Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval4N 38280
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval4.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrval4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval4.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem cvrval4N
StepHypRef Expression
1 cvrval4.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrval4.s . . . . 5 < = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrval4.c . . . . 5 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 38135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
6 cvrval4.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cvrval4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 5, 6, 3, 7cvrval3 38279 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
109reximi 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
118, 10syl6bi 252 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
1211imp 407 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
134, 12jca 512 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
1413ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
15 simp1r 1198 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑋 < π‘Œ)
16 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
1715, 16breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18 simp1l1 1266 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1267 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
211, 5, 6, 3, 7cvr1 38276 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
2218, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
231, 2, 6, 3, 7cvr2N 38277 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
2418, 19, 20, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
2522, 24bitr4d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
2617, 25mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)
2726, 16jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
28273exp 1119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
2928reximdvai 3165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
3029expimpd 454 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
3130, 8sylibrd 258 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
3214, 31impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  ltcplt 18260  joincjn 18263   β‹– ccvr 38127  Atomscatm 38128  HLchlt 38215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator