Theorem diffib 30376

Description: Case where diffi 8764 is a biconditional. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
diffib	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))

Proof of Theorem diffib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 8764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3		difinf 8806	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
4	3	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
5	4	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
6	5	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
7	6	imp 411	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	impbida 801	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3851  Fincfn 8520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8521  df-fin 8524

This theorem is referenced by:  fsupprnfi  30535