Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp33 1212 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
2 | | eqid 2733 |
. . 3
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
3 | | cdleme17.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | simpl1l 1225 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β πΎ β HL) |
5 | 4 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β πΎ β Lat) |
6 | | simpl32 1256 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
7 | | cdleme17.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 2, 7 | atbase 37797 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
9 | 6, 8 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
10 | | simpl2l 1227 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
11 | | cdleme17.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | 2, 11, 7 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
13 | 4, 10, 6, 12 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
14 | | simpl31 1255 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
15 | 2, 11, 7 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
16 | 4, 10, 14, 15 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
17 | 3, 11, 7 | hlatlej2 37884 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
18 | 4, 10, 6, 17 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
19 | | simpl1r 1226 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β π») |
20 | | simpl2r 1228 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β Β¬ π β€ π) |
21 | | cdleme17.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
22 | | cdleme17.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
23 | | cdleme17.c |
. . . . . 6
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ π) |
24 | 3, 11, 21, 7, 22, 23 | cdleme8 38759 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β (π β¨ πΆ) = (π β¨ π)) |
25 | 4, 19, 10, 20, 6, 24 | syl221anc 1382 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ πΆ) = (π β¨ π)) |
26 | 3, 11, 7 | hlatlej1 37883 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
27 | 4, 10, 14, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
28 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β πΆ β€ (π β¨ π)) |
29 | 2, 7 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 10, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 2, 11, 21, 7, 22, 23 | cdleme9b 38761 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π»)) β πΆ β (BaseβπΎ)) |
32 | 4, 10, 6, 19, 31 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β πΆ β (BaseβπΎ)) |
33 | 2, 3, 11 | latjle12 18344 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ πΆ β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ πΆ) β€ (π β¨ π))) |
34 | 5, 30, 32, 16, 33 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ πΆ) β€ (π β¨ π))) |
35 | 27, 28, 34 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ πΆ) β€ (π β¨ π)) |
36 | 25, 35 | eqbrtrrd 5130 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π β¨ π)) |
37 | 2, 3, 5, 9, 13, 16, 18, 36 | lattrd 18340 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β§ πΆ β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
38 | 1, 37 | mtand 815 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ πΆ β€ (π β¨ π)) |