Theorem difinf 9350

Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
difinf	⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		undif1 4475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3	2	eleq1i 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4		unfir 9347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6	3, 5	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
9	8	con3d 152	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
10	9	impcom 407	1 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948  Fincfn 8986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990

This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  10277  bitsf1  16484  cusgrfilem3  29476  diffib  32541  hasheuni  34087  topdifinffinlem  37349  eldioph2lem2  42777