Theorem difinf 9259

Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
difinf	⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9143	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		undif1 4433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3	2	eleq1i 2856	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4		unfir 9256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6	3, 5	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	expcom 418	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
9	8	con3d 153	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
10	9	impcom 412	1 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-en 8932  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  10207  bitsf1  16492  cusgrfilem3  29712  diffib  32773  hasheuni  34387  fineqvnttrclse  35427  topdifinffinlem  37848  eldioph2lem2  43349