Theorem cvrval4N 40471

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrval4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrval4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrval4.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrval4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 40327	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
5		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		cvrval4.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cvrval4.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 6, 3, 7	cvrval3 40470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
10	9	reximi 3101	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
11	8, 10	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
12	11	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
13	4, 12	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
14	13	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
15		simp1r 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
16		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
17	15, 16	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18		simp1l1 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21	1, 5, 6, 3, 7	cvr1 40467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
23	1, 2, 6, 3, 7	cvr2N 40468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
25	22, 24	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
26	17, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
27	26, 16	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
28	27	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))))
29	28	reximdvai 3174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
30	29	expimpd 459	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
31	30, 8	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
32	14, 31	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  lecple 17435  ltcplt 18482  joincjn 18485   ⋖ ccvr 40319  Atomscatm 40320  HLchlt 40407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408

This theorem is used by: (None)