Theorem cvmlift3lem8 36178

Description: Lemma for cvmlift2 36168. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑠, 𝑐, 𝑑)   𝐵(𝑘, 𝑠, 𝑐)   𝑃(𝑘, 𝑠)   𝑆(𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑠, 𝑐, 𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘, 𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘, 𝑠, 𝑑)   𝑂(𝑘, 𝑠, 𝑑)   𝑌(𝑘, 𝑠, 𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8

Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem3 36173	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑌⟶𝐵)
12	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	2, 13	cnf 23570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
15	7, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
16	15	ffvelcdmda 7085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽)
17		cvmlift3lem7.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
18	17, 13	cvmcov 36115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
19	12, 16, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
20		n0 4299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
21	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
22	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
24	17	cvmsrcl 36116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑎 ∈ 𝐽)
26		cnima 23589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
28		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑌)
29		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
30		ffn 6710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽 → 𝐺 Fn 𝑌)
31		elpreima 7058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
32	22, 14, 30, 31	4syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
33	28, 29, 32	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎))
34		nlly2i 23801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
35	21, 27, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
36	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
37	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ SConn)
38	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
39	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑂 ∈ 𝑌)
40	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
41	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
42	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
43	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
44	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
45		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎))
46	45	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ⊆ (◡𝐺 “ 𝑎))
47		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏)
48		simprr3 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn)
49		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ∈ 𝐾)
50		simprr2 1241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ⊆ 𝑚)
51		simprr1 1240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑦 ∈ 𝑣)
52	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51	cvmlift3lem7 36177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
53	52	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
54	53	rexlimdvva 3219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
55	35, 54	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
56	55	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
57	56	exlimdv 1965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
58	20, 57	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
59	58	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
60	59	rexlimdvw 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
61	19, 60	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
62	61	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63		sconntop 36080	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
64	4, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
65	2	toptopon 23241	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	64, 65	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67		cvmtop1 36112	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
68	3, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
69	1	toptopon 23241	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
70	68, 69	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71		cncnp 23604	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
72	66, 70, 71	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
73	11, 62, 72	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℩crio 7377  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   ↾_t crest 17597  Topctop 23217  TopOnctopon 23234   Cn ccn 23548   CnP ccnp 23549  𝑛-Locally cnlly 23790  Homeochmeo 24078  IIcii 25202  PConncpconn 36071  SConncsconn 36072   CovMap ccvm 36107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-ec 8723  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-cmp 23711  df-conn 23736  df-lly 23791  df-nlly 23792  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-ii 25204  df-cncf 25205  df-htpy 25297  df-phtpy 25298  df-phtpc 25319  df-pco 25332  df-pconn 36073  df-sconn 36074  df-cvm 36108

This theorem is used by:  cvmlift3lem9  36179