Theorem ltresr2 10720

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵)))

Proof of Theorem ltresr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal2 10711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((1st ‘𝐴) ∈ R ∧ 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩))
2	1	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩)
3		elreal2 10711	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ((1st ‘𝐵) ∈ R ∧ 𝐵 = ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩))
4	3	simprbi 500	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩)
5	2, 4	breqan12d 5055	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩ <ℝ ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩))
6		ltresr 10719	. 2 ⊢ (⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩ <ℝ ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩ ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵))
7	5, 6	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4533   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  1^st c1st 7737  Rcnr 10444  0_Rc0r 10445   <_R cltr 10450  ℝcr 10693   <_ℝ cltrr 10698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-oadd 8184  df-omul 8185  df-er 8369  df-ec 8371  df-qs 8375  df-ni 10451  df-pli 10452  df-mi 10453  df-lti 10454  df-plpq 10487  df-mpq 10488  df-ltpq 10489  df-enq 10490  df-nq 10491  df-erq 10492  df-plq 10493  df-mq 10494  df-1nq 10495  df-rq 10496  df-ltnq 10497  df-np 10560  df-1p 10561  df-enr 10634  df-nr 10635  df-ltr 10638  df-0r 10639  df-r 10704  df-lt 10707

This theorem is referenced by:  axpre-sup  10748