Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem4 34185
Description: Lemma for erdsze 34193. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
erdsze.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (1...𝑁) ↦ sup((β™― β€œ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...π‘₯) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.o 𝑂 Or ℝ
Assertion
Ref Expression
erdszelem4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem erdszelem4
StepHypRef Expression
1 elfznn 13530 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
21adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
3 elfz1end 13531 . . . 4 (𝐴 ∈ β„• ↔ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
42, 3sylib 217 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
54snssd 4813 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} βŠ† (1...𝐴))
6 elsni 4646 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
7 elsni 4646 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴} β†’ 𝑦 = 𝐴)
86, 7breqan12d 5165 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
98adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ (π‘₯ < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝐴))
10 fzssuz 13542 . . . . . . . . 9 (1...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
11 uzssz 12843 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„€
12 zssre 12565 . . . . . . . . . 10 β„€ βŠ† ℝ
1311, 12sstri 3992 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† ℝ
1410, 13sstri 3992 . . . . . . . 8 (1...𝑁) βŠ† ℝ
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1615adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑁))
1714, 16sselid 3981 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1817ltnrd 11348 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ Β¬ 𝐴 < 𝐴)
1918pm2.21d 121 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ (𝐴 < 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦)))
209, 19sylbid 239 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {𝐴})) β†’ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦)))
2120ralrimivva 3201 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦)))
22 erdsze.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
23 f1f 6788 . . . . . 6 (𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
2524adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„)
2615snssd 4813 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} βŠ† (1...𝑁))
27 ltso 11294 . . . . . 6 < Or ℝ
28 soss 5609 . . . . . 6 ((1...𝑁) βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or (1...𝑁)))
2914, 27, 28mp2 9 . . . . 5 < Or (1...𝑁)
30 erdszelem.o . . . . 5 𝑂 Or ℝ
31 soisores 7324 . . . . 5 ((( < Or (1...𝑁) ∧ 𝑂 Or ℝ) ∧ (𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ {𝐴} βŠ† (1...𝑁))) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦))))
3229, 30, 31mpanl12 701 . . . 4 ((𝐹:(1...𝑁)βŸΆβ„ ∧ {𝐴} βŠ† (1...𝑁)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦))))
3325, 26, 32syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐴} (π‘₯ < 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯)𝑂(πΉβ€˜π‘¦))))
3421, 33mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})))
35 snidg 4663 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
3635adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
37 eqid 2733 . . 3 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
3837erdszelem1 34182 . 2 ({𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ↔ ({𝐴} βŠ† (1...𝐴) ∧ (𝐹 β†Ύ {𝐴}) Isom < , 𝑂 ({𝐴}, (𝐹 β€œ {𝐴})) ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}))
395, 34, 36, 38syl3anbrc 1344 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (1...𝑁)) β†’ {𝐴} ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 β†Ύ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 β€œ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„cr 11109  1c1 11111   < clt 11248  β„•cn 12212  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β™―chash 14290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485
This theorem is referenced by:  erdszelem5  34186
  Copyright terms: Public domain W3C validator