Theorem erdszelem4 35162

Description: Lemma for erdsze 35170. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13613	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		elfz1end 13614	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
5	4	snssd 4834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6		elsni 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7		elsni 4665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
8	6, 7	breqan12d 5182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10		fzssuz 13625	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
11		uzssz 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
12		zssre 12646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℝ
14	10, 13	sstri 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℝ
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
17	14, 16	sselid 4006	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 11424	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
19	18	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
20	9, 19	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
22		erdsze.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23		f1f 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
26	15	snssd 4834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27		ltso 11370	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
28		soss 5628	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
29	14, 27, 28	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (1...𝑁)
30		erdszelem.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 Or ℝ
31		soisores 7363	. . . . 5 ⊢ ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
32	29, 30, 31	mpanl12 701	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
33	25, 26, 32	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35		snidg 4682	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
36	35	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37		eqid 2740	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
38	37	erdszelem1 35159	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
39	5, 34, 36, 38	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Or wor 5606   ↾ cres 5702   “ cima 5703  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  ‘cfv 6573   Isom wiso 6574  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183  1c1 11185   < clt 11324  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  erdszelem5  35163