Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrat2 37859
Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 31215 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrat2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat2.j = (join‘𝐾)
cvrat2.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrat2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)

Proof of Theorem cvrat2
StepHypRef Expression
1 cvrat2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrat2.j . . . . . . . . 9 = (join‘𝐾)
3 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 cvrat2.c . . . . . . . . 9 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5 cvrat2.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5atcvrj0 37858 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
763expa 1118 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
87necon3bid 2986 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝑄))
9 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
11 hllat 37792 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13 simpr2 1195 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
141, 5atbase 37718 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐵)
16 simpr3 1196 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
171, 5atbase 37718 . . . . . . . . . . 11 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐵)
191, 2latjcl 18320 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
2012, 15, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
221, 21, 4cvrlt 37699 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄))
2322ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
249, 10, 20, 23syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
251, 21, 2, 3, 5cvrat 37852 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
2625expcomd 417 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴)))
2724, 26syld 47 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴)))
2827imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋𝐴))
298, 28sylbird 259 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → (𝑃𝑄𝑋𝐴))
3029ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → (𝑃𝑄𝑋𝐴)))
3130com23 86 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃𝑄 → (𝑋𝐶(𝑃 𝑄) → 𝑋𝐴)))
3231impd 411 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄)) → 𝑋𝐴))
33323impia 1117 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑃𝑄𝑋𝐶(𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  ltcplt 18189  joincjn 18192  0.cp0 18304  Latclat 18312  ccvr 37691  Atomscatm 37692  HLchlt 37779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-lat 18313  df-clat 18380  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780
This theorem is referenced by:  cvrat3  37872  atcvrlln  37950  lncvrelatN  38211
  Copyright terms: Public domain W3C validator