Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme9b 39636
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9b.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme9b.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme9b.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme9b.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme9b.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme9b.c 𝐢 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme9b ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem cdleme9b
StepHypRef Expression
1 cdleme9b.c . 2 𝐢 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
2 hllat 38746 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme9b.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme9b.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 cdleme9b.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
74, 5, 6hlatjcl 38750 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡)
873adant3r3 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡)
9 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
10 cdleme9b.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
114, 10lhpbase 39382 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
13 cdleme9b.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
144, 13latmcl 18405 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
153, 8, 12, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
161, 15eqeltrid 2831 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐻)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-lat 18397  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme15b  39659  cdleme17b  39671
  Copyright terms: Public domain W3C validator