Theorem diffi 9242

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4159	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  php  9273  dif1ennnALT  9339  fodomfir  9396  dif1card  10079  hashun2  14432  hashun3  14433  hashssdif  14461  hashdifpr  14464  hashfun  14486  hashf1lem2  14505  fsumsplit1  15793  fsumdifsnconst  15839  hash2iun1dif1  15872  incexc  15885  fprodeq0g  16042  fprodfvdvdsd  16382  ramub1lem1  17073  ramub1lem2  17074  prmdvdsprmo  17089  psgnprfval  19563  sylow2alem2  19660  sylow2a  19661  gsummgp0  20341  psgnfix1  21639  psgndiflemB  21641  psgndif  21643  copsgndif  21644  dmatmul  22524  submaval  22608  1marepvsma1  22610  gsummatr01lem3  22684  gsummatr01  22686  smadiadetlem3  22695  smadiadet  22697  cramerimplem1  22710  cmpcld  23431  alexsubALTlem3  24078  cldsubg  24140  xrge0gsumle  24874  amgm  27052  rpvmasum2  27574  numedglnl  29179  cusgrfilem3  29493  finsumvtxdg2ssteplem4  29584  finsumvtxdg2sstep  29585  diffib  32551  unidifsnel  32563  unidifsnne  32564  fprodeq02  32827  gsummptres  33035  cycpmconjslem2  33148  elrspunidl  33421  indsumin  33986  gsumesum  34023  ballotlemfp1  34456  ballotlemgun  34489  hgt750lemd  34625  hgt750lemb  34633  hgt750leme  34635  tgoldbachgtde  34637  subfacp1lem1  35147  subfacp1lem3  35150  topdifinfindis  37312  matunitlindflem1  37576  poimirlem25  37605  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem30  37610  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  unitscyglem4  42155  elrfi  42650  eldioph2lem1  42716  eldioph2lem2  42717  pellexlem5  42789  fsumnncl  45493  fprod0  45517  dvmptfprodlem  45865  stoweidlem44  45965  stoweidlem57  45978  fourierdlem42  46070  fourierdlem102  46129  fourierdlem114  46141  etransclem25  46180  etransclem35  46190  hspmbllem2  46548  fsummsndifre  47246  fsummmodsndifre  47248  mgpsumunsn  48086  mgpsumz  48087  mgpsumn  48088