Theorem cvrval4N 39411

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrval4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrval4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrval4.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrval4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 39266	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		cvrval4.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cvrval4.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 6, 3, 7	cvrval3 39410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
10	9	reximi 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
11	8, 10	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
13	4, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
14	13	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
15		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
16		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
17	15, 16	breqtrrd 5179	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18		simp1l1 1267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21	1, 5, 6, 3, 7	cvr1 39407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
23	1, 2, 6, 3, 7	cvr2N 39408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
25	22, 24	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
26	17, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
27	26, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
28	27	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))))
29	28	reximdvai 3165	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
30	29	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
31	30, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
32	14, 31	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  lecple 17314  ltcplt 18375  joincjn 18378   ⋖ ccvr 39258  Atomscatm 39259  HLchlt 39346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-lat 18499  df-clat 18566  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347

This theorem is referenced by: (None)