MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnntri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnntri 23126
Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 23095 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 6073 . . 3 (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐹
4 eqid 2726 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 23101 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
76fdmd 6721 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
87adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
93, 8sseqtrid 4029 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
10 cntop2 23096 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
115ntropn 22904 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
1210, 11sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
13 cnima 23120 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
1412, 13syldan 590 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
155ntrss2 22912 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
1610, 15sylan 579 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
17 imass2 6094 . . 3 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
194ssntr 22913 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ ((◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
202, 9, 14, 18, 19syl22anc 836 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Topctop 22746  intcnt 22872   Cn ccn 23079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-top 22747  df-topon 22764  df-ntr 22875  df-cn 23082
This theorem is referenced by:  cnntr  23130  hmeontr  23624  cnneiima  47804
  Copyright terms: Public domain W3C validator