Theorem negiso 12249

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11691	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11691	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		recn 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		recn 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		negcon2 11563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
11	1, 3, 5, 10	f1ocnv2d 7687	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
12	11	mptru 1546	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
13	12	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14		ltneg 11764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
15		negex 11507	. . . . . . 7 ⊢ -𝑧 ∈ V
16		negex 11507	. . . . . . 7 ⊢ -𝑦 ∈ V
17	15, 16	brcnv 5892	. . . . . 6 ⊢ (-𝑧◡ < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧)
18	14, 17	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
19		negeq 11501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
20	19, 1, 15	fvmpt 7015	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = -𝑧)
21		negeq 11501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
22	21, 1, 16	fvmpt 7015	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = -𝑦)
23	20, 22	breqan12d 5158	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
24	18, 23	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
25	24	rgen2 3198	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
26		df-isom 6569	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
27	13, 25, 26	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
28		negeq 11501	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
29	28	cbvmptv 5254	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
30	12	simpri 485	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
31	29, 30, 1	3eqtr4i 2774	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
32	27, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5683  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560   Isom wiso 6561  ℂcc 11154  ℝcr 11155   < clt 11296  -cneg 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496

This theorem is referenced by:  infrenegsup  12252