Theorem difinf 9346

Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
difinf	⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		undif1 4477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3	2	eleq1i 2819	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4		unfir 9343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6	3, 5	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	expcom 412	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
9	8	con3d 152	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
10	9	impcom 406	1 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945  Fincfn 8968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-om 7875  df-1o 8491  df-en 8969  df-fin 8972

This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  10266  bitsf1  16426  cusgrfilem3  29289  diffib  32336  hasheuni  33709  topdifinffinlem  36831  eldioph2lem2  42184