Theorem iooii 49405

Description: Open intervals are open sets of II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iooii	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Proof of Theorem iooii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1xr 11195	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		ioossioo 13385	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
4	1, 2, 3	mpanl12 703	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
5		iooretop 24740	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6		iooretop 24740	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
7		ioossicc 13377	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8		retop 24736	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ∈ V
10		restopnb 23150	. . . . . 6 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,]1) ∈ V) ∧ ((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
11	8, 9, 10	mpanl12 703	. . . . 5 ⊢ (((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1)) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
12	6, 7, 11	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
13	5, 12	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
14		dfii2 24859	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
15	13, 14	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)
16	4, 15	syl 17	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292   ↾_t crest 17374  topGenctg 17391  Topctop 22868  IIcii 24852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-ii 24854

This theorem is referenced by: (None)