Theorem cdleme9b 38193

Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme9b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme9b.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c	⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme9b	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme9b.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
2		hllat 37304	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		cdleme9b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdleme9b.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		cdleme9b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatjcl 37308	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r3 1182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
9		simpr3 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10		cdleme9b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	4, 10	lhpbase 37939	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		cdleme9b.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 13	latmcl 18073	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	3, 8, 12, 14	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2843	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  joincjn 17944  meetcmee 17945  Latclat 18064  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-lat 18065  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-lhyp 37929

This theorem is referenced by:  cdleme15b  38216  cdleme17b  38228