MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltresr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltresr2 11084
Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltresr2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1st𝐴) <R (1st𝐵)))

Proof of Theorem ltresr2
StepHypRef Expression
1 elreal2 11075 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((1st𝐴) ∈ R𝐴 = ⟨(1st𝐴), 0R⟩))
21simprbi 498 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), 0R⟩)
3 elreal2 11075 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ ↔ ((1st𝐵) ∈ R𝐵 = ⟨(1st𝐵), 0R⟩))
43simprbi 498 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = ⟨(1st𝐵), 0R⟩)
52, 4breqan12d 5126 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ⟨(1st𝐴), 0R⟩ < ⟨(1st𝐵), 0R⟩))
6 ltresr 11083 . 2 (⟨(1st𝐴), 0R⟩ < ⟨(1st𝐵), 0R⟩ ↔ (1st𝐴) <R (1st𝐵))
75, 6bitrdi 287 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1st𝐴) <R (1st𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cop 4597   class class class wbr 5110  cfv 6501  1st c1st 7924  Rcnr 10808  0Rc0r 10809   <R cltr 10814  cr 11057   < cltrr 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-1p 10925  df-enr 10998  df-nr 10999  df-ltr 11002  df-0r 11003  df-r 11068  df-lt 11071
This theorem is referenced by:  axpre-sup  11112
  Copyright terms: Public domain W3C validator