Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme42a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme42a 36484
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 3-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme42.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme42.l = (le‘𝐾)
cdleme42.j = (join‘𝐾)
cdleme42.m = (meet‘𝐾)
cdleme42.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme42.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme42.v 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme42a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑅 𝑉))

Proof of Theorem cdleme42a
StepHypRef Expression
1 cdleme42.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 cdleme42.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
3 eqid 2797 . . . . 5 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4 cdleme42.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 cdleme42.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpjat2 36034 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑅 𝑊) = (1.‘𝐾))
763adant3 1163 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑊) = (1.‘𝐾))
87oveq2d 6892 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (𝑅 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (1.‘𝐾)))
9 cdleme42.v . . . 4 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
109oveq2i 6887 . . 3 (𝑅 𝑉) = (𝑅 ((𝑅 𝑆) 𝑊))
11 simp1l 1255 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp2l 1257 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅𝐴)
13 simp3l 1259 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑆𝐴)
14 cdleme42.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
1514, 2, 4hlatjcl 35380 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
1611, 12, 13, 15syl3anc 1491 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
17 simp1r 1256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐻)
1814, 5lhpbase 36011 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1917, 18syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑊𝐵)
201, 2, 4hlatlej1 35388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → 𝑅 (𝑅 𝑆))
2111, 12, 13, 20syl3anc 1491 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑅 (𝑅 𝑆))
22 cdleme42.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
2314, 1, 2, 22, 4atmod3i1 35877 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ 𝑅 (𝑅 𝑆)) → (𝑅 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑅 𝑊)))
2411, 12, 16, 19, 21, 23syl131anc 1503 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) = ((𝑅 𝑆) (𝑅 𝑊)))
2510, 24syl5req 2844 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (𝑅 𝑊)) = (𝑅 𝑉))
26 hlol 35374 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2711, 26syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
2814, 22, 3olm11 35240 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵) → ((𝑅 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑅 𝑆))
2927, 16, 28syl2anc 580 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → ((𝑅 𝑆) (1.‘𝐾)) = (𝑅 𝑆))
308, 25, 293eqtr3rd 2840 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → (𝑅 𝑆) = (𝑅 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  lecple 16271  joincjn 17256  meetcmee 17257  1.cp1 17350  OLcol 35187  Atomscatm 35276  HLchlt 35363  LHypclh 35997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-p1 17352  df-lat 17358  df-clat 17420  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-psubsp 35516  df-pmap 35517  df-padd 35809  df-lhyp 36001
This theorem is referenced by:  cdleme42d  36486  cdleme42f  36493  cdleme42g  36494  cdleme42keg  36499  cdleme43cN  36504
  Copyright terms: Public domain W3C validator