Theorem leltadd 11726

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
leltadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem leltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltleadd 11725	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐵 < 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
2	1	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
3	2	ancom2s 650	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
4	3	ancom1s 653	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
5		recn 11224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 11224	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7		addcom 11426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
9		recn 11224	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10		recn 11224	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
11		addcom 11426	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
13	8, 12	breqan12d 5140	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
14	4, 13	sylibrd 259	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280

This theorem is referenced by:  lt2add  11727  addgegt0  11729  leltaddd  11864  fldiv  13882  dp2lt10  32863