Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem4 34123
Description: Lemma for erdsze 34131. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
Assertion
Ref Expression
erdszelem4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 13526 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
21adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3 elfz1end 13527 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
42, 3sylib 217 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
54snssd 4811 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6 elsni 4644 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7 elsni 4644 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
86, 7breqan12d 5163 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐴))
98adantl 483 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦𝐴 < 𝐴))
10 fzssuz 13538 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
11 uzssz 12839 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
12 zssre 12561 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3990 . . . . . . . . 9 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
1410, 13sstri 3990 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ⊆ ℝ
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1615adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1714, 16sselid 3979 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltnrd 11344 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
1918pm2.21d 121 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
209, 19sylbid 239 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
2120ralrimivva 3201 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦)))
22 erdsze.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23 f1f 6784 . . . . . 6 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2524adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
2615snssd 4811 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27 ltso 11290 . . . . . 6 < Or ℝ
28 soss 5607 . . . . . 6 ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5 < Or (1...𝑁)
30 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
31 soisores 7319 . . . . 5 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3229, 30, 31mpanl12 701 . . . 4 ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3325, 26, 32syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹𝑥)𝑂(𝐹𝑦))))
3421, 33mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35 snidg 4661 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
3635adantl 483 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37 eqid 2733 . . 3 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
3837erdszelem1 34120 . 2 ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1344 1 ((𝜑𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  {crab 3433  wss 3947  𝒫 cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5586  cres 5677  cima 5678  wf 6536  1-1wf1 6537  cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7404  supcsup 9431  cr 11105  1c1 11107   < clt 11244  cn 12208  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  erdszelem5  34124
  Copyright terms: Public domain W3C validator