Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme9b 37567
 Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j = (join‘𝐾)
cdleme9b.m = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9b ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b
StepHypRef Expression
1 cdleme9b.c . 2 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
2 hllat 36678 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme9b.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme9b.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdleme9b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatjcl 36682 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
873adant3r3 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
9 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐻)
10 cdleme9b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
114, 10lhpbase 37313 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐵)
13 cdleme9b.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
144, 13latmcl 17657 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
153, 8, 12, 14syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 15eqeltrid 2894 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  joincjn 17549  meetcmee 17550  Latclat 17650  Atomscatm 36578  HLchlt 36665  LHypclh 37299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-lat 17651  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-lhyp 37303 This theorem is referenced by:  cdleme15b  37590  cdleme17b  37602
 Copyright terms: Public domain W3C validator