MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsleval 17478
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsleval.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
prdsleval (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   (𝑥)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5150 . . 3 (𝐹 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
6 fnex 7229 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ V)
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
94fndmd 6660 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsleval.l . . . . . 6 = (le‘𝑌)
112, 3, 7, 8, 9, 10prdsle 17463 . . . . 5 (𝜑 = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))})
12 vex 3465 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
13 vex 3465 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1412, 13prss 4825 . . . . . . 7 ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
1514anbi1i 622 . . . . . 6 (((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥)))
1615opabbii 5216 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))}
1711, 16eqtr4di 2783 . . . 4 (𝜑 = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))})
1817eleq2d 2811 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))}))
191, 18bitrid 282 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))}))
20 prdsplusgval.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
21 prdsplusgval.g . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
22 fveq1 6895 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
23 fveq1 6895 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
2422, 23breqan12d 5165 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → ((𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥) ↔ (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2524ralbidv 3167 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺) → (∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2625opelopab2a 5537 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))} ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2720, 21, 26syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝑔𝑥))} ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
2819, 27bitrd 278 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)(le‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  wss 3944  {cpr 4632  cop 4636   class class class wbr 5149  {copab 5211   Fn wfn 6544  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  lecple 17259  Xscprds 17446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-hom 17276  df-cco 17277  df-prds 17448
This theorem is referenced by:  xpsle  17580
  Copyright terms: Public domain W3C validator