MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnntri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnntri 21874
Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))

Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 21843 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 5937 . . 3 (𝐹𝑆) ⊆ dom 𝐹
4 eqid 2824 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 𝑌 = 𝐾
64, 5cnf 21849 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽𝑌)
76fdmd 6512 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → dom 𝐹 = 𝐽)
87adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → dom 𝐹 = 𝐽)
93, 8sseqtrid 4005 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹𝑆) ⊆ 𝐽)
10 cntop2 21844 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
115ntropn 21652 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
1210, 11sylan 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
13 cnima 21868 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
1412, 13syldan 594 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
155ntrss2 21660 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
1610, 15sylan 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
17 imass2 5953 . . 3 (((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆 → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))
194ssntr 21661 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹𝑆) ⊆ 𝐽) ∧ ((𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (𝐹𝑆))) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))
202, 9, 14, 18, 19syl22anc 837 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆𝑌) → (𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐹𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919   cuni 4825  ccnv 5542  dom cdm 5543  cima 5546  cfv 6344  (class class class)co 7146  Topctop 21496  intcnt 21620   Cn ccn 21827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-map 8400  df-top 21497  df-topon 21514  df-ntr 21623  df-cn 21830
This theorem is referenced by:  cnntr  21878  hmeontr  22372
  Copyright terms: Public domain W3C validator