Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem4 34254
Description: Lemma for erdsze 34262. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
Assertion
Ref Expression
erdszelem4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 13532 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
21adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
3 elfz1end 13533 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
42, 3sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
54snssd 4812 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} βŠ† (1...𝐴))
6 elsni 4645 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
7 elsni 4645 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} β†’ 𝑦 = 𝐴)
86, 7breqan12d 5164 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
98adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10 fzssuz 13544 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
11 uzssz 12845 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
12 zssre 12567 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† ℝ
1311, 12sstri 3991 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† ℝ
1410, 13sstri 3991 . . . . . . . 8 (1...𝑁) βŠ† ℝ
15 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1714, 16sselid 3980 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltnrd 11350 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ Β¬ 𝐴 < 𝐴)
1918pm2.21d 121 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ (𝐴 < 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦)))
209, 19sylbid 239 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦)))
2120ralrimivva 3200 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦)))
22 erdsze.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23 f1f 6787 . . . . . 6 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
2524adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
2615snssd 4812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} βŠ† (1...𝑁))
27 ltso 11296 . . . . . 6 < Or ℝ
28 soss 5608 . . . . . 6 ((1...𝑁) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or (1...𝑁)))
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5 < Or (1...𝑁)
30 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
31 soisores 7326 . . . . 5 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ {𝐴} βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦))))
3229, 30, 31mpanl12 700 . . . 4 ((𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ {𝐴} βŠ† (1...𝑁)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦))))
3325, 26, 32syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦))))
3421, 33mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})))
35 snidg 4662 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
3635adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
37 eqid 2732 . . 3 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
3837erdszelem1 34251 . 2 ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1343 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„cr 11111  1c1 11113   < clt 11250  β„•cn 12214  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  β™―chash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487
This theorem is referenced by:  erdszelem5  34255
  Copyright terms: Public domain W3C validator