Theorem cnntri 23333

Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cncls2i.1	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnntri	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))

Proof of Theorem cnntri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop1 23302	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
3		cnvimass 6073	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐹
4		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5		cncls2i.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 23308	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶𝑌)
7	6	fdmd 6704	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽)
9	3, 8	sseqtrid 3980	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽)
10		cntop2 23303	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
11	5	ntropn 23111	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
12	10, 11	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾)
13		cnima 23327	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((int‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
14	12, 13	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽)
15	5	ntrss2 23119	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
16	10, 15	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → ((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
17		imass2 6093	. . 3 ⊢ (((int‘𝐾)‘𝑆) ⊆ 𝑆 → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))
19	4	ssntr 23120	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (◡𝐹 “ 𝑆) ⊆ ∪ 𝐽) ∧ ((◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ∈ 𝐽 ∧ (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ (◡𝐹 “ 𝑆))) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))
20	2, 9, 14, 18, 19	syl22anc 849	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑌) → (◡𝐹 “ ((int‘𝐾)‘𝑆)) ⊆ ((int‘𝐽)‘(◡𝐹 “ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   “ cima 5652  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Topctop 22955  intcnt 23079   Cn ccn 23286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-map 8812  df-top 22956  df-topon 22973  df-ntr 23082  df-cn 23289

This theorem is referenced by:  cnntr  23337  hmeontr  23831  cnneiima  49543