Theorem lemul1a 12042

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11180	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11266	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
3	1, 2	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
4	3	pm5.32i 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5		lemul1 12040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
6	5	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
7	6	3expia 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
8	7	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
9	1	leidi 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
10		recn 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
12		recn 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
14	11, 13	breqan12d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ 0 ≤ 0))
15	9, 14	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0))
16		oveq2 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐶))
17		oveq2 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐶))
18	16, 17	breq12d 5112	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
19	15, 18	imbitrid 246	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
21	20	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 = 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
22	8, 21	jaodan 970	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
23	4, 22	sylbi 219	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
24	23	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
25	24	3impia 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
26	25	imp 410	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414

This theorem is referenced by:  lemul2a  12043  ltmul12a  12044  lemul12b  12045  lt2msq1  12073  lemul1ad  12128  faclbnd4lem1  14303  facavg  14311  mulcn2  15606  o1fsum  15824  eftlub  16124  bddmulibl  25881  cxpaddlelem  26793  dchrmusum2  27535  axcontlem7  29117  nmoub3i  30922  siilem1  31000  ubthlem3  31021  bcs2  31331  cnlnadjlem2  32217  leopnmid  32287  eulerpartlemgc  34620  rrntotbnd  38299  jm2.17a  43501