Theorem logltb 26077

Description: The natural logarithm function on positive reals is strictly monotonic. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
logltb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))

Proof of Theorem logltb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogiso 26075	. . . . 5 ⊢ (log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ)
2		df-isom 6544	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ ℝ+) Isom < , < (ℝ+, ℝ) ↔ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))))
3	1, 2	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
4	3	simpri 487	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))
5		breq1 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦))
6		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = ((log ↾ ℝ+)‘𝐴))
7	6	breq1d 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
8	5, 7	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) ↔ (𝐴 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦))))
9		breq2 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐵))
10		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))
11	10	breq2d 5156	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵)))
12	9, 11	bibi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) ↔ (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))))
13	8, 12	rspc2v 3620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥 < 𝑦 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) < ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵))))
14	4, 13	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵)))
15		fvres 6900	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐴) = (log‘𝐴))
16		fvres 6900	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝐵) = (log‘𝐵))
17	15, 16	breqan12d 5160	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((log ↾ ℝ+)‘𝐴) < ((log ↾ ℝ+)‘𝐵) ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))
18	14, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (log‘𝐴) < (log‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5144   ↾ cres 5674  –1-1-onto→wf1o 6534  ‘cfv 6535   Isom wiso 6536  ℝcr 11096   < clt 11235  ℝ⁺crp 12961  logclog 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ioc 13316  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-fac 14221  df-bc 14250  df-hash 14278  df-shft 15001  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-limsup 15402  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-ef 15998  df-sin 16000  df-cos 16001  df-pi 16003  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-lp 22609  df-perf 22610  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-haus 22788  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cncf 24363  df-limc 25352  df-dv 25353  df-log 26034

This theorem is referenced by:  logleb  26080  rplogcl  26081  loggt0b  26109  loglt1b  26111  logblt  26256  cxploglim2  26450  emcllem4  26470  chtub  26682  chpub  26690  chebbnd1lem1  26939  chebbnd1lem2  26940  chebbnd1  26942  pntlemb  27067  pntlemh  27069  ostth3  27108  xrge0iifiso  32846  hgt750lem  33594  reglogltb  41500  reglogleb  41501  regt1loggt0  47062  logblt1b  47090