Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooii 46844
Description: Open intervals are open sets of II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
iooii ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Proof of Theorem iooii
StepHypRef Expression
1 0xr 11160 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 1xr 11172 . . 3 1 ∈ ℝ*
3 ioossioo 13312 . . 3 (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ 1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
41, 2, 3mpanl12 700 . 2 ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
5 iooretop 24080 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6 iooretop 24080 . . . . 5 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
7 ioossicc 13304 . . . . 5 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8 retop 24076 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9 ovex 7384 . . . . . 6 (0[,]1) ∈ V
10 restopnb 22477 . . . . . 6 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,]1) ∈ V) ∧ ((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
118, 9, 10mpanl12 700 . . . . 5 (((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1)) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
126, 7, 11mp3an12 1451 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
135, 12mpbii 232 . . 3 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
14 dfii2 24196 . . 3 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
1513, 14eleqtrrdi 2849 . 2 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)
164, 15syl 17 1 ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908   class class class wbr 5103  ran crn 5632  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010  *cxr 11146  cle 11148  (,)cioo 13218  [,]cicc 13221  t crest 17261  topGenctg 17278  Topctop 22193  IIcii 24189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-icc 13225  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14943  df-re 14944  df-im 14945  df-sqrt 15079  df-abs 15080  df-rest 17263  df-topgen 17284  df-psmet 20740  df-xmet 20741  df-met 20742  df-bl 20743  df-mopn 20744  df-top 22194  df-topon 22211  df-bases 22247  df-ii 24191
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator