MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1a 12069
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1a (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))

Proof of Theorem lemul1a
StepHypRef Expression
1 0re 11217 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
2 leloe 11301 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
31, 2mpan 687 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ถ โ†” (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
43pm5.32i 574 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)))
5 lemul1 12067 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
65biimpd 228 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
763expia 1118 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
87com12 32 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
91leidi 11749 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 0
10 recn 11199 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1110mul01d 11414 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
12 recn 11199 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1312mul01d 11414 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
1411, 13breqan12d 5157 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” 0 โ‰ค 0))
159, 14mpbiri 258 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0))
16 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ด ยท 0) = (๐ด ยท ๐ถ))
17 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ถ โ†’ (๐ต ยท 0) = (๐ต ยท ๐ถ))
1816, 17breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท 0) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
1915, 18imbitrid 243 . . . . . . . 8 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
2019a1dd 50 . . . . . . 7 (0 = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 = ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
228, 21jaodan 954 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (0 < ๐ถ โˆจ 0 = ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
234, 22sylbi 216 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
2423com12 32 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))))
25243impia 1114 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
2625imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448
This theorem is referenced by:  lemul2a  12070  ltmul12a  12071  lemul12b  12072  lt2msq1  12099  lemul1ad  12154  faclbnd4lem1  14255  facavg  14263  mulcn2  15543  o1fsum  15762  eftlub  16056  bddmulibl  25718  cxpaddlelem  26636  dchrmusum2  27377  axcontlem7  28731  nmoub3i  30530  siilem1  30608  ubthlem3  30629  bcs2  30939  cnlnadjlem2  31825  leopnmid  31895  eulerpartlemgc  33890  rrntotbnd  37216  jm2.17a  42259
  Copyright terms: Public domain W3C validator