Theorem lemul1a 11984

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11123	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11208	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
3	1, 2	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
4	3	pm5.32i 574	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5		lemul1 11982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
6	5	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
7	6	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
8	7	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
9	1	leidi 11660	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
10		recn 11105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
12		recn 11105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
14	11, 13	breqan12d 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ 0 ≤ 0))
15	9, 14	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0))
16		oveq2 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐶))
17		oveq2 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐶))
18	16, 17	breq12d 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
19	15, 18	imbitrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 = 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
22	8, 21	jaodan 959	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
23	4, 22	sylbi 217	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
24	23	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
25	24	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
26	25	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7354  ℝcr 11014  0cc0 11015   · cmul 11020   < clt 11155   ≤ cle 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  lemul2a  11985  ltmul12a  11986  lemul12b  11987  lt2msq1  12015  lemul1ad  12070  faclbnd4lem1  14204  facavg  14212  mulcn2  15507  o1fsum  15724  eftlub  16022  bddmulibl  25770  cxpaddlelem  26691  dchrmusum2  27435  axcontlem7  28952  nmoub3i  30757  siilem1  30835  ubthlem3  30856  bcs2  31166  cnlnadjlem2  32052  leopnmid  32122  eulerpartlemgc  34398  rrntotbnd  37899  jm2.17a  43080