Theorem cvmtop1 35458

Description: Reverse closure for a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmtop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)

Proof of Theorem cvmtop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4281	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → ¬ (𝐶 CovMap 𝐽) = ∅)
2		fncvm 35455	. . . . 5 ⊢ CovMap Fn (Top × Top)
3	2	fndmi 6596	. . . 4 ⊢ dom CovMap = (Top × Top)
4	3	ndmov 7544	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐶 CovMap 𝐽) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → (𝐶 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4274   × cxp 5622  (class class class)co 7360  Topctop 22868   CovMap ccvm 35453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-cvm 35454

This theorem is referenced by:  cvmsf1o  35470  cvmscld  35471  cvmsss2  35472  cvmopnlem  35476  cvmliftmolem1  35479  cvmliftlem8  35490  cvmlift2lem9a  35501  cvmlift2lem9  35509  cvmlift2lem11  35511  cvmlift2lem12  35512  cvmliftphtlem  35515  cvmlift3lem6  35522  cvmlift3lem8  35524  cvmlift3lem9  35525