Theorem cvmtop1 35473

Description: Reverse closure for a covering map. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cvmtop1	⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)

Proof of Theorem cvmtop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4294	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → ¬ (𝐶 CovMap 𝐽) = ∅)
2		fncvm 35470	. . . . 5 ⊢ CovMap Fn (Top × Top)
3	2	fndmi 6604	. . . 4 ⊢ dom CovMap = (Top × Top)
4	3	ndmov 7552	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝐶 CovMap 𝐽) = ∅)
5	1, 4	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → (𝐶 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287   × cxp 5630  (class class class)co 7368  Topctop 22849   CovMap ccvm 35468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-cvm 35469

This theorem is referenced by:  cvmsf1o  35485  cvmscld  35486  cvmsss2  35487  cvmopnlem  35491  cvmliftmolem1  35494  cvmliftlem8  35505  cvmlift2lem9a  35516  cvmlift2lem9  35524  cvmlift2lem11  35526  cvmlift2lem12  35527  cvmliftphtlem  35530  cvmlift3lem6  35537  cvmlift3lem8  35539  cvmlift3lem9  35540