Theorem prdsleval 17653

Description: Value of the product ordering in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsleval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   ≤ (𝑥)

Proof of Theorem prdsleval

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5103	. . 3 ⊢ (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ )
2		prdsbasmpt.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
3		prdsbasmpt.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
5		prdsbasmpt.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		fnex 7223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
8		prdsbasmpt.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	4	fndmd 6644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10		prdsleval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	prdsle 17638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
12		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
13		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑔 ∈ V
14	12, 13	prss 4775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ↔ {𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵)
15	14	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) ↔ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))
16	15	opabbii 5171	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ({𝑓, 𝑔} ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}
17	11, 16	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))})
18	17	eleq2d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ ≤ ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
19	1, 18	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))}))
20		prdsplusgval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21		prdsplusgval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		fveq1 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
23		fveq1 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑔‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
24	22, 23	breqan12d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → ((𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25	24	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑔 = 𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
26	25	opelopab2a 5508	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
27	20, 21, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝑔‘𝑥))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
28	19, 27	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)(le‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  {copab 5166   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  X_scprds 17621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-prds 17623

This theorem is used by:  xpsle  17756