Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme9b 36873
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j = (join‘𝐾)
cdleme9b.m = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9b ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b
StepHypRef Expression
1 cdleme9b.c . 2 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
2 hllat 35984 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 473 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme9b.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme9b.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdleme9b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatjcl 35988 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
873adant3r3 1165 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
9 simpr3 1177 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐻)
10 cdleme9b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
114, 10lhpbase 36619 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐵)
13 cdleme9b.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
144, 13latmcl 17532 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
153, 8, 12, 14syl3anc 1352 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 15syl5eqel 2872 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6193  (class class class)co 6982  Basecbs 16345  joincjn 17424  meetcmee 17425  Latclat 17525  Atomscatm 35884  HLchlt 35971  LHypclh 36605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-id 5316  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-lat 17526  df-ats 35888  df-atl 35919  df-cvlat 35943  df-hlat 35972  df-lhyp 36609
This theorem is referenced by:  cdleme15b  36896  cdleme17b  36908
  Copyright terms: Public domain W3C validator