Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmsf1o Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmsf1o 34549
Description: 𝐹, localized to an element of an even covering of π‘ˆ, is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
Assertion
Ref Expression
cvmsf1o ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣,𝐢   π‘˜,𝐹,𝑠,𝑒,𝑣   π‘˜,𝐽,𝑠,𝑒,𝑣   π‘ˆ,π‘˜,𝑠,𝑒,𝑣   𝑇,𝑠,𝑒,𝑣   𝑒,𝐴,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑒,π‘˜,𝑠)   𝑇(π‘˜)
Proof of Theorem cvmsf1o
StepHypRef Expression
1 cvmtop1 34537 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐢 ∈ Top)
213ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐢 ∈ Top)
3 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐢 = βˆͺ 𝐢
43toptopon 22639 . . . 4 (𝐢 ∈ Top ↔ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐢))
52, 4sylib 217 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐢 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐢))
6 cvmcov.1 . . . . . . 7 𝑆 = (π‘˜ ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐢 βˆ– {βˆ…}) ∣ (βˆͺ 𝑠 = (◑𝐹 β€œ π‘˜) ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 βˆ– {𝑒})(𝑒 ∩ 𝑣) = βˆ… ∧ (𝐹 β†Ύ 𝑒) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝑒)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘˜))))})
76cvmsss 34544 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐢)
873ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐢)
9 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝑇)
108, 9sseldd 3983 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ 𝐢)
11 elssuni 4941 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐢 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐢)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐢)
13 resttopon 22885 . . 3 ((𝐢 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐢) ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐢) β†’ (𝐢 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
145, 12, 13syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐢 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
15 cvmtop2 34538 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
16153ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ Top)
17 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1817toptopon 22639 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
1916, 18sylib 217 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
206cvmsrcl 34541 . . . . 5 (𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
21203ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
22 elssuni 4941 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
24 resttopon 22885 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
2519, 23, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ))
266cvmshmeo 34548 . . 3 ((𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝐴)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
27263adant1 1130 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝐴)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘ˆ)))
28 hmeof1o2 23487 . 2 (((𝐢 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ (𝐽 β†Ύt π‘ˆ) ∈ (TopOnβ€˜π‘ˆ) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐢 β†Ύt 𝐴)Homeo(𝐽 β†Ύt π‘ˆ))) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
2914, 25, 27, 28syl3anc 1371 1 ((𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (π‘†β€˜π‘ˆ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-ontoβ†’π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Homeochmeo 23477   CovMap ccvm 34532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-hmeo 23479  df-cvm 34533
This theorem is referenced by:  cvmsss2  34551  cvmfolem  34556  cvmliftmolem1  34558  cvmliftlem6  34567  cvmliftlem9  34570  cvmlift2lem9a  34580
  Copyright terms: Public domain W3C validator