MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1a 12014
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1a (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))

Proof of Theorem lemul1a
StepHypRef Expression
1 0re 11162 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
2 leloe 11246 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
31, 2mpan 689 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
43pm5.32i 576 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
5 lemul1 12012 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
65biimpd 228 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
763expia 1122 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
87com12 32 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
91leidi 11694 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 0
10 recn 11146 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1110mul01d 11359 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
12 recn 11146 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1312mul01d 11359 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
1411, 13breqan12d 5122 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” 0 โ‰ค 0))
159, 14mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0))
16 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยท 0) = (๐ด ยท ๐ถ))
17 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ต ยท 0) = (๐ต ยท ๐ถ))
1816, 17breq12d 5119 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
1915, 18imbitrid 243 . . . . . . . 8 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
2019a1dd 50 . . . . . . 7 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
2120adantl 483 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 = ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
228, 21jaodan 957 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
234, 22sylbi 216 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
2423com12 32 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
25243impia 1118 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
2625imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  lemul2a  12015  ltmul12a  12016  lemul12b  12017  lt2msq1  12044  lemul1ad  12099  faclbnd4lem1  14199  facavg  14207  mulcn2  15484  o1fsum  15703  eftlub  15996  bddmulibl  25219  cxpaddlelem  26120  dchrmusum2  26858  axcontlem7  27961  nmoub3i  29757  siilem1  29835  ubthlem3  29856  bcs2  30166  cnlnadjlem2  31052  leopnmid  31122  eulerpartlemgc  33019  rrntotbnd  36341  jm2.17a  41327
  Copyright terms: Public domain W3C validator