Theorem cvrval4N 39408

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrval4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrval4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrval4.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrval4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 39263	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		cvrval4.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cvrval4.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 6, 3, 7	cvrval3 39407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
10	9	reximi 3067	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
11	8, 10	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
13	4, 12	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
14	13	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
15		simp1r 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
16		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
17	15, 16	breqtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18		simp1l1 1267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21	1, 5, 6, 3, 7	cvr1 39404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
23	1, 2, 6, 3, 7	cvr2N 39405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
25	22, 24	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
26	17, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
27	26, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
28	27	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))))
29	28	reximdvai 3144	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
30	29	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
31	30, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
32	14, 31	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  joincjn 18272   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by: (None)