Theorem cvmlift3lem8 35684

Description: Lemma for cvmlift2 35674. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8

Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
3		cvmlift3.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4		cvmlift3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
5		cvmlift3.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6		cvmlift3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
7		cvmlift3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8		cvmlift3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
9		cvmlift3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
10		cvmlift3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cvmlift3lem3 35679	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑌⟶𝐵)
12	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
14	2, 13	cnf 23360	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
15	7, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽)
16	15	ffvelcdmda 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽)
17		cvmlift3lem7.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐 ∩ 𝑑) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑐) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑐)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
18	17, 13	cvmcov 35621	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
19	12, 16, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅))
20		n0 4308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
21	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
22	7	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
24	17	cvmsrcl 35622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑎 ∈ 𝐽)
26		cnima 23379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
27	22, 25, 26	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾)
28		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ 𝑌)
29		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
30		ffn 6695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺:𝑌⟶∪ 𝐽 → 𝐺 Fn 𝑌)
31		elpreima 7043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
32	22, 14, 30, 31	4syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎) ↔ (𝑦 ∈ 𝑌 ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)))
33	28, 29, 32	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎))
34		nlly2i 23590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (◡𝐺 “ 𝑎) ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (◡𝐺 “ 𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
35	21, 27, 33, 34	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))
36	3	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
37	4	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ SConn)
38	5	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
39	6	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑂 ∈ 𝑌)
40	7	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
41	8	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
42	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
43	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎)
44	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))
45		simprll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎))
46	45	elpwid 4567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ⊆ (◡𝐺 “ 𝑎))
47		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏) = (℩𝑏 ∈ 𝑡 (𝐻‘𝑦) ∈ 𝑏)
48		simprr3 1240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn)
49		simprlr 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ∈ 𝐾)
50		simprr2 1239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣 ⊆ 𝑚)
51		simprr1 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑦 ∈ 𝑣)
52	1, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51	cvmlift3lem7 35683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) ∧ (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
53	52	expr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎) ∧ 𝑣 ∈ 𝐾)) → ((𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
54	53	rexlimdvva 3222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (◡𝐺 “ 𝑎)∃𝑣 ∈ 𝐾 (𝑦 ∈ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑚 ∧ (𝐾 ↾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
55	35, 54	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
56	55	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
57	56	exlimdv 1956	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆‘𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
58	20, 57	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ (𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆‘𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
59	58	expimpd 458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
60	59	rexlimdvw 3171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (∃𝑎 ∈ 𝐽 ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆‘𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
61	19, 60	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
62	61	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63		sconntop 35586	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
64	4, 63	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
65	2	toptopon 23031	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
66	64, 65	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67		cvmtop1 35618	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
68	3, 67	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Top)
69	1	toptopon 23031	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
70	68, 69	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71		cncnp 23394	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
72	66, 70, 71	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
73	11, 62, 72	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  ℩crio 7356  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   ↾_t crest 17461  Topctop 23007  TopOnctopon 23024   Cn ccn 23338   CnP ccnp 23339  𝑛-Locally cnlly 23579  Homeochmeo 23867  IIcii 24991  PConncpconn 35577  SConncsconn 35578   CovMap ccvm 35613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-ec 8684  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-cmp 23501  df-conn 23526  df-lly 23580  df-nlly 23581  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-ii 24993  df-cncf 24994  df-htpy 25086  df-phtpy 25087  df-phtpc 25108  df-pco 25121  df-pconn 35579  df-sconn 35580  df-cvm 35614

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  35685