Theorem diffi 9155

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4090	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  php  9187  dif1ennnALT  9233  fodomfir  9283  dif1card  9990  hashun2  14415  hashun3  14416  hashssdif  14445  hashdifpr  14448  hashfun  14470  hashf1lem2  14489  fsumsplit1  15792  fsumdifsnconst  15839  hash2iun1dif1  15872  incexc  15887  fprodeq0g  16044  fprodfvdvdsd  16387  ramub1lem1  17081  ramub1lem2  17082  prmdvdsprmo  17097  psgnprfval  19586  sylow2alem2  19683  sylow2a  19684  gsummgp0  20395  psgnfix1  21748  psgndiflemB  21750  psgndif  21752  copsgndif  21753  dmatmul  22654  submaval  22738  1marepvsma1  22740  gsummatr01lem3  22814  gsummatr01  22816  smadiadetlem3  22825  smadiadet  22827  cramerimplem1  22840  cmpcld  23559  alexsubALTlem3  24206  cldsubg  24268  xrge0gsumle  24991  amgm  27155  rpvmasum2  27676  numedglnl  29494  cusgrfilem3  29807  finsumvtxdg2ssteplem4  29898  finsumvtxdg2sstep  29899  diffib  32867  unidifsnel  32881  unidifsnne  32882  fprodeq02  33168  indsumin  33181  gsummptres  33372  cycpmconjslem2  33475  elrspunidl  33736  vietalem  33969  gsumesum  34449  ballotlemfp1  34882  ballotlemgun  34915  hgt750lemd  35035  hgt750lemb  35043  hgt750leme  35045  tgoldbachgtde  35047  subfacp1lem1  35671  subfacp1lem3  35674  topdifinfindis  38012  matunitlindflem1  38287  poimirlem25  38316  poimirlem26  38317  poimirlem27  38318  poimirlem30  38321  aks6d1c5lem3  42924  aks6d1c5lem2  42925  unitscyglem4  42985  elrfi  43445  eldioph2lem1  43511  eldioph2lem2  43512  pellexlem5  43580  fsumnncl  46308  fprod0  46332  dvmptfprodlem  46678  stoweidlem44  46778  stoweidlem57  46791  fourierdlem42  46883  fourierdlem102  46942  fourierdlem114  46954  etransclem25  46993  etransclem35  47003  hspmbllem2  47361  fsummsndifre  48137  fsummmodsndifre  48139  isubgr3stgrlem2  48752  mgpsumunsn  49161  mgpsumz  49162  mgpsumn  49163