Theorem logltb 24783

Description: The natural logarithm function on positive reals is strictly monotonic. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
logltb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))

Proof of Theorem logltb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogiso 24781	. . . . 5 ⊢ (log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ)
2		df-isom 6144	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ) ↔ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))))
3	1, 2	mpbi 222	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
4	3	simpri 481	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))
5		breq1 4889	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦))
6		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = ((log ↾ ℝ+)‘𝐴))
7	6	breq1d 4896	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
8	5, 7	bibi12d 337	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) ↔ (𝐴 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))))
9		breq2 4890	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐵))
10		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))
11	10	breq2d 4898	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵)))
12	9, 11	bibi12d 337	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) ↔ (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))))
13	8, 12	rspc2v 3523	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))))
14	4, 13	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵)))
15		fvres 6465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
16		fvres 6465	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐵) = (log‘𝐵))
17	15, 16	breqan12d 4902	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵) ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))
18	14, 17	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089   class class class wbr 4886   ↾ cres 5357  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135   Isom wiso 6136  ℝcr 10271   < clt 10411  ℝ⁺crp 12137  logclog 24738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740

This theorem is referenced by:  logleb  24786  rplogcl  24787  loggt0b  24815  loglt1b  24817  logblt  24962  cxploglim2  25157  emcllem4  25177  chtub  25389  chpub  25397  chebbnd1lem1  25610  chebbnd1lem2  25611  chebbnd1  25613  pntlemb  25738  pntlemh  25740  ostth3  25779  xrge0iifiso  30579  hgt750lem  31331  reglogltb  38408  reglogleb  38409  regt1loggt0  43338  logblt1b  43366