Theorem diffi 9103

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4077	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9101	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  Fincfn 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891

This theorem is referenced by:  php  9135  dif1ennnALT  9181  fodomfir  9232  dif1card  9926  hashun2  14339  hashun3  14340  hashssdif  14368  hashdifpr  14371  hashfun  14393  hashf1lem2  14412  fsumsplit1  15701  fsumdifsnconst  15748  hash2iun1dif1  15781  incexc  15796  fprodeq0g  15953  fprodfvdvdsd  16297  ramub1lem1  16991  ramub1lem2  16992  prmdvdsprmo  17007  psgnprfval  19490  sylow2alem2  19587  sylow2a  19588  gsummgp0  20291  psgnfix1  21591  psgndiflemB  21593  psgndif  21595  copsgndif  21596  dmatmul  22475  submaval  22559  1marepvsma1  22561  gsummatr01lem3  22635  gsummatr01  22637  smadiadetlem3  22646  smadiadet  22648  cramerimplem1  22661  cmpcld  23380  alexsubALTlem3  24027  cldsubg  24089  xrge0gsumle  24812  amgm  26971  rpvmasum2  27492  numedglnl  29230  cusgrfilem3  29544  finsumvtxdg2ssteplem4  29635  finsumvtxdg2sstep  29636  diffib  32609  unidifsnel  32623  unidifsnne  32624  fprodeq02  32915  indsumin  32939  gsummptres  33131  cycpmconjslem2  33234  elrspunidl  33506  vietalem  33741  gsumesum  34222  ballotlemfp1  34655  ballotlemgun  34688  hgt750lemd  34811  hgt750lemb  34819  hgt750leme  34821  tgoldbachgtde  34823  subfacp1lem1  35380  subfacp1lem3  35383  topdifinfindis  37679  matunitlindflem1  37954  poimirlem25  37983  poimirlem26  37984  poimirlem27  37985  poimirlem30  37988  aks6d1c5lem3  42593  aks6d1c5lem2  42594  unitscyglem4  42654  elrfi  43143  eldioph2lem1  43209  eldioph2lem2  43210  pellexlem5  43282  fsumnncl  46023  fprod0  46047  dvmptfprodlem  46393  stoweidlem44  46493  stoweidlem57  46506  fourierdlem42  46598  fourierdlem102  46657  fourierdlem114  46669  etransclem25  46708  etransclem35  46718  hspmbllem2  47076  fsummsndifre  47843  fsummmodsndifre  47845  isubgr3stgrlem2  48458  mgpsumunsn  48852  mgpsumz  48853  mgpsumn  48854