Theorem iooii 49393

Description: Open intervals are open sets of II. (Contributed by Zhi Wang, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
iooii	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Proof of Theorem iooii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11192	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1xr 11204	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ*
3		ioossioo 13394	. . 3 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
4	1, 2, 3	mpanl12 703	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))
5		iooretop 24730	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6		iooretop 24730	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
7		ioossicc 13386	. . . . 5 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8		retop 24726	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
9		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ∈ V
10		restopnb 23140	. . . . . 6 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,]1) ∈ V) ∧ ((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1))) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
11	8, 9, 10	mpanl12 703	. . . . 5 ⊢ (((0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)1) ⊆ (0[,]1) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1)) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
12	6, 7, 11	mp3an12 1454	. . . 4 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))))
13	5, 12	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1)))
14		dfii2 24849	. . 3 ⊢ II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
15	13, 14	eleqtrrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (0(,)1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)
16	4, 15	syl 17	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 1) → (𝐴(,)𝐵) ∈ II)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  (,)cioo 13298  [,]cicc 13301   ↾_t crest 17383  topGenctg 17400  Topctop 22858  IIcii 24842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-ii 24844

This theorem is referenced by: (None)