Theorem prdsleval 17422

Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsleval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem prdsleval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5149	. . 3 ⊢ (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ )
2		prdsbasmpt.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
3		prdsbasmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		prdsbasmpt.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		fnex 7218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8		prdsbasmpt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	4	fndmd 6654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10		prdsleval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	prdsle 17407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
12		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
13		vex 3478	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑔 ∈ V
14	12, 13	prss 4823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
15	14	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))
16	15	opabbii 5215	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}
17	11, 16	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
18	17	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
19	1, 18	bitrid 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
20		prdsplusgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21		prdsplusgval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
23		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24	22, 23	breqan12d 5164	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25	24	ralbidv 3177	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
26	25	opelopab2a 5535	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
27	20, 21, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
28	19, 27	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  X_scprds 17390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392

This theorem is referenced by:  xpsle  17524