Theorem cnntri 23437

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnntri	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 23406	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
3		cnvimass 6084	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐹
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5		cncls2i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 23412	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌)
7	6	fdmd 6716	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
9	3, 8	sseqtrid 3979	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
10		cntop2 23407	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
11	5	ntropn 23215	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
12	10, 11	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
13		cnima 23431	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
14	12, 13	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
15	5	ntrss2 23223	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
16	10, 15	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
17		imass2 6104	. . 3 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆 → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))
19	4	ssntr 23224	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ ((◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 851	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661   “ cima 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Topctop 23059  intcnt 23183   Cn ccn 23390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-top 23060  df-topon 23077  df-ntr 23186  df-cn 23393

This theorem is used by:  cnntr  23441  hmeontr  23935  cnneiima  49723