Theorem diffib 32611

Description: Case where diffi 9103 is a biconditional. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
diffib	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))

Proof of Theorem diffib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
2	1	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3		difinf 9215	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
4	3	ancoms 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
5	4	ex 414	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
6	5	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
7	6	imp 408	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	impbida 807	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3881  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-om 7810  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  fsupprnfi  32786