Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem4 35199
Description: Lemma for erdsze 35207. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
Assertion
Ref Expression
erdszelem4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 13593 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
21adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 elfz1end 13594 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
42, 3sylib 218 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
54snssd 4809 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6 elsni 4643 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7 elsni 4643 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
86, 7breqan12d 5159 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐴))
98adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐴))
10 fzssuz 13605 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
11 uzssz 12899 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
12 zssre 12620 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3993 . . . . . . . . 9 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
1410, 13sstri 3993 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℝ
15 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1714, 16sselid 3981 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltnrd 11395 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
1918pm2.21d 121 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
209, 19sylbid 240 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
2120ralrimivva 3202 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
22 erdsze.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23 f1f 6804 . . . . . 6 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2524adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2615snssd 4809 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27 ltso 11341 . . . . . 6 < Or ℝ
28 soss 5612 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5 < Or (1...𝑁)
30 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
31 soisores 7347 . . . . 5 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3229, 30, 31mpanl12 702 . . . 4 ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3325, 26, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3421, 33mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35 snidg 4660 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
3635adantl 481 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37 eqid 2737 . . 3 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
3837erdszelem1 35196 . 2 ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1344 1 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  cres 5687  cima 5688  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561   Isom wiso 6562  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  1c1 11156   < clt 11295  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by:  erdszelem5  35200
  Copyright terms: Public domain W3C validator