Theorem ltresr2 11226

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵)))

Proof of Theorem ltresr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal2 11217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((1st ‘𝐴) ∈ R ∧ 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩))
2	1	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩)
3		elreal2 11217	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ((1st ‘𝐵) ∈ R ∧ 𝐵 = ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩))
4	3	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩)
5	2, 4	breqan12d 5119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ ⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩ <ℝ ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩))
6		ltresr 11225	. 2 ⊢ (⟨(1st ‘𝐴), 0R⟩ <ℝ ⟨(1st ‘𝐵), 0R⟩ ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵))
7	5, 6	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 <ℝ 𝐵 ↔ (1st ‘𝐴) <R (1st ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  1^st c1st 7999  Rcnr 10950  0_Rc0r 10951   <_R cltr 10956  ℝcr 11199   <_ℝ cltrr 11204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-ni 10957  df-pli 10958  df-mi 10959  df-lti 10960  df-plpq 10993  df-mpq 10994  df-ltpq 10995  df-enq 10996  df-nq 10997  df-erq 10998  df-plq 10999  df-mq 11000  df-1nq 11001  df-rq 11002  df-ltnq 11003  df-np 11066  df-1p 11067  df-enr 11140  df-nr 11141  df-ltr 11144  df-0r 11145  df-r 11210  df-lt 11213

This theorem is used by:  axpre-sup  11254