MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difinf 9315
Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
difinf ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf
StepHypRef Expression
1 unfi 9171 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2 undif1 4470 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
32eleq1i 2818 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
4 unfir 9313 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
54simpld 494 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
63, 5sylbi 216 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
71, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
87expcom 413 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
98con3d 152 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
109impcom 407 1 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wcel 2098  cdif 3940  cun 3941  Fincfn 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-en 8939  df-fin 8942
This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  10231  bitsf1  16392  cusgrfilem3  29219  diffib  32264  hasheuni  33613  topdifinffinlem  36735  eldioph2lem2  42058
  Copyright terms: Public domain W3C validator