Theorem cdleme9b 40219

Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme9b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme9b.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c	⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme9b	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme9b.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
2		hllat 39329	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		cdleme9b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdleme9b.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		cdleme9b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatjcl 39333	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
9		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10		cdleme9b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	4, 10	lhpbase 39965	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		cdleme9b.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 13	latmcl 18375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	3, 8, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2832	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  joincjn 18248  meetcmee 18249  Latclat 18366  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  LHypclh 39951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-lat 18367  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-lhyp 39955

This theorem is referenced by:  cdleme15b  40242  cdleme17b  40254