Theorem erdszelem4 31718

Description: Lemma for erdsze 31726. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
erdsze.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o	⊢ 𝑂 Or ℝ

Assertion

Ref	Expression
erdszelem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12670	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		elfz1end 12671	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
4	2, 3	sylib 210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
5	4	snssd 4560	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝐴))
6		elsni 4416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
7		elsni 4416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → 𝑦 = 𝐴)
8	6, 7	breqan12d 4891	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
9	8	adantl 475	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10		fzssuz 12682	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘1)
11		uzssz 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
12		zssre 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3836	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℝ
14	10, 13	sstri 3836	. . . . . . . 8 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℝ
15		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
16	15	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ (1...𝑁))
17	14, 16	sseldi 3825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	ltnrd 10497	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
19	18	pm2.21d 119	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝐴 < 𝐴 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
20	9, 19	sylbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦)))
22		erdsze.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23		f1f 6342	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
25	24	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ)
26	15	snssd 4560	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ⊆ (1...𝑁))
27		ltso 10444	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
28		soss 5284	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑁) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (1...𝑁)))
29	14, 27, 28	mp2 9	. . . . 5 ⊢ < Or (1...𝑁)
30		erdszelem.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 Or ℝ
31		soisores 6837	. . . . 5 ⊢ ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁))) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
32	29, 30, 31	mpanl12 693	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ {𝐴} ⊆ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
33	25, 26, 32	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})))
35		snidg 4429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (1...𝑁) → 𝐴 ∈ {𝐴})
36	35	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ {𝐴})
37		eqid 2825	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
38	37	erdszelem1 31715	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 “ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
39	5, 34, 36, 38	syl3anbrc 1447	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) → {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  {crab 3121   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4380  {csn 4399   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   Or wor 5264   ↾ cres 5348   “ cima 5349  ⟶wf 6123  –1-1→wf1 6124  ‘cfv 6127   Isom wiso 6128  (class class class)co 6910  supcsup 8621  ℝcr 10258  1c1 10260   < clt 10398  ℕcn 11357  ℤcz 11711  ℤ_≥cuz 11975  ...cfz 12626  ♯chash 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627

This theorem is referenced by:  erdszelem5  31719