MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logccv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logccv 26395
Description: The natural logarithm function on the reals is a strictly concave function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
logccv (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))

Proof of Theorem logccv
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 13020 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl2 1192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
43rpred 13020 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 < 𝐡)
61rpgt0d 13023 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 0 < 𝐴)
74ltpnfd 13105 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 < +∞)
8 0xr 11265 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
9 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
10 iccssioo 13397 . . . . . . . . . . . 12 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐡 < +∞)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
118, 9, 10mpanl12 700 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝐴 ∧ 𝐡 < +∞) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
126, 7, 11syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (0(,)+∞))
13 ioorp 13406 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1412, 13sseqtrdi 4032 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+)
1514sselda 3982 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615relogcld 26355 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1716renegcld 11645 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817fmpttd 7116 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
19 ax-resscn 11169 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
2014resabs1d 6012 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
21 ssid 4004 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
22 cncfss 24639 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
2319, 21, 22mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
24 relogcn 26370 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
2523, 24sselii 3979 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
26 rescncf 24637 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)))
2714, 25, 26mpisyl 21 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((log β†Ύ ℝ+) β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2820, 27eqeltrrd 2834 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
29 fvres 6910 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
3029negeqd 11458 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯) = -(logβ€˜π‘₯))
3130mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))
3231eqcomi 2741 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π‘₯))
3332negfcncf 24663 . . . . . . 7 ((log β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
3428, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
35 cncfcdm 24638 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
3619, 34, 35sylancr 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)):(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„))
3718, 36mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
38 ioossre 13389 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
39 ltso 11298 . . . . . . . 8 < Or ℝ
40 soss 5608 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or (𝐴(,)𝐡)))
4138, 39, 40mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝐴(,)𝐡)
4241a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Or (𝐴(,)𝐡))
43 ioossicc 13414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4443, 14sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ+)
4544sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4645rprecred 13031 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
4746renegcld 11645 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ ℝ)
4847fmpttd 7116 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4948frnd 6725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) βŠ† ℝ)
50 soss 5608 . . . . . . . 8 (ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
5149, 39, 50mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
52 sopo 5607 . . . . . . 7 ( < Or ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) β†’ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
5351, 52syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
54 negex 11462 . . . . . . . . 9 -(1 / π‘₯) ∈ V
55 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))
5654, 55fnmpti 6693 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Fn (𝐴(,)𝐡)
57 dffn4 6811 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
5856, 57mpbi 229 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))
5958a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
6044sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
6160adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
6261rprecred 13031 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
6344sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
6463adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
6564rprecred 13031 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
6662, 65ltnegd 11796 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ ((1 / 𝑧) < (1 / 𝑦) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
6764, 61ltrecd 13038 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ (1 / 𝑧) < (1 / 𝑦)))
68 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑦))
6968negeqd 11458 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ -(1 / π‘₯) = -(1 / 𝑦))
70 negex 11462 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑦) ∈ V
7169, 55, 70fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) = -(1 / 𝑦))
72 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (1 / π‘₯) = (1 / 𝑧))
7372negeqd 11458 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ -(1 / π‘₯) = -(1 / 𝑧))
74 negex 11462 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑧) ∈ V
7573, 55, 74fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) = -(1 / 𝑧))
7671, 75breqan12d 5164 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7776adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7866, 67, 773bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
7978biimpd 228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))) β†’ (𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
8079ralrimivva 3200 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)(𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))
81 soisoi 7327 . . . . . 6 ((( < Or (𝐴(,)𝐡) ∧ < Po ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ∧ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)):(𝐴(,)𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)(𝑦 < 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘¦) < ((π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))β€˜π‘§)))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
8242, 53, 59, 80, 81syl22anc 837 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
83 reelprrecn 11204 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
8483a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
85 relogcl 26308 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8685adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8786recnd 11246 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8887negcld 11562 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8954a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ -(1 / π‘₯) ∈ V)
90 ovexd 7446 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ V)
91 relogf1o 26299 . . . . . . . . . . . . 13 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
92 f1of 6833 . . . . . . . . . . . . 13 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
9493feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)))
95 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
9695mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))
9794, 96eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)))
9897oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))))
99 dvrelog 26369 . . . . . . . . 9 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯))
10098, 99eqtr3di 2787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / π‘₯)))
10184, 87, 90, 100dvmptneg 25707 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ -(1 / π‘₯)))
102 eqid 2732 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
103102tgioo2 24539 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
104 iccntr 24557 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
1052, 4, 104syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
10684, 88, 89, 101, 14, 103, 102, 105dvmptres2 25703 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))
107 isoeq1 7316 . . . . . 6 ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))))
108106, 107syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯)))))
10982, 108mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐡), ran (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ -(1 / π‘₯))))
110 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0(,)1))
111 eqid 2732 . . . 4 ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))
1122, 4, 5, 37, 109, 110, 111dvcvx 25761 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))))
113 ax-1cn 11170 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
114 elioore 13358 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0(,)1) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
115114adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
116115recnd 11246 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
117 nncan 11493 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
118113, 116, 117sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) = 𝑇)
119118oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) = (𝑇 Β· 𝐴))
120119oveq1d 7426 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)))
121 ioossicc 13414 . . . . . . . 8 (0(,)1) βŠ† (0[,]1)
122121, 110sselid 3980 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑇 ∈ (0[,]1))
123 iirev 24669 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
124122, 123syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1))
125 lincmb01cmp 13476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ (0[,]1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
1262, 4, 5, 124, 125syl31anc 1373 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((1 βˆ’ (1 βˆ’ 𝑇)) Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
127120, 126eqeltrrd 2834 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡))
128 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
129128negeqd 11458 . . . . 5 (π‘₯ = ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
130 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))
131 negex 11462 . . . . 5 -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ∈ V
132129, 130, 131fvmpt 6998 . . . 4 (((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
133127, 132syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) = -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
1341rpxrd 13021 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
1353rpxrd 13021 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
1362, 4, 5ltled 11366 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
137 lbicc2 13445 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
138134, 135, 136, 137syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
139 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΄))
140139negeqd 11458 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π΄))
141 negex 11462 . . . . . . . . 9 -(logβ€˜π΄) ∈ V
142140, 130, 141fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄) = -(logβ€˜π΄))
143138, 142syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄) = -(logβ€˜π΄))
144143oveq2d 7427 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) = (𝑇 Β· -(logβ€˜π΄)))
1451relogcld 26355 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ ℝ)
146145recnd 11246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
147116, 146mulneg2d 11672 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· -(logβ€˜π΄)) = -(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)))
148144, 147eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) = -(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)))
149 ubicc2 13446 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
150134, 135, 136, 149syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
151 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (logβ€˜π‘₯) = (logβ€˜π΅))
152151negeqd 11458 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ -(logβ€˜π‘₯) = -(logβ€˜π΅))
153 negex 11462 . . . . . . . . 9 -(logβ€˜π΅) ∈ V
154152, 130, 153fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅) = -(logβ€˜π΅))
155150, 154syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅) = -(logβ€˜π΅))
156155oveq2d 7427 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅)) = ((1 βˆ’ 𝑇) Β· -(logβ€˜π΅)))
157 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
158 resubcl 11528 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
159157, 115, 158sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ ℝ)
160159recnd 11246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (1 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
1613relogcld 26355 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΅) ∈ ℝ)
162161recnd 11246 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜π΅) ∈ β„‚)
163160, 162mulneg2d 11672 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· -(logβ€˜π΅)) = -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))
164156, 163eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅)) = -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))
165148, 164oveq12d 7429 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))) = (-(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
166115, 145remulcld 11248 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
167166recnd 11246 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
168159, 161remulcld 11248 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
169168recnd 11246 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
170167, 169negdid 11588 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) = (-(𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + -((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
171165, 170eqtr4d 2775 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· ((π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ -(logβ€˜π‘₯))β€˜π΅))) = -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
172112, 133, 1713brtr3d 5179 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))))
173166, 168readdcld 11247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) ∈ ℝ)
17414, 127sseldd 3983 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡)) ∈ ℝ+)
175174relogcld 26355 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ∈ ℝ)
176173, 175ltnegd 11796 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ (((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) ↔ -(logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))) < -((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅)))))
177172, 176mpbird 256 1 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐡) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) β†’ ((𝑇 Β· (logβ€˜π΄)) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· (logβ€˜π΅))) < (logβ€˜((𝑇 Β· 𝐴) + ((1 βˆ’ 𝑇) Β· 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Po wpo 5586   Or wor 5587  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  intcnt 22741  β€“cnβ†’ccncf 24616   D cdv 25604  logclog 26287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289
This theorem is referenced by:  amgmlem  26718  amgmwlem  47937
  Copyright terms: Public domain W3C validator