MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1a 12106
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1a (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))

Proof of Theorem lemul1a
StepHypRef Expression
1 0re 11254 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
2 leloe 11338 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
31, 2mpan 688 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
43pm5.32i 573 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
5 lemul1 12104 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
65biimpd 228 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
763expia 1118 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
87com12 32 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
91leidi 11786 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 0
10 recn 11236 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1110mul01d 11451 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
12 recn 11236 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1312mul01d 11451 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
1411, 13breqan12d 5168 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” 0 โ‰ค 0))
159, 14mpbiri 257 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0))
16 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยท 0) = (๐ด ยท ๐ถ))
17 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ต ยท 0) = (๐ต ยท ๐ถ))
1816, 17breq12d 5165 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
1915, 18imbitrid 243 . . . . . . . 8 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
2019a1dd 50 . . . . . . 7 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 = ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
228, 21jaodan 955 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
234, 22sylbi 216 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
2423com12 32 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
25243impia 1114 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
2625imp 405 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485
This theorem is referenced by:  lemul2a  12107  ltmul12a  12108  lemul12b  12109  lt2msq1  12136  lemul1ad  12191  faclbnd4lem1  14292  facavg  14300  mulcn2  15580  o1fsum  15799  eftlub  16093  bddmulibl  25788  cxpaddlelem  26706  dchrmusum2  27447  axcontlem7  28801  nmoub3i  30603  siilem1  30681  ubthlem3  30702  bcs2  31012  cnlnadjlem2  31898  leopnmid  31968  eulerpartlemgc  34015  rrntotbnd  37342  jm2.17a  42412
  Copyright terms: Public domain W3C validator