Theorem erdszelem4 33156

Description: Lemma for erdsze 33164. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13285	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		elfz1end 13286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
4	2, 3	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
5	4	snssd 4742	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6		elsni 4578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7		elsni 4578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
8	6, 7	breqan12d 5090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10		fzssuz 13297	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
11		uzssz 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
12		zssre 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℝ
14	10, 13	sstri 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℝ
15		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
17	14, 16	sselid 3919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 11109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
19	18	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
20	9, 19	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
22		erdsze.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23		f1f 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
26	15	snssd 4742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27		ltso 11055	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
28		soss 5523	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
29	14, 27, 28	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (1...𝑁)
30		erdszelem.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 Or ℝ
31		soisores 7198	. . . . 5 ⊢ ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
32	29, 30, 31	mpanl12 699	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
33	25, 26, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35		snidg 4595	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
36	35	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
38	37	erdszelem1 33153	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
39	5, 34, 36, 38	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   Or wor 5502   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433   Isom wiso 6434  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℝcr 10870  1c1 10872   < clt 11009  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  erdszelem5  33157