Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem8 32577
Description: Lemma for cvmlift2 32567. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3.h 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
cvmlift3lem7.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem8 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑧,𝑔,𝑥   𝐽,𝑐   𝑔,𝑑,𝑥,𝐽,𝑓,𝑘,𝑠   𝐹,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠   𝑥,𝑧,𝐹   𝐻,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑆,𝑓,𝑥   𝐵,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝐺,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝑧   𝐶,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑘,𝑠,𝑥,𝑧   𝜑,𝑓,𝑥   𝐾,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑃,𝑐,𝑑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑂,𝑐,𝑓,𝑔,𝑥,𝑧   𝑓,𝑌,𝑔,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑘,𝑠,𝑐)   𝑃(𝑘,𝑠)   𝑆(𝑧,𝑔,𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑘,𝑠)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑂(𝑘,𝑠,𝑑)   𝑌(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift3lem8
Dummy variables 𝑏 𝑎 𝑣 𝑦 𝑚 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . 3 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift3.y . . 3 𝑌 = 𝐾
3 cvmlift3.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmlift3.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
5 cvmlift3.l . . 3 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
6 cvmlift3.o . . 3 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmlift3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
8 cvmlift3.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift3.e . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
10 cvmlift3.h . . 3 𝐻 = (𝑥𝑌 ↦ (𝑧𝐵𝑓 ∈ (II Cn 𝐾)((𝑓‘0) = 𝑂 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑓) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cvmlift3lem3 32572 . 2 (𝜑𝐻:𝑌𝐵)
123adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
13 eqid 2820 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
142, 13cnf 21826 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) → 𝐺:𝑌 𝐽)
157, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑌 𝐽)
1615ffvelrnda 6823 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐽)
17 cvmlift3lem7.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1817, 13cvmcov 32514 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐽) → ∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
1912, 16, 18syl2anc 586 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅))
20 n0 4282 . . . . . . 7 ((𝑆𝑎) ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
215ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
227ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
23 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
2417cvmsrcl 32515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝑎𝐽)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑎𝐽)
26 cnima 21845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝑎𝐽) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐾)
2722, 25, 26syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝐺𝑎) ∈ 𝐾)
28 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑦𝑌)
29 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)
30 ffn 6486 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑌 𝐽𝐺 Fn 𝑌)
31 elpreima 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝐺𝑎) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)))
3222, 14, 30, 314syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (𝑦 ∈ (𝐺𝑎) ↔ (𝑦𝑌 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)))
3328, 29, 32mpbir2and 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝑦 ∈ (𝐺𝑎))
34 nlly2i 22056 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ (𝐺𝑎) ∈ 𝐾𝑦 ∈ (𝐺𝑎)) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))
3521, 27, 33, 34syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → ∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))
363ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
374ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ SConn)
385ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
396ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑂𝑌)
407ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
418ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑃𝐵)
429ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
4329adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝑎)
4423adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑡 ∈ (𝑆𝑎))
45 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎))
4645elpwid 4522 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑚 ⊆ (𝐺𝑎))
47 eqid 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑡 (𝐻𝑦) ∈ 𝑏) = (𝑏𝑡 (𝐻𝑦) ∈ 𝑏)
48 simprr3 1219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → (𝐾t 𝑚) ∈ PConn)
49 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣𝐾)
50 simprr2 1218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑣𝑚)
51 simprr1 1217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝑦𝑣)
521, 2, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 10, 17, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51cvmlift3lem7 32576 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ ((𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾) ∧ (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
5352expr 459 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) ∧ (𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎) ∧ 𝑣𝐾)) → ((𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5453rexlimdvva 3279 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → (∃𝑚 ∈ 𝒫 (𝐺𝑎)∃𝑣𝐾 (𝑦𝑣𝑣𝑚 ∧ (𝐾t 𝑚) ∈ PConn) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5535, 54mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎𝑡 ∈ (𝑆𝑎))) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
5655expr 459 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → (𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5756exlimdv 1934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → (∃𝑡 𝑡 ∈ (𝑆𝑎) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5820, 57syl5bi 244 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝑎) → ((𝑆𝑎) ≠ ∅ → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
5958expimpd 456 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
6059rexlimdvw 3275 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (∃𝑎𝐽 ((𝐺𝑦) ∈ 𝑎 ∧ (𝑆𝑎) ≠ ∅) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦)))
6119, 60mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
6261ralrimiva 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))
63 sconntop 32479 . . . . 5 (𝐾 ∈ SConn → 𝐾 ∈ Top)
644, 63syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
652toptopon 21497 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
6664, 65sylib 220 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
67 cvmtop1 32511 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
683, 67syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Top)
691toptopon 21497 . . . 4 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
7068, 69sylib 220 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
71 cncnp 21860 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌𝐵 ∧ ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
7266, 70, 71syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶) ↔ (𝐻:𝑌𝐵 ∧ ∀𝑦𝑌 𝐻 ∈ ((𝐾 CnP 𝐶)‘𝑦))))
7311, 62, 72mpbir2and 711 1 (𝜑𝐻 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wex 1780  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  wrex 3126  {crab 3129  cdif 3906  cin 3908  wss 3909  c0 4265  𝒫 cpw 4511  {csn 4539   cuni 4810  cmpt 5118  ccnv 5526  cres 5529  cima 5530  ccom 5531   Fn wfn 6322  wf 6323  cfv 6327  crio 7086  (class class class)co 7129  0cc0 10511  1c1 10512  t crest 16669  Topctop 21473  TopOnctopon 21490   Cn ccn 21804   CnP ccnp 21805  𝑛-Locally cnlly 22045  Homeochmeo 22333  IIcii 23455  PConncpconn 32470  SConncsconn 32471   CovMap ccvm 32506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-inf2 9078  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-pre-sup 10589  ax-addf 10590  ax-mulf 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-2o 8077  df-oadd 8080  df-er 8263  df-ec 8265  df-map 8382  df-ixp 8436  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-fi 8849  df-sup 8880  df-inf 8881  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-dec 12074  df-uz 12219  df-q 12324  df-rp 12365  df-xneg 12482  df-xadd 12483  df-xmul 12484  df-ioo 12717  df-ico 12719  df-icc 12720  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-fl 13142  df-seq 13350  df-exp 13411  df-hash 13672  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-sqrt 14570  df-abs 14571  df-clim 14821  df-sum 15019  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-starv 16555  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-ip 16558  df-tset 16559  df-ple 16560  df-ds 16562  df-unif 16563  df-hom 16564  df-cco 16565  df-rest 16671  df-topn 16672  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-topgen 16692  df-pt 16693  df-prds 16696  df-xrs 16750  df-qtop 16755  df-imas 16756  df-xps 16758  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-submnd 17932  df-mulg 18200  df-cntz 18422  df-cmn 18883  df-psmet 20509  df-xmet 20510  df-met 20511  df-bl 20512  df-mopn 20513  df-cnfld 20518  df-top 21474  df-topon 21491  df-topsp 21513  df-bases 21526  df-cld 21599  df-ntr 21600  df-cls 21601  df-nei 21678  df-cn 21807  df-cnp 21808  df-cmp 21967  df-conn 21992  df-lly 22046  df-nlly 22047  df-tx 22142  df-hmeo 22335  df-xms 22902  df-ms 22903  df-tms 22904  df-ii 23457  df-htpy 23550  df-phtpy 23551  df-phtpc 23572  df-pco 23585  df-pconn 32472  df-sconn 32473  df-cvm 32507
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem9  32578
  Copyright terms: Public domain W3C validator