Theorem cdleme9b 40451

Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme9b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme9b.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c	⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme9b	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme9b.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
2		hllat 39562	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		cdleme9b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdleme9b.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		cdleme9b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatjcl 39566	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
9		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10		cdleme9b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	4, 10	lhpbase 40197	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		cdleme9b.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 13	latmcl 18361	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	3, 8, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2838	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  joincjn 18232  meetcmee 18233  Latclat 18352  Atomscatm 39462  HLchlt 39549  LHypclh 40183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-lat 18353  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-lhyp 40187

This theorem is referenced by:  cdleme15b  40474  cdleme17b  40486