Theorem diffi 9144

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4101	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3913   ⊆ wss 3916  Fincfn 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-om 7845  df-1o 8436  df-en 8921  df-fin 8924

This theorem is referenced by:  php  9176  dif1ennnALT  9228  fodomfir  9285  dif1card  9969  hashun2  14354  hashun3  14355  hashssdif  14383  hashdifpr  14386  hashfun  14408  hashf1lem2  14427  fsumsplit1  15717  fsumdifsnconst  15763  hash2iun1dif1  15796  incexc  15809  fprodeq0g  15966  fprodfvdvdsd  16310  ramub1lem1  17003  ramub1lem2  17004  prmdvdsprmo  17019  psgnprfval  19457  sylow2alem2  19554  sylow2a  19555  gsummgp0  20233  psgnfix1  21513  psgndiflemB  21515  psgndif  21517  copsgndif  21518  dmatmul  22390  submaval  22474  1marepvsma1  22476  gsummatr01lem3  22550  gsummatr01  22552  smadiadetlem3  22561  smadiadet  22563  cramerimplem1  22576  cmpcld  23295  alexsubALTlem3  23942  cldsubg  24004  xrge0gsumle  24728  amgm  26907  rpvmasum2  27429  numedglnl  29077  cusgrfilem3  29391  finsumvtxdg2ssteplem4  29482  finsumvtxdg2sstep  29483  diffib  32456  unidifsnel  32470  unidifsnne  32471  fprodeq02  32754  indsumin  32791  gsummptres  32998  cycpmconjslem2  33118  elrspunidl  33405  gsumesum  34055  ballotlemfp1  34489  ballotlemgun  34522  hgt750lemd  34645  hgt750lemb  34653  hgt750leme  34655  tgoldbachgtde  34657  subfacp1lem1  35166  subfacp1lem3  35169  topdifinfindis  37329  matunitlindflem1  37605  poimirlem25  37634  poimirlem26  37635  poimirlem27  37636  poimirlem30  37639  aks6d1c5lem3  42120  aks6d1c5lem2  42121  unitscyglem4  42181  elrfi  42675  eldioph2lem1  42741  eldioph2lem2  42742  pellexlem5  42814  fsumnncl  45563  fprod0  45587  dvmptfprodlem  45935  stoweidlem44  46035  stoweidlem57  46048  fourierdlem42  46140  fourierdlem102  46199  fourierdlem114  46211  etransclem25  46250  etransclem35  46260  hspmbllem2  46618  fsummsndifre  47363  fsummmodsndifre  47365  isubgr3stgrlem2  47956  mgpsumunsn  48339  mgpsumz  48340  mgpsumn  48341