Theorem prdsleval 17435

Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsleval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem prdsleval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5076	. . 3 ⊢ (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ )
2		prdsbasmpt.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
3		prdsbasmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		prdsbasmpt.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		fnex 7165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8		prdsbasmpt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	4	fndmd 6594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10		prdsleval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	prdsle 17420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
12		vex 3437	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
13		vex 3437	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑔 ∈ V
14	12, 13	prss 4754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
15	14	anbi1i 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))
16	15	opabbii 5142	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}
17	11, 16	eqtr4di 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
18	17	eleq2d 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
19	1, 18	bitrid 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
20		prdsplusgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21		prdsplusgval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		fveq1 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
23		fveq1 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24	22, 23	breqan12d 5091	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25	24	ralbidv 3164	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
26	25	opelopab2a 5480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
27	20, 21, 26	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
28	19, 27	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075  {copab 5137   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  X_scprds 17403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-prds 17405

This theorem is referenced by:  xpsle  17538