Theorem lemul1a 12043

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11183	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11267	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
3	1, 2	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
4	3	pm5.32i 574	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5		lemul1 12041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
7	6	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
8	7	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
9	1	leidi 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
10		recn 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
12		recn 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
14	11, 13	breqan12d 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ 0 ≤ 0))
15	9, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0))
16		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐶))
17		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐶))
18	16, 17	breq12d 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
19	15, 18	imbitrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 = 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
22	8, 21	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
23	4, 22	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
24	23	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
25	24	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
26	25	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  lemul2a  12044  ltmul12a  12045  lemul12b  12046  lt2msq1  12074  lemul1ad  12129  faclbnd4lem1  14265  facavg  14273  mulcn2  15569  o1fsum  15786  eftlub  16084  bddmulibl  25747  cxpaddlelem  26668  dchrmusum2  27412  axcontlem7  28904  nmoub3i  30709  siilem1  30787  ubthlem3  30808  bcs2  31118  cnlnadjlem2  32004  leopnmid  32074  eulerpartlemgc  34360  rrntotbnd  37837  jm2.17a  42956