Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme42c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme42c 37727
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Match ¬ 𝑥 𝑊. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme42.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme42.l = (le‘𝐾)
cdleme42.j = (join‘𝐾)
cdleme42.m = (meet‘𝐾)
cdleme42.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme42.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme42.v 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme42c (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ¬ (𝑅 𝑉) 𝑊)

Proof of Theorem cdleme42c
StepHypRef Expression
1 simp2r 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ¬ 𝑅 𝑊)
2 simp1l 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36619 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐴)
5 cdleme42.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdleme42.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 36544 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
84, 7syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐵)
9 cdleme42.v . . . . 5 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
10 simp3l 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆𝐴)
11 cdleme42.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
125, 11, 6hlatjcl 36622 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
132, 4, 10, 12syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
14 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐻)
15 cdleme42.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
165, 15lhpbase 37253 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐵)
18 cdleme42.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
195, 18latmcl 17653 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
203, 13, 17, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
219, 20eqeltrid 2918 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑉𝐵)
22 cdleme42.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
235, 22, 11latjle12 17663 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐵𝑉𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑅 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑅 𝑉) 𝑊))
243, 8, 21, 17, 23syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑅 𝑉) 𝑊))
25 simpl 486 . . 3 ((𝑅 𝑊𝑉 𝑊) → 𝑅 𝑊)
2624, 25syl6bir 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑉) 𝑊𝑅 𝑊))
271, 26mtod 201 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ¬ (𝑅 𝑉) 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646  Atomscatm 36518  HLchlt 36605  LHypclh 37239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-poset 17547  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-lat 17647  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-lhyp 37243
This theorem is referenced by:  cdleme42e  37734
  Copyright terms: Public domain W3C validator