Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem8 31915
Description: Lemma for cvmlift2 31905. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift3.y . . 3 𝑌 = 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmlift3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 31910 . 2 (𝜑𝐻:𝑌𝐵)
123adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13 eqid 2778 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
142, 13cnf 21469 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
157, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
1615ffvelrnda 6625 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐽)
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1817, 13cvmcov 31852 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐽) → ∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
1912, 16, 18syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
20 n0 4159 . . . . . . 7 ((𝑆𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
215ad2antrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
227ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23 simprr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
2417cvmsrcl 31853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝑎𝐽)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑎𝐽)
26 cnima 21488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎𝐽) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐾)
2722, 25, 26syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐾)
28 simplr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑦𝑌)
29 simprl 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)
30 ffn 6293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑌 𝐽𝐺 Fn 𝑌)
31 elpreima 6602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝐺𝑎) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)))
3222, 14, 30, 314syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑎) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)))
3328, 29, 32mpbir2and 703 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑦 ∈ (𝐺𝑎))
34 nlly2i 21699 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (𝐺𝑎) ∈ 𝐾𝑦 ∈ (𝐺𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))
3521, 27, 33, 34syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))
363ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
374ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ SConn)
385ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
396ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑂𝑌)
407ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
418ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑃𝐵)
429ad3antrrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
4329adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)
4423adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
45 simprll 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎))
4645elpwid 4391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ⊆ (𝐺𝑎))
47 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑡 (𝐻𝑦) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝐻𝑦) ∈ 𝑏)
48 simprr3 1248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐾t 𝑚) ∈ PConn)
49 simprlr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣𝐾)
50 simprr2 1246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣𝑚)
51 simprr1 1244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑦𝑣)
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 31914 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
5352expr 450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾)) → ((𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5453rexlimdvva 3221 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
5655expr 450 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5756exlimdv 1976 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5820, 57syl5bi 234 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5958expimpd 447 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
6059rexlimdvw 3217 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
6119, 60mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
6261ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63 sconntop 31817 . . . . 5 (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
644, 63syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
652toptopon 21140 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
6664, 65sylib 210 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67 cvmtop1 31849 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
683, 67syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Top)
691toptopon 21140 . . . 4 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
7068, 69sylib 210 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71 cncnp 21503 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌𝐵 ∧ ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
7266, 70, 71syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌𝐵 ∧ ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
7311, 62, 72mpbir2and 703 1 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  cdif 3789  cin 3791  wss 3792  c0 4141  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   cuni 4673  cmpt 4967  ccnv 5356  cres 5359  cima 5360  ccom 5361   Fn wfn 6132  wf 6133  cfv 6137  crio 6884  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275  t crest 16478  Topctop 21116  TopOnctopon 21133   Cn ccn 21447   CnP ccnp 21448  𝑛-Locally cnlly 21688  Homeochmeo 21976  IIcii 23097  PConncpconn 31808  SConncsconn 31809   CovMap ccvm 31844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ec 8030  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-sum 14834  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-cmp 21610  df-conn 21635  df-lly 21689  df-nlly 21690  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-ii 23099  df-htpy 23188  df-phtpy 23189  df-phtpc 23210  df-pco 23223  df-pconn 31810  df-sconn 31811  df-cvm 31845
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  31916
  Copyright terms: Public domain W3C validator