Theorem negiso 12246

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11688	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11688	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		recn 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		recn 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		negcon2 11560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
11	1, 3, 5, 10	f1ocnv2d 7686	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
12	11	mptru 1544	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
13	12	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14		ltneg 11761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
15		negex 11504	. . . . . . 7 ⊢ -𝑧 ∈ V
16		negex 11504	. . . . . . 7 ⊢ -𝑦 ∈ V
17	15, 16	brcnv 5896	. . . . . 6 ⊢ (-𝑧◡ < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧)
18	14, 17	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
19		negeq 11498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
20	19, 1, 15	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = -𝑧)
21		negeq 11498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
22	21, 1, 16	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = -𝑦)
23	20, 22	breqan12d 5164	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
24	18, 23	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
25	24	rgen2 3197	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
26		df-isom 6572	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
27	13, 25, 26	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
28		negeq 11498	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
29	28	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
30	12	simpri 485	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
31	29, 30, 1	3eqtr4i 2773	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
32	27, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563   Isom wiso 6564  ℂcc 11151  ℝcr 11152   < clt 11293  -cneg 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493

This theorem is referenced by:  infrenegsup  12249