Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat2 37180
Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 30468 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat2.j = (join‘𝐾)
cvrat2.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrat2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)

Proof of Theorem cvrat2
StepHypRef Expression
1 cvrat2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrat2.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
3 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 cvrat2.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5 cvrat2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5atcvrj0 37179 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
763expa 1120 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
87necon3bid 2985 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝑄))
9 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simpr1 1196 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
11 hllat 37114 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1211adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13 simpr2 1197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
141, 5atbase 37040 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐵)
16 simpr3 1198 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
171, 5atbase 37040 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐵)
191, 2latjcl 17945 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
2012, 15, 18, 19syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
221, 21, 4cvrlt 37021 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2322ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
249, 10, 20, 23syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
251, 21, 2, 3, 5cvrat 37173 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
2625expcomd 420 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴)))
2724, 26syld 47 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴)))
2827imp 410 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴))
298, 28sylbird 263 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑃𝑄𝑋𝐴))
3029ex 416 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → (𝑃𝑄𝑋𝐴)))
3130com23 86 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃𝑄 → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋𝐴)))
3231impd 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
33323impia 1119 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  ltcplt 17815  joincjn 17818  0.cp0 17929  Latclat 17937  ccvr 37013  Atomscatm 37014  HLchlt 37101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102
This theorem is referenced by:  cvrat3  37193  atcvrlln  37271  lncvrelatN  37532
  Copyright terms: Public domain W3C validator