Theorem logltb 26542

Description: The natural logarithm function on positive reals is strictly monotonic. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
logltb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))

Proof of Theorem logltb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogiso 26540	. . . . 5 ⊢ (log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ)
2		df-isom 6496	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ) ↔ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))))
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
4	3	simpri 485	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))
5		breq1 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦))
6		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = ((log ↾ ℝ+)‘𝐴))
7	6	breq1d 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
8	5, 7	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) ↔ (𝐴 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))))
9		breq2 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐵))
10		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))
11	10	breq2d 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵)))
12	9, 11	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) ↔ (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))))
13	8, 12	rspc2v 3583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))))
14	4, 13	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵)))
15		fvres 6847	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
16		fvres 6847	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐵) = (log‘𝐵))
17	15, 16	breqan12d 5109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵) ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))
18	14, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5093   ↾ cres 5621  –1-1-onto→wf1o 6486  ‘cfv 6487   Isom wiso 6488  ℝcr 11011   < clt 11152  ℝ⁺crp 12896  logclog 26496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13255  df-ioc 13256  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-bc 14216  df-hash 14244  df-shft 14980  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-limsup 15384  df-clim 15401  df-rlim 15402  df-sum 15600  df-ef 15980  df-sin 15982  df-cos 15983  df-pi 15985  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498

This theorem is referenced by:  logleb  26545  rplogcl  26546  loggt0b  26574  loglt1b  26576  logblt  26727  cxploglim2  26922  emcllem4  26942  chtub  27156  chpub  27164  chebbnd1lem1  27413  chebbnd1lem2  27414  chebbnd1  27416  pntlemb  27541  pntlemh  27543  ostth3  27582  xrge0iifiso  33955  hgt750lem  34671  reglogltb  42989  reglogleb  42990  regt1loggt0  48642  logblt1b  48670