Theorem diffib 32607

Description: Case where diffi 9111 is a biconditional. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
diffib	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))

Proof of Theorem diffib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diffi 9111	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3		difinf 9223	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
4	3	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
5	4	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
6	5	con4d 115	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
7	6	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	impbida 801	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  fsupprnfi  32781