Theorem cdleme42a 40876

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 3-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme42.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme42.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme42.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme42.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme42.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme42.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme42.v	⊢ 𝑉 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme42a	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem cdleme42a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme42.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdleme42.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4		cdleme42.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdleme42.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	lhpjat2 40426	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑅 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
7	6	3adant3 1133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → (𝑅 ∨ 𝑊) = (1.‘𝐾))
8	7	oveq2d 7386	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑊)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (1.‘𝐾)))
9		cdleme42.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
10	9	oveq2i 7381	. . 3 ⊢ (𝑅 ∨ 𝑉) = (𝑅 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))
11		simp1l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp2l 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13		simp3l 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
14		cdleme42.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15	14, 2, 4	hlatjcl 39772	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
16	11, 12, 13, 15	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
17		simp1r 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
18	14, 5	lhpbase 40403	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
20	1, 2, 4	hlatlej1 39780	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))
21	11, 12, 13, 20	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆))
22		cdleme42.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
23	14, 1, 2, 22, 4	atmod3i1 40269	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ≤ (𝑅 ∨ 𝑆)) → (𝑅 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑊)))
24	11, 12, 16, 19, 21, 23	syl131anc 1386	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → (𝑅 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑊)))
25	10, 24	eqtr2id 2785	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑅 ∨ 𝑊)) = (𝑅 ∨ 𝑉))
26		hlol 39766	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
27	11, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
28	14, 22, 3	olm11 39632	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑅 ∨ 𝑆))
29	27, 16, 28	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑅 ∨ 𝑆))
30	8, 25, 29	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)) → (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  lecple 17198  joincjn 18248  meetcmee 18249  1.cp1 18359  OLcol 39579  Atomscatm 39668  HLchlt 39755  LHypclh 40389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18369  df-clat 18436  df-oposet 39581  df-ol 39583  df-oml 39584  df-covers 39671  df-ats 39672  df-atl 39703  df-cvlat 39727  df-hlat 39756  df-psubsp 39908  df-pmap 39909  df-padd 40201  df-lhyp 40393

This theorem is referenced by:  cdleme42d  40878  cdleme42f  40885  cdleme42g  40886  cdleme42keg  40891  cdleme43cN  40896