Theorem revwlkb 32596

Description: Two words represent a walk if and only if their reverses also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 4-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
revwlkb	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑈) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃)))

Proof of Theorem revwlkb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revwlk 32595	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃))
2		revwlk 32595	. . 3 ⊢ ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) → (reverse‘(reverse‘𝐹))(Walks‘𝐺)(reverse‘(reverse‘𝑃)))
3		revrev 14169	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (reverse‘(reverse‘𝐹)) = 𝐹)
4		revrev 14169	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word 𝑈 → (reverse‘(reverse‘𝑃)) = 𝑃)
5	3, 4	breqan12d 5049	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑈) → ((reverse‘(reverse‘𝐹))(Walks‘𝐺)(reverse‘(reverse‘𝑃)) ↔ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
6	2, 5	syl5ib 247	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑈) → ((reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃))
7	1, 6	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑈) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (reverse‘𝐹)(Walks‘𝐺)(reverse‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  Word cword 13906  reversecreverse 14160  Walkscwlks 27478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-reverse 14161  df-wlks 27481

This theorem is referenced by: (None)