Theorem sltneg 27509

Description: Negative of both sides of surreal less-than. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sltneg	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))

Proof of Theorem sltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltnegim 27502	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))
2		negscl 27500	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
3		negscl 27500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
4		sltnegim 27502	. . . 4 ⊢ ((( -us ‘𝐵) ∈ No ∧ ( -us ‘𝐴) ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) <s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
5	2, 3, 4	syl2anr 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) <s ( -us ‘( -us ‘𝐵))))
6		negnegs 27508	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
7		negnegs 27508	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐵)) = 𝐵)
8	6, 7	breqan12d 5164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘( -us ‘𝐴)) <s ( -us ‘( -us ‘𝐵)) ↔ 𝐴 <s 𝐵))
9	5, 8	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
10	1, 9	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541   No csur 27133   <s cslt 27134   -u_s cnegs 27484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-1o 8463  df-2o 8464  df-nadd 8662  df-no 27136  df-slt 27137  df-bday 27138  df-sle 27238  df-sslt 27273  df-scut 27275  df-0s 27315  df-made 27332  df-old 27333  df-left 27335  df-right 27336  df-norec 27412  df-norec2 27423  df-adds 27434  df-negs 27486

This theorem is referenced by:  sleneg  27510  sltnegd  27511  slt0neg2d  27515  sltsub2  27534  mulscan2d  27621  recsex  27655