Theorem diffi 9214

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4146	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  php  9245  dif1ennnALT  9309  fodomfir  9366  dif1card  10048  hashun2  14419  hashun3  14420  hashssdif  14448  hashdifpr  14451  hashfun  14473  hashf1lem2  14492  fsumsplit1  15778  fsumdifsnconst  15824  hash2iun1dif1  15857  incexc  15870  fprodeq0g  16027  fprodfvdvdsd  16368  ramub1lem1  17060  ramub1lem2  17061  prmdvdsprmo  17076  psgnprfval  19554  sylow2alem2  19651  sylow2a  19652  gsummgp0  20332  psgnfix1  21634  psgndiflemB  21636  psgndif  21638  copsgndif  21639  dmatmul  22519  submaval  22603  1marepvsma1  22605  gsummatr01lem3  22679  gsummatr01  22681  smadiadetlem3  22690  smadiadet  22692  cramerimplem1  22705  cmpcld  23426  alexsubALTlem3  24073  cldsubg  24135  xrge0gsumle  24869  amgm  27049  rpvmasum2  27571  numedglnl  29176  cusgrfilem3  29490  finsumvtxdg2ssteplem4  29581  finsumvtxdg2sstep  29582  diffib  32549  unidifsnel  32561  unidifsnne  32562  fprodeq02  32830  gsummptres  33038  cycpmconjslem2  33158  elrspunidl  33436  indsumin  34003  gsumesum  34040  ballotlemfp1  34473  ballotlemgun  34506  hgt750lemd  34642  hgt750lemb  34650  hgt750leme  34652  tgoldbachgtde  34654  subfacp1lem1  35164  subfacp1lem3  35167  topdifinfindis  37329  matunitlindflem1  37603  poimirlem25  37632  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem30  37637  aks6d1c5lem3  42119  aks6d1c5lem2  42120  unitscyglem4  42180  elrfi  42682  eldioph2lem1  42748  eldioph2lem2  42749  pellexlem5  42821  fsumnncl  45528  fprod0  45552  dvmptfprodlem  45900  stoweidlem44  46000  stoweidlem57  46013  fourierdlem42  46105  fourierdlem102  46164  fourierdlem114  46176  etransclem25  46215  etransclem35  46225  hspmbllem2  46583  fsummsndifre  47297  fsummmodsndifre  47299  isubgr3stgrlem2  47870  mgpsumunsn  48206  mgpsumz  48207  mgpsumn  48208