Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem8 34859
Description: Lemma for cvmlift2 34849. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift3.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
cvmlift3.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
cvmlift3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
cvmlift3.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,π‘˜,𝑠,𝑧,𝑔,π‘₯   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,π‘₯,𝐽,𝑓,π‘˜,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠   π‘₯,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑓,π‘₯   𝐡,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐡(π‘˜,𝑠,𝑐)   𝑃(π‘˜,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(π‘˜,𝑠,𝑑)   𝑂(π‘˜,𝑠,𝑑)   π‘Œ(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables 𝑏 π‘Ž 𝑣 𝑦 π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift3.y . . 3 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
7 cvmlift3.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvmlift3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 34854 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅)
123adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
13 eqid 2727 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
142, 13cnf 23124 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
157, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
1615ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ βˆͺ 𝐽)
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
1817, 13cvmcov 34796 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…))
1912, 16, 18syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…))
20 n0 4342 . . . . . . 7 ((π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
2417cvmsrcl 34797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
26 cnima 23143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐾)
2722, 25, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐾)
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
29 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)
30 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽 β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
31 elpreima 7061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)))
3222, 14, 30, 314syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)))
3328, 29, 32mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž))
34 nlly2i 23354 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž)βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))
3521, 27, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž)βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))
363ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
374ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐾 ∈ SConn)
385ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
396ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
407ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
418ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
429ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
4329adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)
4423adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
45 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž))
4645elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ π‘š βŠ† (◑𝐺 β€œ π‘Ž))
47 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (℩𝑏 ∈ 𝑑 (π»β€˜π‘¦) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ 𝑑 (π»β€˜π‘¦) ∈ 𝑏)
48 simprr3 1221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn)
49 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
50 simprr2 1220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑣 βŠ† π‘š)
51 simprr1 1219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑣)
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 34858 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
5352expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ (π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5453rexlimdvva 3206 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž)βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
5655expr 456 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž) β†’ (𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5756exlimdv 1929 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5820, 57biimtrid 241 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ… β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5958expimpd 453 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
6059rexlimdvw 3155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
6119, 60mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
6261ralrimiva 3141 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
63 sconntop 34761 . . . . 5 (𝐾 ∈ SConn β†’ 𝐾 ∈ Top)
644, 63syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
652toptopon 22793 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6664, 65sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
67 cvmtop1 34793 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
683, 67syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
691toptopon 22793 . . . 4 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
7068, 69sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
71 cncnp 23158 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢) ↔ (𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))))
7266, 70, 71syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢) ↔ (𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))))
7311, 62, 72mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   β†Ύt crest 17387  Topctop 22769  TopOnctopon 22786   Cn ccn 23102   CnP ccnp 23103  π‘›-Locally cnlly 23343  Homeochmeo 23631  IIcii 24769  PConncpconn 34752  SConncsconn 34753   CovMap ccvm 34788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-ec 8718  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-cmp 23265  df-conn 23290  df-lly 23344  df-nlly 23345  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-ii 24771  df-cncf 24772  df-htpy 24870  df-phtpy 24871  df-phtpc 24892  df-pco 24906  df-pconn 34754  df-sconn 34755  df-cvm 34789
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator