Theorem cvrat2 37180

Description: A Hilbert lattice element covered by the join of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 30468 analog.) (Contributed by NM, 30-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrat2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrat2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrat2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrat2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cvrat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrat2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrat2.j	. . . . . . . . 9 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		cvrat2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
5		cvrat2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	atcvrj0 37179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
7	6	3expa 1120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 = 𝑄))
8	7	necon3bid 2985	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
9		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
10		simpr1 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		hllat 37114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
12	11	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13		simpr2 1197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
14	1, 5	atbase 37040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
16		simpr3 1198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
17	1, 5	atbase 37040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
19	1, 2	latjcl 17945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
20	12, 15, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
21		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
22	1, 21, 4	cvrlt 37021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
23	22	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
24	9, 10, 20, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
25	1, 21, 2, 3, 5	cvrat 37173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
26	25	expcomd 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋(lt‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
27	24, 26	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
28	27	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐴))
29	8, 28	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → 𝑋 ∈ 𝐴))
30	29	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑃 ≠ 𝑄 → 𝑋 ∈ 𝐴)))
31	30	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
32	31	impd 414	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
33	32	3impia 1119	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑋𝐶(𝑃 ∨ 𝑄))) → 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  ltcplt 17815  joincjn 17818  0.cp0 17929  Latclat 17937   ⋖ ccvr 37013  Atomscatm 37014  HLchlt 37101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102

This theorem is referenced by:  cvrat3  37193  atcvrlln  37271  lncvrelatN  37532