MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xltneg 13223
Description: Extended real version of ltneg 11739. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltneg ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))

Proof of Theorem xltneg
StepHypRef Expression
1 xltnegi 13222 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
213expia 1119 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3 xnegcl 13219 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 13219 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5 xltnegi 13222 . . . . 5 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴) → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵)
653expia 1119 . . . 4 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
73, 4, 6syl2anr 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵))
8 xnegneg 13220 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
9 xnegneg 13220 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐵 = 𝐵)
108, 9breqan12d 5159 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒𝐴 < -𝑒-𝑒𝐵𝐴 < 𝐵))
117, 10sylibd 238 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴𝐴 < 𝐵))
122, 11impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099   class class class wbr 5143  *cxr 11272   < clt 11273  -𝑒cxne 13116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-xneg 13119
This theorem is referenced by:  xleneg  13224  xlt0neg1  13225  xlt0neg2  13226  xrhmeo  24865
  Copyright terms: Public domain W3C validator