MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnntri Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnntri 22766
Description: Property of the preimage of an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cncls2i.1 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnntri ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Proof of Theorem cnntri
StepHypRef Expression
1 cntop1 22735 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 cnvimass 6077 . . 3 (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† dom 𝐹
4 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5 cncls2i.1 . . . . . 6 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 22741 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ π½βŸΆπ‘Œ)
76fdmd 6725 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
87adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ dom 𝐹 = βˆͺ 𝐽)
93, 8sseqtrid 4033 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽)
10 cntop2 22736 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
115ntropn 22544 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
1210, 11sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾)
13 cnima 22760 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
1412, 13syldan 591 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽)
155ntrss2 22552 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
1610, 15sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆)
17 imass2 6098 . . 3 (((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†) βŠ† 𝑆 β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))
194ssntr 22553 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ 𝑆) βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ ((◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) ∈ 𝐽 ∧ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† (◑𝐹 β€œ 𝑆))) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
202, 9, 14, 18, 19syl22anc 837 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑆 βŠ† π‘Œ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((intβ€˜πΎ)β€˜π‘†)) βŠ† ((intβ€˜π½)β€˜(◑𝐹 β€œ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Topctop 22386  intcnt 22512   Cn ccn 22719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-top 22387  df-topon 22404  df-ntr 22515  df-cn 22722
This theorem is referenced by:  cnntr  22770  hmeontr  23264  cnneiima  47502
  Copyright terms: Public domain W3C validator