Theorem ltresr2 11099

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵)))

Proof of Theorem ltresr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal2 11090	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((1st ‘𝐴) ∈ R ∧ 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩))
2	1	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩)
3		elreal2 11090	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ((1st ‘𝐵) ∈ R ∧ 𝐵 = ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩))
4	3	simprbi 501	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩)
5	2, 4	breqan12d 5116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩ <ℝ ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩))
6		ltresr 11098	. 2 ⊢ (⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩ <ℝ ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩ ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵))
7	5, 6	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  1^st c1st 7968  Rcnr 10823  0_Rc0r 10824   <_R cltr 10829  ℝcr 11072   <_ℝ cltrr 11077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-ni 10830  df-pli 10831  df-mi 10832  df-lti 10833  df-plpq 10866  df-mpq 10867  df-ltpq 10868  df-enq 10869  df-nq 10870  df-erq 10871  df-plq 10872  df-mq 10873  df-1nq 10874  df-rq 10875  df-ltnq 10876  df-np 10939  df-1p 10940  df-enr 11013  df-nr 11014  df-ltr 11017  df-0r 11018  df-r 11083  df-lt 11086

This theorem is referenced by:  axpre-sup  11127