Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme9b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme9b 39587
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme9b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j = (join‘𝐾)
cdleme9b.m = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme9b ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b
StepHypRef Expression
1 cdleme9b.c . 2 𝐶 = ((𝑃 𝑆) 𝑊)
2 hllat 38697 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 cdleme9b.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 cdleme9b.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
6 cdleme9b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6hlatjcl 38701 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
873adant3r3 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵)
9 simpr3 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐻)
10 cdleme9b.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
114, 10lhpbase 39333 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝑊𝐵)
13 cdleme9b.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
144, 13latmcl 18403 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
153, 8, 12, 14syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → ((𝑃 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 15eqeltrid 2836 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻)) → 𝐶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  Atomscatm 38597  HLchlt 38684  LHypclh 39319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-lhyp 39323
This theorem is referenced by:  cdleme15b  39610  cdleme17b  39622
  Copyright terms: Public domain W3C validator