Theorem negiso 12124

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11566	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11566	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		recn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		recn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		negcon2 11436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
11	1, 3, 5, 10	f1ocnv2d 7611	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
12	11	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
13	12	simpli 483	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14		ltneg 11639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
15		negex 11380	. . . . . . 7 ⊢ -𝑧 ∈ V
16		negex 11380	. . . . . . 7 ⊢ -𝑦 ∈ V
17	15, 16	brcnv 5830	. . . . . 6 ⊢ (-𝑧◡ < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧)
18	14, 17	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
19		negeq 11374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
20	19, 1, 15	fvmpt 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑧) = -𝑧)
21		negeq 11374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
22	21, 1, 16	fvmpt 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑦) = -𝑦)
23	20, 22	breqan12d 5113	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
24	18, 23	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
25	24	rgen2 3175	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
26		df-isom 6500	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
27	13, 25, 26	mpbir2an 712	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
28		negeq 11374	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
29	28	cbvmptv 5201	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
30	12	simpri 485	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
31	29, 30, 1	3eqtr4i 2768	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
32	27, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5622  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491   Isom wiso 6492  ℂcc 11026  ℝcr 11027   < clt 11168  -cneg 11367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  infrenegsup  12127