Theorem negiso 12266

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11712	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11712	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		recn 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		recn 11261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		negcon2 11582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
11	1, 3, 5, 10	f1ocnv2d 7662	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
12	11	mptru 1577	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
13	12	simpli 489	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14		ltneg 11785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
15		negex 11526	. . . . . . 7 ⊢ -𝑧 ∈ V
16		negex 11526	. . . . . . 7 ⊢ -𝑦 ∈ V
17	15, 16	brcnv 5856	. . . . . 6 ⊢ (-𝑧◡ < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧)
18	14, 17	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
19		negeq 11520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
20	19, 1, 15	fvmpt 6981	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = -𝑧)
21		negeq 11520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
22	21, 1, 16	fvmpt 6981	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = -𝑦)
23	20, 22	breqan12d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
24	18, 23	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
25	24	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
26		df-isom 6536	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
27	13, 25, 26	mpbir2an 724	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
28		negeq 11520	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
29	28	cbvmptv 5208	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
30	12	simpri 491	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
31	29, 30, 1	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
32	27, 31	pm3.2i 476	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527   Isom wiso 6528  ℂcc 11169  ℝcr 11170   < clt 11314  -cneg 11513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515

This theorem is used by:  infrenegsup  12269