MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negiso 11608
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
Assertion
Ref Expression
negiso (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2 simpr 488 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32renegcld 11056 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4 simpr 488 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54renegcld 11056 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6 recn 10616 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 recn 10616 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8 negcon2 10928 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
96, 7, 8syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
109adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
111, 3, 5, 10f1ocnv2d 7383 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
1211mptru 1545 . . . 4 (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
1312simpli 487 . . 3 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14 ltneg 11129 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
15 negex 10873 . . . . . . 7 -𝑧 ∈ V
16 negex 10873 . . . . . . 7 -𝑦 ∈ V
1715, 16brcnv 5730 . . . . . 6 (-𝑧 < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧)
1814, 17syl6bbr 292 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑧 < -𝑦))
19 negeq 10867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
2019, 1, 15fvmpt 6750 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = -𝑧)
21 negeq 10867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
2221, 1, 16fvmpt 6750 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = -𝑦)
2320, 22breqan12d 5058 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑧 < -𝑦))
2418, 23bitr4d 285 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
2524rgen2 3193 . . 3 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
26 df-isom 6343 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
2713, 25, 26mpbir2an 710 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ)
28 negeq 10867 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
2928cbvmptv 5145 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
3012simpri 489 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
3129, 30, 13eqtr4i 2855 . 2 𝐹 = 𝐹
3227, 31pm3.2i 474 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ, ℝ) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2114  wral 3130   class class class wbr 5042  cmpt 5122  ccnv 5531  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334   Isom wiso 6335  cc 10524  cr 10525   < clt 10664  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  infrenegsup  11611
  Copyright terms: Public domain W3C validator