Theorem cvmlift3lem8 35913

Description: Lemma for cvmlift2 35903. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑠, 𝑐, 𝑑)   𝐵(𝑘, 𝑠, 𝑐)   𝑃(𝑘, 𝑠)   𝑆(𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑠, 𝑐, 𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘, 𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘, 𝑠, 𝑑)   𝑂(𝑘, 𝑠, 𝑑)   𝑌(𝑘, 𝑠, 𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8

Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem3 35908	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑌⟶𝐵)
12	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	2, 13	cnf 23477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
15	7, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
16	15	ffvelcdmda 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽)
17		cvmlift3lem7.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
18	17, 13	cvmcov 35850	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
19	12, 16, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
20		n0 4303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
21	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
22	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
24	17	cvmsrcl 35851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑎 ∈ 𝐽)
26		cnima 23496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
28		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑌)
29		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
30		ffn 6706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽 → 𝐺 Fn 𝑌)
31		elpreima 7054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
32	22, 14, 30, 31	4syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
33	28, 29, 32	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎))
34		nlly2i 23708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
35	21, 27, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
36	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
37	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ SConn)
38	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
39	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑂 ∈ 𝑌)
40	7	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
41	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
42	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
43	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
44	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
45		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎))
46	45	elpwid 4569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ⊆ (◡𝐺 “ 𝑎))
47		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏)
48		simprr3 1242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn)
49		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ∈ 𝐾)
50		simprr2 1241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ⊆ 𝑚)
51		simprr1 1240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑦 ∈ 𝑣)
52	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51	cvmlift3lem7 35912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
53	52	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
54	53	rexlimdvva 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
55	35, 54	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
56	55	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
57	56	exlimdv 1966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
58	20, 57	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
59	58	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
60	59	rexlimdvw 3170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
61	19, 60	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
62	61	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63		sconntop 35815	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
64	4, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
65	2	toptopon 23148	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	64, 65	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67		cvmtop1 35847	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
68	3, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
69	1	toptopon 23148	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
70	68, 69	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71		cncnp 23511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
72	66, 70, 71	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
73	11, 62, 72	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℩crio 7373  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   ↾_t crest 17511  Topctop 23124  TopOnctopon 23141   Cn ccn 23455   CnP ccnp 23456  𝑛-Locally cnlly 23697  Homeochmeo 23985  IIcii 25109  PConncpconn 35806  SConncsconn 35807   CovMap ccvm 35842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-ec 8702  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-cmp 23618  df-conn 23643  df-lly 23698  df-nlly 23699  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-ii 25111  df-cncf 25112  df-htpy 25204  df-phtpy 25205  df-phtpc 25226  df-pco 25239  df-pconn 35808  df-sconn 35809  df-cvm 35843

This theorem is used by:  cvmlift3lem9  35914