Theorem cdleme9a 41085

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. 𝐶 represents s₁, which we prove is an atom. (Contributed by NM, 10-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme8.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme8.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme8.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme8.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme8.4	⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme9a	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑆)) → 𝐶 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cdleme9a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme8.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdleme8.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdleme8.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cdleme8.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdleme8.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdleme8.4	. 2 ⊢ 𝐶 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lhpat2 40879	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑆)) → 𝐶 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  lecple 17341  joincjn 18391  meetcmee 18392  Atomscatm 40097  HLchlt 40184  LHypclh 40818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-lhyp 40822

This theorem is used by:  cdleme9  41087  cdleme9taN  41090  cdleme11h  41100  cdleme11j  41101  cdleme11k  41102  cdleme17c  41122