Theorem iooii 48714

Description: Open intervals are open sets of II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iooii	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Proof of Theorem iooii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11306	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1xr 11318	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		ioossioo 13478	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
4	1, 2, 3	mpanl12 702	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
5		iooretop 24802	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6		iooretop 24802	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
7		ioossicc 13470	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8		retop 24798	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ∈ V
10		restopnb 23199	. . . . . 6 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,]1) ∈ V) ∧ ((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
11	8, 9, 10	mpanl12 702	. . . . 5 ⊢ (((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1)) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
12	6, 7, 11	mp3an12 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
13	5, 12	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
14		dfii2 24922	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
15	13, 14	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)
16	4, 15	syl 17	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387   ↾_t crest 17467  topGenctg 17484  Topctop 22915  IIcii 24915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ii 24917

This theorem is referenced by: (None)