Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem4 31718
Description: Lemma for erdsze 31726. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
Assertion
Ref Expression
erdszelem4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 12670 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
21adantl 475 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 elfz1end 12671 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
42, 3sylib 210 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
54snssd 4560 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6 elsni 4416 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7 elsni 4416 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
86, 7breqan12d 4891 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐴))
98adantl 475 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐴))
10 fzssuz 12682 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
11 uzssz 11995 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
12 zssre 11718 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3836 . . . . . . . . 9 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
1410, 13sstri 3836 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℝ
15 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1615adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1714, 16sseldi 3825 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltnrd 10497 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
1918pm2.21d 119 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
209, 19sylbid 232 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
2120ralrimivva 3180 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
22 erdsze.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23 f1f 6342 . . . . . 6 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2524adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2615snssd 4560 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27 ltso 10444 . . . . . 6 < Or ℝ
28 soss 5284 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5 < Or (1...𝑁)
30 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
31 soisores 6837 . . . . 5 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3229, 30, 31mpanl12 693 . . . 4 ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3325, 26, 32syl2anc 579 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3421, 33mpbird 249 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35 snidg 4429 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
3635adantl 475 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37 eqid 2825 . . 3 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
3837erdszelem1 31715 . 2 ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1447 1 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  {crab 3121  wss 3798  𝒫 cpw 4380  {csn 4399   class class class wbr 4875  cmpt 4954   Or wor 5264  cres 5348  cima 5349  wf 6123  1-1wf1 6124  cfv 6127   Isom wiso 6128  (class class class)co 6910  supcsup 8621  cr 10258  1c1 10260   < clt 10398  cn 11357  cz 11711  cuz 11975  ...cfz 12626  chash 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627
This theorem is referenced by:  erdszelem5  31719
  Copyright terms: Public domain W3C validator