MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsleval 17458
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbasmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsbasmpt.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsplusgval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
prdsleval.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdsleval (πœ‘ β†’ (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   ≀ (π‘₯)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5144 . . 3 (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≀ )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
6 fnex 7225 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
94fndmd 6654 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsleval.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
112, 3, 7, 8, 9, 10prdsle 17443 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
12 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
13 vex 3467 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1412, 13prss 4819 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡)
1514anbi1i 622 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))
1615opabbii 5210 . . . . 5 {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))}
1711, 16eqtr4di 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
1817eleq2d 2811 . . 3 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≀ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))}))
191, 18bitrid 282 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))}))
20 prdsplusgval.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
21 prdsplusgval.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
22 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
23 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2422, 23breqan12d 5159 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2524ralbidv 3168 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2625opelopab2a 5531 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2720, 21, 26syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2819, 27bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143  {copab 5205   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  Xscprds 17426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428
This theorem is referenced by:  xpsle  17560
  Copyright terms: Public domain W3C validator