Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem9a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem9a 34363
Description: Lemma for cvmlift2 34376 and cvmlift3 34388. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2lem9a.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2lem9a.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
cvmlift2lem9a.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
cvmlift2lem9a.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2lem9a.h (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅)
cvmlift2lem9a.g (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift2lem9a.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
cvmlift2lem9a.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Œ)
cvmlift2lem9a.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄))
cvmlift2lem9a.3 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝑇 ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ π‘Š))
cvmlift2lem9a.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† π‘Œ)
cvmlift2lem9a.6 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ 𝑀) βŠ† π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9a (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,π‘˜,𝑠,𝐴   𝐹,𝑐,𝑑,π‘˜,𝑠   𝐽,𝑐,𝑑,π‘˜,𝑠   𝑇,𝑐,𝑑,𝑠   𝐢,𝑐,𝑑,π‘˜,𝑠   π‘Š,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐡(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑆(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑇(π‘˜)   𝐻(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐾(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑀(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   π‘Š(π‘˜,𝑠)   𝑋(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   π‘Œ(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)
Proof of Theorem cvmlift2lem9a
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2lem9a.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
2 cvmtop1 34320 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
4 cnrest2r 22798 . . 3 (𝐢 ∈ Top β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn (𝐢 β†Ύt π‘Š)) βŠ† ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐢))
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn (𝐢 β†Ύt π‘Š)) βŠ† ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐢))
6 cvmlift2lem9a.h . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅)
76ffnd 6718 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn π‘Œ)
8 cvmlift2lem9a.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† π‘Œ)
9 fnssres 6673 . . . . 5 ((𝐻 Fn π‘Œ ∧ 𝑀 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑀) Fn 𝑀)
107, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑀) Fn 𝑀)
11 df-ima 5689 . . . . 5 (𝐻 β€œ 𝑀) = ran (𝐻 β†Ύ 𝑀)
12 cvmlift2lem9a.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ 𝑀) βŠ† π‘Š)
1311, 12eqsstrrid 4031 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐻 β†Ύ 𝑀) βŠ† π‘Š)
14 df-f 6547 . . . 4 ((𝐻 β†Ύ 𝑀):π‘€βŸΆπ‘Š ↔ ((𝐻 β†Ύ 𝑀) Fn 𝑀 ∧ ran (𝐻 β†Ύ 𝑀) βŠ† π‘Š))
1510, 13, 14sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑀):π‘€βŸΆπ‘Š)
16 cvmlift2lem9a.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄))
17 cvmlift2lem9a.3 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ 𝑇 ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ π‘Š))
1817simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝑇)
19 cvmlift2lem9a.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
2019cvmsf1o 34332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) ∧ π‘Š ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1-onto→𝐴)
211, 16, 18, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1-onto→𝐴)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1-onto→𝐴)
23 f1of1 6832 . . . . . . . . 9 ((𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1-onto→𝐴 β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1→𝐴)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1→𝐴)
25 cvmlift2lem9a.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2625toptopon 22426 . . . . . . . . . . 11 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
273, 26sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
2819cvmsss 34327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π΄) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐢)
2916, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† 𝐢)
3029, 18sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐢)
31 toponss 22436 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ π‘Š ∈ 𝐢) β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š βŠ† 𝐡)
33 resttopon 22672 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ π‘Š βŠ† 𝐡) β†’ (𝐢 β†Ύt π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
3427, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύt π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
35 toponss 22436 . . . . . . . . 9 (((𝐢 β†Ύt π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜π‘Š) ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ π‘₯ βŠ† π‘Š)
3634, 35sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ π‘₯ βŠ† π‘Š)
37 f1imacnv 6849 . . . . . . . 8 (((𝐹 β†Ύ π‘Š):π‘Šβ€“1-1→𝐴 ∧ π‘₯ βŠ† π‘Š) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)) = π‘₯)
3824, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)) = π‘₯)
3938imaeq2d 6059 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯))) = (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ π‘₯))
40 imaco 6250 . . . . . . 7 ((β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š)) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)) = (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)))
41 cnvco 5885 . . . . . . . . 9 β—‘((𝐹 β†Ύ π‘Š) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)) = (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š))
42 cores 6248 . . . . . . . . . . . . 13 (ran (𝐻 β†Ύ 𝑀) βŠ† π‘Š β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)))
4313, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)))
44 resco 6249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) = (𝐹 ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀))
4543, 44eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)) = ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀))
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)) = ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀))
4746cnveqd 5875 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ β—‘((𝐹 β†Ύ π‘Š) ∘ (𝐻 β†Ύ 𝑀)) = β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀))
4841, 47eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š)) = β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀))
4948imaeq1d 6058 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ ((β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) ∘ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š)) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)) = (β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)))
5040, 49eqtr3id 2786 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯))) = (β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)))
5139, 50eqtr3d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ π‘₯) = (β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)))
52 cvmlift2lem9a.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
53 cvmlift2lem9a.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
5453cnrest 22796 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∘ 𝐻) ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑀 βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐽))
5552, 8, 54syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐽))
5655adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐽))
57 resima2 6016 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† π‘Š β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ π‘₯))
5836, 57syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯) = (𝐹 β€œ π‘₯))
591adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
60 restopn2 22688 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ Top ∧ π‘Š ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† π‘Š)))
613, 30, 60syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐢 ∧ π‘₯ βŠ† π‘Š)))
6261simprbda 499 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
63 cvmopn 34340 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6459, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
6558, 64eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽)
66 cnima 22776 . . . . . 6 ((((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐽) ∧ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)) ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑀))
6756, 65, 66syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘((𝐹 ∘ 𝐻) β†Ύ 𝑀) β€œ ((𝐹 β†Ύ π‘Š) β€œ π‘₯)) ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑀))
6851, 67eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)) β†’ (β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ π‘₯) ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑀))
6968ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)(β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ π‘₯) ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑀))
70 cvmlift2lem9a.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
7153toptopon 22426 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
7270, 71sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
73 resttopon 22672 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜π‘€))
7472, 8, 73syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜π‘€))
75 iscn 22746 . . . 4 (((𝐾 β†Ύt 𝑀) ∈ (TopOnβ€˜π‘€) ∧ (𝐢 β†Ύt π‘Š) ∈ (TopOnβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝐻 β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn (𝐢 β†Ύt π‘Š)) ↔ ((𝐻 β†Ύ 𝑀):π‘€βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)(β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ π‘₯) ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑀))))
7674, 34, 75syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐻 β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn (𝐢 β†Ύt π‘Š)) ↔ ((𝐻 β†Ύ 𝑀):π‘€βŸΆπ‘Š ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐢 β†Ύt π‘Š)(β—‘(𝐻 β†Ύ 𝑀) β€œ π‘₯) ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑀))))
7715, 69, 76mpbir2and 711 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn (𝐢 β†Ύt π‘Š)))
785, 77sseldd 3983 1 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ 𝑀) ∈ ((𝐾 β†Ύt 𝑀) Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17368  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735  Homeochmeo 23264   CovMap ccvm 34315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cn 22738  df-hmeo 23266  df-cvm 34316
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  34371  cvmlift3lem7  34385
  Copyright terms: Public domain W3C validator