Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme9b 40234
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j = (join‘𝐾)
cdleme9b.m = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9b ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b
StepHypRef Expression
1 cdleme9b.c . 2 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
2 hllat 39344 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme9b.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme9b.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdleme9b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatjcl 39348 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
873adant3r3 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
9 simpr3 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐻)
10 cdleme9b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
114, 10lhpbase 39980 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐵)
13 cdleme9b.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
144, 13latmcl 18497 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
153, 8, 12, 14syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 15eqeltrid 2842 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  joincjn 18368  meetcmee 18369  Latclat 18488  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  LHypclh 39966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-lat 18489  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-lhyp 39970
This theorem is referenced by:  cdleme15b  40257  cdleme17b  40269
  Copyright terms: Public domain W3C validator