Theorem cdleme9b 39587

Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme9b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme9b.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme9b.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme9b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme9b.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme9b.c	⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme9b	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme9b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme9b.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
2		hllat 38697	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		cdleme9b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		cdleme9b.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		cdleme9b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatjcl 38701	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r3 1183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
9		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
10		cdleme9b.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11	4, 10	lhpbase 39333	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
13		cdleme9b.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 13	latmcl 18403	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	3, 8, 12, 14	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2836	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) → 𝐶 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  Atomscatm 38597  HLchlt 38684  LHypclh 39319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-lhyp 39323

This theorem is referenced by:  cdleme15b  39610  cdleme17b  39622