Theorem xltneg 13194

Description: Extended real version of ltneg 11712. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xltneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xltnegi 13193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
2	1	3expia 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3		xnegcl 13190	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4		xnegcl 13190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5		xltnegi 13193	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴) → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵)
6	5	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
7	3, 4, 6	syl2anr 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
8		xnegneg 13191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
9		xnegneg 13191	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
10	8, 9	breqan12d 5155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
11	7, 10	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → 𝐴 < 𝐵))
12	2, 11	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246  -_𝑒cxne 13087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-xneg 13090

This theorem is referenced by:  xleneg  13195  xlt0neg1  13196  xlt0neg2  13197  xrhmeo  24795