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Theorem lemul1a 11486
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1a (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1a
StepHypRef Expression
1 0re 10635 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
2 leloe 10719 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
31, 2mpan 688 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
43pm5.32i 577 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5 lemul1 11484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
65biimpd 231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
763expia 1115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
87com12 32 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
91leidi 11166 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
10 recn 10619 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1110mul01d 10831 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
12 recn 10619 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
1312mul01d 10831 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
1411, 13breqan12d 5073 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ 0 ≤ 0))
159, 14mpbiri 260 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0))
16 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝐶 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐶))
17 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝐶 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐶))
1816, 17breq12d 5070 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐶 → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
1915, 18syl5ib 246 . . . . . . . 8 (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
2019a1dd 50 . . . . . . 7 (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
2120adantl 484 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 = 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
228, 21jaodan 953 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
234, 22sylbi 219 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
2423com12 32 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
25243impia 1111 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
2625imp 409 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865
This theorem is referenced by:  lemul2a  11487  ltmul12a  11488  lemul12b  11489  lt2msq1  11516  lemul1ad  11571  faclbnd4lem1  13645  facavg  13653  mulcn2  14944  o1fsum  15160  eftlub  15454  bddmulibl  24431  cxpaddlelem  25324  dchrmusum2  26062  axcontlem7  26748  nmoub3i  28542  siilem1  28620  ubthlem3  28641  bcs2  28951  cnlnadjlem2  29837  leopnmid  29907  eulerpartlemgc  31608  rrntotbnd  35096  jm2.17a  39537
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