Theorem cvrval4N 37470

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrval4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   < ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrval4.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrval4.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrval4.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 37326	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6		cvrval4.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cvrval4.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 6, 3, 7	cvrval3 37469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
9		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
10	9	reximi 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
11	8, 10	syl6bi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
12	11	imp 408	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
13	4, 12	jca 513	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
14	13	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
15		simp1r 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
16		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
17	15, 16	breqtrrd 5109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝))
18		simp1l1 1266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21	1, 5, 6, 3, 7	cvr1 37466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
23	1, 2, 6, 3, 7	cvr2N 37467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝) ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
25	22, 24	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 < (𝑋 ∨ 𝑝)))
26	17, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
27	26, 16	jca 513	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
28	27	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))))
29	28	reximdvai 3159	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
30	29	expimpd 455	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
31	30, 8	sylibrd 259	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
32	14, 31	impbid 211	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  lecple 17014  ltcplt 18071  joincjn 18074   ⋖ ccvr 37318  Atomscatm 37319  HLchlt 37406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-lat 18195  df-clat 18262  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407

This theorem is referenced by: (None)