MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsleval 17432
Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbasmpt.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsbasmpt.r (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsplusgval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
prdsleval.l ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdsleval (πœ‘ β†’ (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘Œ
Allowed substitution hint:   ≀ (π‘₯)

Proof of Theorem prdsleval
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5142 . . 3 (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≀ )
2 prdsbasmpt.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
3 prdsbasmpt.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsbasmpt.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
5 prdsbasmpt.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
6 fnex 7214 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
8 prdsbasmpt.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
94fndmd 6648 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsleval.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜π‘Œ)
112, 3, 7, 8, 9, 10prdsle 17417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
12 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
13 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1412, 13prss 4818 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ↔ {𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡)
1514anbi1i 623 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) ↔ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))
1615opabbii 5208 . . . . 5 {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ({𝑓, 𝑔} βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))}
1711, 16eqtr4di 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ ≀ = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))})
1817eleq2d 2813 . . 3 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≀ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))}))
191, 18bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))}))
20 prdsplusgval.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
21 prdsplusgval.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
22 fveq1 6884 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
23 fveq1 6884 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2422, 23breqan12d 5157 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2524ralbidv 3171 . . . 4 ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2625opelopab2a 5528 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2720, 21, 26syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ ((𝑓 ∈ 𝐡 ∧ 𝑔 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
2819, 27bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯)(leβ€˜(π‘…β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  {copab 5203   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  Xscprds 17400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402
This theorem is referenced by:  xpsle  17534
  Copyright terms: Public domain W3C validator