0(,)+∞))
118, 9, 10mpanl12 702 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝐴𝐵 < +∞) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0(,)+∞))
126, 7, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0(,)+∞))
13 ioorp 13462 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1412, 13sseqtrdi 4046 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
1514sselda 3995 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1615relogcld 26680 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
1716renegcld 11688 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(log‘𝑥) ∈ ℝ)
1817fmpttd 7135 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19 ax-resscn 11210 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
2014resabs1d 6028 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((log ↾ ℝ+) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (log ↾ (𝐴[,]𝐵)))
21 ssid 4018 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
22 cncfss 24939 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
2319, 21, 22mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
24 relogcn 26695 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
2523, 24sselii 3992 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ)
26 rescncf 24937 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ) → ((log ↾ ℝ+) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
2714, 25, 26mpisyl 21 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((log ↾ ℝ+) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2820, 27eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
29 fvres 6926 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = (log‘𝑥))
3029negeqd 11500 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → -((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
3130mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))
3231eqcomi 2744 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥))
3332negfcncf 24964 . . . . . . 7 ((log ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
3428, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
35 cncfcdm 24938 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
3619, 34, 35sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
3718, 36mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
38 ioossre 13445 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
39 ltso 11339 . . . . . . . 8 < Or ℝ
40 soss 5617 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝐴(,)𝐵)))
4138, 39, 40mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝐴(,)𝐵)
4241a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → < Or (𝐴(,)𝐵))
43 ioossicc 13470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4443, 14sstrid 4007 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
4544sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4645rprecred 13086 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
4746renegcld 11688 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 𝑥) ∈ ℝ)
4847fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4948frnd 6745 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ⊆ ℝ)
50 soss 5617 . . . . . . . 8 (ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
5149, 39, 50mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → < Or ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
52 sopo 5616 . . . . . . 7 ( < Or ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) → < Po ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
5351, 52syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → < Po ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
54 negex 11504 . . . . . . . . 9 -(1 / 𝑥) ∈ V
55 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))
5654, 55fnmpti 6712 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Fn (𝐴(,)𝐵)
57 dffn4 6827 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Fn (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
5856, 57mpbi 230 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))
5958a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
6044sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
6160adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ+)
6261rprecred 13086 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
6344sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6463adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6564rprecred 13086 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
6662, 65ltnegd 11839 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ((1 / 𝑧) < (1 / 𝑦) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
6764, 61ltrecd 13093 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (1 / 𝑧) < (1 / 𝑦)))
68 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑦))
6968negeqd 11500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → -(1 / 𝑥) = -(1 / 𝑦))
70 negex 11504 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑦) ∈ V
7169, 55, 70fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) = -(1 / 𝑦))
72 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑧))
7372negeqd 11500 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → -(1 / 𝑥) = -(1 / 𝑧))
74 negex 11504 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑧) ∈ V
7573, 55, 74fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧) = -(1 / 𝑧))
7671, 75breqan12d 5164 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7776adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7866, 67, 773bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 < 𝑧 ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))
7978biimpd 229 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 < 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))
8079ralrimivva 3200 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑦 < 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))
81 soisoi 7348 . . . . . 6 ((( < Or (𝐴(,)𝐵) ∧ < Po ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))) ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑦 < 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
8242, 53, 59, 80, 81syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
83 reelprrecn 11245 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8483a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
85 relogcl 26632 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
8786recnd 11287 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
8887negcld 11605 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑥) ∈ ℂ)
8954a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
90 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ V)
91 relogf1o 26623 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
92 f1of 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9493feqmptd 6977 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
95 fvres 6926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
9695mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
9794, 96eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
9897oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
99 dvrelog 26694 . . . . . . . . 9 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
10098, 99eqtr3di 2790 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
10184, 87, 90, 100dvmptneg 26019 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 𝑥)))
102 eqid 2735 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
103102tgioo2 24839 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
104 iccntr 24857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1052, 4, 104syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
10684, 88, 89, 101, 14, 103, 102, 105dvmptres2 26015 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
107 isoeq1 7337 . . . . . 6 ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))))
108106, 107syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))))
10982, 108mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
110 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0(,)1))
111 eqid 2735 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
1122, 4, 5, 37, 109, 110, 111dvcvx 26074 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵))))
113 ax-1cn 11211 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
114 elioore 13414 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
115114adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
116115recnd 11287 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
117 nncan 11536 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
118113, 116, 117sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
119118oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) = (𝑇 · 𝐴))
120119oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
121 ioossicc 13470 . . . . . . . 8 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
122121, 110sselid 3993 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
123 iirev 24970 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
124122, 123syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
125 lincmb01cmp 13532 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
1262, 4, 5, 124, 125syl31anc 1372 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
127120, 126eqeltrrd 2840 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
128 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) → (log‘𝑥) = (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
129128negeqd 11500 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) → -(log‘𝑥) = -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
130 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))
131 negex 11504 . . . . 5 -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) ∈ V
132129, 130, 131fvmpt 7016 . . . 4 (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
133127, 132syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
1341rpxrd 13076 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1353rpxrd 13076 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1362, 4, 5ltled 11407 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴𝐵)
137 lbicc2 13501 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
138134, 135, 136, 137syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
139 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
140139negeqd 11500 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝐴))
141 negex 11504 . . . . . . . . 9 -(log‘𝐴) ∈ V
142140, 130, 141fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴) = -(log‘𝐴))
143138, 142syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴) = -(log‘𝐴))
144143oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) = (𝑇 · -(log‘𝐴)))
1451relogcld 26680 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
146145recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
147116, 146mulneg2d 11715 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · -(log‘𝐴)) = -(𝑇 · (log‘𝐴)))
148144, 147eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) = -(𝑇 · (log‘𝐴)))
149 ubicc2 13502 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150134, 135, 136, 149syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
151 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
152151negeqd 11500 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝐵))
153 negex 11504 . . . . . . . . 9 -(log‘𝐵) ∈ V
154152, 130, 153fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵) = -(log‘𝐵))
155150, 154syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵) = -(log‘𝐵))
156155oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵)) = ((1 − 𝑇) · -(log‘𝐵)))
157 1re 11259 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
158 resubcl 11571 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
159157, 115, 158sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
160159recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
1613relogcld 26680 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
162161recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
163160, 162mulneg2d 11715 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · -(log‘𝐵)) = -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)))
164156, 163eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵)) = -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)))
165148, 164oveq12d 7449 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵))) = (-(𝑇 · (log‘𝐴)) + -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
166115, 145remulcld 11289 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
167166recnd 11287 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
168159, 161remulcld 11289 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
169168recnd 11287 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
170167, 169negdid 11631 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) = (-(𝑇 · (log‘𝐴)) + -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
171165, 170eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵))) = -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
172112, 133, 1713brtr3d 5179 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
173166, 168readdcld 11288 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) ∈ ℝ)
17414, 127sseldd 3996 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
175174relogcld 26680 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) ∈ ℝ)
176173, 175ltnegd 11839 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) < (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) ↔ -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)))))
177172, 176mpbird 257 1 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) < (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Po wpo 5595   Or wor 5596  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  intcnt 23041  cnccncf 24916   D cdv 25913  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  amgmlem  27048  amgmwlem  49033
  Copyright terms: Public domain W3C validator