Theorem lemul1a 12175

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemul1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem lemul1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11314	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
3	1, 2	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐶 ↔ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
4	3	pm5.32i 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)))
5		lemul1 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
6	5	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
7	6	3expia 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
8	7	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
9	1	leidi 11854	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
10		recn 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	mul01d 11513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
12		recn 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	mul01d 11513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
14	11, 13	breqan12d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ 0 ≤ 0))
15	9, 14	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0))
16		oveq2 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐶))
17		oveq2 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐶 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐶))
18	16, 17	breq12d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 · 0) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
19	15, 18	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
20	19	a1dd 51	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 = 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
22	8, 21	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝐶 ∨ 0 = 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
23	4, 22	sylbi 220	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
24	23	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))))
25	24	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶)))
26	25	imp 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  lemul2a  12176  ltmul12a  12177  lemul12b  12178  lt2msq1  12205  lemul1ad  12260  faclbnd4lem1  14441  facavg  14449  mulcn2  15769  o1fsum  15986  eftlub  16283  bddmulibl  26165  cxpaddlelem  27085  dchrmusum2  27827  axcontlem7  29554  nmoub3i  31381  siilem1  31459  ubthlem3  31480  bcs2  31790  cnlnadjlem2  32676  leopnmid  32746  eulerpartlemgc  35041  rrntotbnd  38864  jm2.17a  44061