Theorem cvmlift3lem8 35298

Description: Lemma for cvmlift2 35288. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8

Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem3 35293	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑌⟶𝐵)
12	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	2, 13	cnf 23149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
15	7, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
16	15	ffvelcdmda 7022	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽)
17		cvmlift3lem7.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
18	17, 13	cvmcov 35235	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
19	12, 16, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
20		n0 4306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
21	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
22	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
24	17	cvmsrcl 35236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑎 ∈ 𝐽)
26		cnima 23168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
28		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑌)
29		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
30		ffn 6656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽 → 𝐺 Fn 𝑌)
31		elpreima 6996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
32	22, 14, 30, 31	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
33	28, 29, 32	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎))
34		nlly2i 23379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
35	21, 27, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
36	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
37	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ SConn)
38	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
39	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑂 ∈ 𝑌)
40	7	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
41	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
42	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
43	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
44	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
45		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎))
46	45	elpwid 4562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ⊆ (◡𝐺 “ 𝑎))
47		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏)
48		simprr3 1224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn)
49		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ∈ 𝐾)
50		simprr2 1223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ⊆ 𝑚)
51		simprr1 1222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑦 ∈ 𝑣)
52	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51	cvmlift3lem7 35297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
53	52	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
54	53	rexlimdvva 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
55	35, 54	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
56	55	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
57	56	exlimdv 1933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
58	20, 57	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
59	58	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
60	59	rexlimdvw 3135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
61	19, 60	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
62	61	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63		sconntop 35200	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
64	4, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
65	2	toptopon 22820	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	64, 65	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67		cvmtop1 35232	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
68	3, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
69	1	toptopon 22820	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
70	68, 69	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71		cncnp 23183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
72	66, 70, 71	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
73	11, 62, 72	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3396   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   “ cima 5626   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   ↾_t crest 17342  Topctop 22796  TopOnctopon 22813   Cn ccn 23127   CnP ccnp 23128  𝑛-Locally cnlly 23368  Homeochmeo 23656  IIcii 24784  PConncpconn 35191  SConncsconn 35192   CovMap ccvm 35227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-ec 8634  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-cmp 23290  df-conn 23315  df-lly 23369  df-nlly 23370  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-ii 24786  df-cncf 24787  df-htpy 24885  df-phtpy 24886  df-phtpc 24907  df-pco 24921  df-pconn 35193  df-sconn 35194  df-cvm 35228

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  35299