Theorem cvrat2 39685

Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 32462 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrat2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cvrat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrat2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrat2.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		cvrat2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5		cvrat2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	atcvrj0 39684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
7	6	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
8	7	necon3bid 2976	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
9		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpr1 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		hllat 39619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13		simpr2 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
14	1, 5	atbase 39545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
16		simpr3 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	1, 5	atbase 39545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
19	1, 2	latjcl 18362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
20	12, 15, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
22	1, 21, 4	cvrlt 39526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
23	22	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	9, 10, 20, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	1, 21, 2, 3, 5	cvrat 39678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
26	25	expcomd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
27	24, 26	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
28	27	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴))
29	8, 28	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → 𝑋 ∈ 𝐴))
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑃 ≠ 𝑄 → 𝑋 ∈ 𝐴)))
31	30	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
32	31	impd 410	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
33	32	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ltcplt 18231  joincjn 18234  0.cp0 18344  Latclat 18354   ⋖ ccvr 39518  Atomscatm 39519  HLchlt 39606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607

This theorem is referenced by:  cvrat3  39698  atcvrlln  39776  lncvrelatN  40037