MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgrabtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgrabtwn 28658
Description: Angle congruence preserves flat angles. Part of Theorem 11.21 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgracol.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgracol.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgracol.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
cgracol.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgracol.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgracol.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgracol.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracol.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracol.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracol.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracol.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgrabtwn.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
Assertion
Ref Expression
cgrabtwn (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))

Proof of Theorem cgrabtwn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgracol.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 cgracol.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
3 eqid 2728 . . 3 (hlGβ€˜πΊ) = (hlGβ€˜πΊ)
4 simpllr 774 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
5 cgracol.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
65ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
7 cgracol.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
87ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
9 cgracol.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
109ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
11 cgracol.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1211ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
13 simpr2 1192 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷)
14 cgracol.m . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
15 simplr 767 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 simpr3 1193 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
18 cgracol.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1918ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
20 cgracol.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2120ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
22 cgracol.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
24 simpr1 1191 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ©)
25 cgrabtwn.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
2625ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
271, 14, 2, 17, 10, 19, 21, 23, 4, 12, 15, 24, 26tgbtwnxfr 28362 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))
281, 14, 2, 10, 4, 12, 15, 27tgbtwncom 28320 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ (𝑦𝐼π‘₯))
291, 2, 3, 15, 8, 4, 10, 12, 16, 28btwnhl 28446 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼π‘₯))
301, 14, 2, 10, 8, 12, 4, 29tgbtwncom 28320 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ (π‘₯𝐼𝐹))
311, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 30btwnhl 28446 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
32 cgracol.1 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
331, 2, 3, 9, 18, 20, 22, 5, 11, 7iscgra 28641 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹)))
3432, 33mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯πΈπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑦((hlGβ€˜πΊ)β€˜πΈ)𝐹))
3531, 34r19.29vva 3211 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  βŸ¨β€œcs3 14835  Basecbs 17189  distcds 17251  TarskiGcstrkg 28259  Itvcitv 28265  cgrGccgrg 28342  hlGchlg 28432  cgrAccgra 28639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-s2 14841  df-s3 14842  df-trkgc 28280  df-trkgb 28281  df-trkgcb 28282  df-trkg 28285  df-cgrg 28343  df-hlg 28433  df-cgra 28640
This theorem is referenced by:  cgracol  28660
  Copyright terms: Public domain W3C validator