Theorem diffi 9100

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4067	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9098	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 697	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  Fincfn 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7808  df-1o 8396  df-en 8885  df-fin 8888

This theorem is referenced by:  php  9132  dif1ennnALT  9178  fodomfir  9229  dif1card  9924  hashun2  14337  hashun3  14338  hashssdif  14366  hashdifpr  14369  hashfun  14391  hashf1lem2  14410  fsumsplit1  15699  fsumdifsnconst  15746  hash2iun1dif1  15779  incexc  15794  fprodeq0g  15951  fprodfvdvdsd  16295  ramub1lem1  16989  ramub1lem2  16990  prmdvdsprmo  17005  psgnprfval  19488  sylow2alem2  19585  sylow2a  19586  gsummgp0  20289  psgnfix1  21574  psgndiflemB  21576  psgndif  21578  copsgndif  21579  dmatmul  22481  submaval  22565  1marepvsma1  22567  gsummatr01lem3  22641  gsummatr01  22643  smadiadetlem3  22652  smadiadet  22654  cramerimplem1  22667  cmpcld  23386  alexsubALTlem3  24033  cldsubg  24095  xrge0gsumle  24818  amgm  26973  rpvmasum2  27494  numedglnl  29232  cusgrfilem3  29545  finsumvtxdg2ssteplem4  29636  finsumvtxdg2sstep  29637  diffib  32610  unidifsnel  32624  unidifsnne  32625  fprodeq02  32917  indsumin  32941  gsummptres  33134  cycpmconjslem2  33237  elrspunidl  33512  vietalem  33772  gsumesum  34252  ballotlemfp1  34685  ballotlemgun  34718  hgt750lemd  34841  hgt750lemb  34849  hgt750leme  34851  tgoldbachgtde  34853  subfacp1lem1  35416  subfacp1lem3  35419  topdifinfindis  37717  matunitlindflem1  37992  poimirlem25  38021  poimirlem26  38022  poimirlem27  38023  poimirlem30  38026  aks6d1c5lem3  42631  aks6d1c5lem2  42632  unitscyglem4  42692  elrfi  43152  eldioph2lem1  43218  eldioph2lem2  43219  pellexlem5  43287  fsumnncl  46025  fprod0  46049  dvmptfprodlem  46395  stoweidlem44  46495  stoweidlem57  46508  fourierdlem42  46600  fourierdlem102  46659  fourierdlem114  46671  etransclem25  46710  etransclem35  46720  hspmbllem2  47078  fsummsndifre  47851  fsummmodsndifre  47853  isubgr3stgrlem2  48466  mgpsumunsn  48860  mgpsumz  48861  mgpsumn  48862