Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem8 34989
Description: Lemma for cvmlift2 34979. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift3.y π‘Œ = βˆͺ 𝐾
cvmlift3.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
cvmlift3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift3.e (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
cvmlift3.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,π‘˜,𝑠,𝑧,𝑔,π‘₯   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,π‘₯,𝐽,𝑓,π‘˜,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠   π‘₯,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑆,𝑓,π‘₯   𝐡,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑧   𝐢,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑠,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑓,π‘₯   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑧   𝑓,π‘Œ,𝑔,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐡(π‘˜,𝑠,𝑐)   𝑃(π‘˜,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(π‘˜,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(π‘˜,𝑠,𝑑)   𝑂(π‘˜,𝑠,𝑑)   π‘Œ(π‘˜,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables 𝑏 π‘Ž 𝑣 𝑦 π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift3.y . . 3 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
7 cvmlift3.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
9 cvmlift3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Œ ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆƒπ‘“ ∈ (II Cn 𝐾)((π‘“β€˜0) = 𝑂 ∧ (π‘“β€˜1) = π‘₯ ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (π‘”β€˜0) = 𝑃))β€˜1) = 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 34984 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅)
123adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
13 eqid 2725 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
142, 13cnf 23163 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
157, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽)
1615ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ βˆͺ 𝐽)
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑐) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑐)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
1817, 13cvmcov 34926 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…))
1912, 16, 18syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…))
20 n0 4343 . . . . . . 7 ((π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
215ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
227ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
2417cvmsrcl 34927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
26 cnima 23182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐾)
2722, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐾)
28 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
29 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)
30 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐽 β†’ 𝐺 Fn π‘Œ)
31 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)))
3222, 14, 30, 314syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)))
3328, 29, 32mpbir2and 711 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž))
34 nlly2i 23393 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (◑𝐺 β€œ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž)βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))
3521, 27, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž)βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))
363ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
374ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐾 ∈ SConn)
385ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
396ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑂 ∈ π‘Œ)
407ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
418ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
429ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘‚))
4329adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž)
4423adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))
45 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž))
4645elpwid 4608 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ π‘š βŠ† (◑𝐺 β€œ π‘Ž))
47 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (℩𝑏 ∈ 𝑑 (π»β€˜π‘¦) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ 𝑑 (π»β€˜π‘¦) ∈ 𝑏)
48 simprr3 1220 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn)
49 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐾)
50 simprr2 1219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑣 βŠ† π‘š)
51 simprr1 1218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑣)
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 34988 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ ((π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn))) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
5352expr 455 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) ∧ (π‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5453rexlimdvva 3202 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ 𝒫 (◑𝐺 β€œ π‘Ž)βˆƒπ‘£ ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† π‘š ∧ (𝐾 β†Ύt π‘š) ∈ PConn) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž))) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
5655expr 455 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž) β†’ (𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5756exlimdv 1928 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘‘ 𝑑 ∈ (π‘†β€˜π‘Ž) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5820, 57biimtrid 241 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž) β†’ ((π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ… β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
5958expimpd 452 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
6059rexlimdvw 3150 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝐽 ((πΊβ€˜π‘¦) ∈ π‘Ž ∧ (π‘†β€˜π‘Ž) β‰  βˆ…) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦)))
6119, 60mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
6261ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))
63 sconntop 34891 . . . . 5 (𝐾 ∈ SConn β†’ 𝐾 ∈ Top)
644, 63syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
652toptopon 22832 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
6664, 65sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
67 cvmtop1 34923 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
683, 67syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Top)
691toptopon 22832 . . . 4 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
7068, 69sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
71 cncnp 23197 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜π΅)) β†’ (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢) ↔ (𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))))
7266, 70, 71syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢) ↔ (𝐻:π‘ŒβŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐢)β€˜π‘¦))))
7311, 62, 72mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3938   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319  π’« cpw 4599  {csn 4625  βˆͺ cuni 4904   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676   ∘ ccom 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„©crio 7368  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   β†Ύt crest 17396  Topctop 22808  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   CnP ccnp 23142  π‘›-Locally cnlly 23382  Homeochmeo 23670  IIcii 24808  PConncpconn 34882  SConncsconn 34883   CovMap ccvm 34918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-conn 23329  df-lly 23383  df-nlly 23384  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-ii 24810  df-cncf 24811  df-htpy 24909  df-phtpy 24910  df-phtpc 24931  df-pco 24945  df-pconn 34884  df-sconn 34885  df-cvm 34919
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  34990
  Copyright terms: Public domain W3C validator