MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difinf 8772
Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
difinf ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf
StepHypRef Expression
1 unfi 8769 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2 undif1 4405 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
32eleq1i 2906 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
4 unfir 8770 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
54simpld 498 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
63, 5sylbi 220 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
71, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
87expcom 417 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
98con3d 155 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
109impcom 411 1 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wcel 2115  cdif 3915  cun 3916  Fincfn 8492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496
This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  9644  bitsf1  15782  cusgrfilem3  27236  hasheuni  31362  topdifinffinlem  34666  eldioph2lem2  39534
  Copyright terms: Public domain W3C validator