Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval4N 38798
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval4.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrval4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval4.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem cvrval4N
StepHypRef Expression
1 cvrval4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrval4.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrval4.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 38653 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6 cvrval4.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cvrval4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 5, 6, 3, 7cvrval3 38797 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
109reximi 3078 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
118, 10syl6bi 253 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
1211imp 406 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
134, 12jca 511 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
1413ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
15 simp1r 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
16 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
1715, 16breqtrrd 5169 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18 simp1l1 1263 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1264 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
211, 5, 6, 3, 7cvr1 38794 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
231, 2, 6, 3, 7cvr2N 38795 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
2418, 19, 20, 23syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
2522, 24bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
2617, 25mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)
2726, 16jca 511 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
28273exp 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
2928reximdvai 3159 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
3029expimpd 453 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
3130, 8sylibrd 259 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
3214, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  ltcplt 18273  joincjn 18276   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator