Theorem diffi 9190

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4083	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  Fincfn 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-1o 8476  df-en 8974  df-fin 8977

This theorem is used by:  php  9222  dif1ennnALT  9268  fodomfir  9319  dif1card  10089  hashun2  14527  hashun3  14528  hashssdif  14557  hashdifpr  14560  hashfun  14582  hashf1lem2  14601  fsumsplit1  15911  fsumdifsnconst  15958  hash2iun1dif1  15991  incexc  16006  fprodeq0g  16161  fprodfvdvdsd  16504  ramub1lem1  17204  ramub1lem2  17205  prmdvdsprmo  17220  psgnprfval  19735  sylow2alem2  19832  sylow2a  19833  gsummgp0  20547  psgnfix1  21904  psgndiflemB  21906  psgndif  21908  copsgndif  21909  dmatmul  22812  submaval  22896  1marepvsma1  22898  gsummatr01lem3  22972  gsummatr01  22974  smadiadetlem3  22983  smadiadet  22985  matunitlindflem1  22994  cramerimplem1  23001  cmpcld  23720  alexsubALTlem3  24368  cldsubg  24430  xrge0gsumle  25153  amgm  27318  rpvmasum2  27839  numedglnl  29722  cusgrfilem3  30038  finsumvtxdg2ssteplem4  30129  finsumvtxdg2sstep  30130  diffib  33117  unidifsnel  33131  unidifsnne  33132  fprodeq02  33415  indsumin  33428  gsummptres  33613  cycpmconjslem2  33716  elrspunidl  33978  vietalem  34211  gsumesum  34691  ballotlemfp1  35124  ballotlemgun  35157  hgt750lemd  35277  hgt750lemb  35285  hgt750leme  35287  tgoldbachgtde  35289  subfacp1lem1  35944  subfacp1lem3  35947  topdifinfindis  38269  poimirlem25  38563  poimirlem26  38564  poimirlem27  38565  poimirlem30  38568  aks6d1c5lem3  43187  aks6d1c5lem2  43188  unitscyglem4  43248  elrfi  43704  eldioph2lem1  43770  eldioph2lem2  43771  pellexlem5  43839  fsumnncl  46583  fprod0  46607  dvmptfprodlem  46953  stoweidlem44  47053  stoweidlem57  47066  fourierdlem42  47158  fourierdlem102  47217  fourierdlem114  47229  etransclem25  47268  etransclem35  47278  hspmbllem2  47636  fsummsndifre  48449  fsummmodsndifre  48451  isubgr3stgrlem2  49064  mgpsumunsn  49472  mgpsumz  49473  mgpsumn  49474