Theorem erdszelem4 35177

Description: Lemma for erdsze 35185. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13456	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		elfz1end 13457	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
5	4	snssd 4760	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6		elsni 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7		elsni 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
8	6, 7	breqan12d 5108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10		fzssuz 13468	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
11		uzssz 12756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
12		zssre 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℝ
14	10, 13	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℝ
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
17	14, 16	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 11250	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
19	18	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
20	9, 19	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
22		erdsze.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23		f1f 6720	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
26	15	snssd 4760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27		ltso 11196	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
28		soss 5547	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
29	14, 27, 28	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (1...𝑁)
30		erdszelem.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 Or ℝ
31		soisores 7264	. . . . 5 ⊢ ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
32	29, 30, 31	mpanl12 702	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
33	25, 26, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35		snidg 4612	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
36	35	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
38	37	erdszelem1 35174	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
39	5, 34, 36, 38	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   Or wor 5526   ↾ cres 5621   “ cima 5622  ⟶wf 6478  –1-1→wf1 6479  ‘cfv 6482   Isom wiso 6483  (class class class)co 7349  supcsup 9330  ℝcr 11008  1c1 11010   < clt 11149  ℕcn 12128  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  erdszelem5  35178