MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnntri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnntri 23188
Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 23157 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 6085 . . 3 (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐹
4 eqid 2728 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 23163 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
76fdmd 6733 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
87adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
93, 8sseqtrid 4032 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
10 cntop2 23158 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
115ntropn 22966 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
1210, 11sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
13 cnima 23182 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
1412, 13syldan 590 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
155ntrss2 22974 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
1610, 15sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
17 imass2 6106 . . 3 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
194ssntr 22975 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ ((◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
202, 9, 14, 18, 19syl22anc 838 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5677  dom cdm 5678   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Topctop 22808  intcnt 22934   Cn ccn 23141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-top 22809  df-topon 22826  df-ntr 22937  df-cn 23144
This theorem is referenced by:  cnntr  23192  hmeontr  23686  cnneiima  47935
  Copyright terms: Public domain W3C validator