Theorem difinf 9347

Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
difinf	⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 9210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2		undif1 4482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
3	2	eleq1i 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin)
4		unfir 9344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6	3, 5	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
9	8	con3d 152	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin))
10	9	impcom 407	1 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  10274  bitsf1  16480  cusgrfilem3  29490  diffib  32549  hasheuni  34066  topdifinffinlem  37330  eldioph2lem2  42749