Theorem iooii 46251

Description: Open intervals are open sets of II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iooii	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Proof of Theorem iooii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11050	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1xr 11062	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		ioossioo 13201	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
4	1, 2, 3	mpanl12 698	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
5		iooretop 23957	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6		iooretop 23957	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
7		ioossicc 13193	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8		retop 23953	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9		ovex 7328	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ∈ V
10		restopnb 22354	. . . . . 6 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,]1) ∈ V) ∧ ((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
11	8, 9, 10	mpanl12 698	. . . . 5 ⊢ (((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1)) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
12	6, 7, 11	mp3an12 1449	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
13	5, 12	mpbii 232	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
14		dfii2 24073	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
15	13, 14	eleqtrrdi 2845	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)
16	4, 15	syl 17	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2101  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5077  ran crn 5592  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900  ℝ^*cxr 11036   ≤ cle 11038  (,)cioo 13107  [,]cicc 13110   ↾_t crest 17159  topGenctg 17176  Topctop 22070  IIcii 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-ioo 13111  df-icc 13114  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-rest 17161  df-topgen 17182  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-top 22071  df-topon 22088  df-bases 22124  df-ii 24068

This theorem is referenced by: (None)