Theorem diffi 9159

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4098	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9157	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-en 8944  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  php  9191  dif1ennnALT  9237  fodomfir  9287  dif1card  9994  hashun2  14419  hashun3  14420  hashssdif  14449  hashdifpr  14452  hashfun  14474  hashf1lem2  14493  fsumsplit1  15796  fsumdifsnconst  15843  hash2iun1dif1  15876  incexc  15891  fprodeq0g  16048  fprodfvdvdsd  16392  ramub1lem1  17086  ramub1lem2  17087  prmdvdsprmo  17102  psgnprfval  19591  sylow2alem2  19688  sylow2a  19689  gsummgp0  20399  psgnfix1  21717  psgndiflemB  21719  psgndif  21721  copsgndif  21722  dmatmul  22623  submaval  22707  1marepvsma1  22709  gsummatr01lem3  22783  gsummatr01  22785  smadiadetlem3  22794  smadiadet  22796  cramerimplem1  22809  cmpcld  23528  alexsubALTlem3  24175  cldsubg  24237  xrge0gsumle  24960  amgm  27121  rpvmasum2  27642  numedglnl  29435  cusgrfilem3  29748  finsumvtxdg2ssteplem4  29839  finsumvtxdg2sstep  29840  diffib  32808  unidifsnel  32822  unidifsnne  32823  fprodeq02  33109  indsumin  33122  gsummptres  33313  cycpmconjslem2  33416  elrspunidl  33680  vietalem  33914  gsumesum  34394  ballotlemfp1  34827  ballotlemgun  34860  hgt750lemd  34980  hgt750lemb  34988  hgt750leme  34990  tgoldbachgtde  34992  subfacp1lem1  35604  subfacp1lem3  35607  topdifinfindis  37914  matunitlindflem1  38189  poimirlem25  38218  poimirlem26  38219  poimirlem27  38220  poimirlem30  38223  aks6d1c5lem3  42828  aks6d1c5lem2  42829  unitscyglem4  42889  elrfi  43351  eldioph2lem1  43417  eldioph2lem2  43418  pellexlem5  43486  fsumnncl  46214  fprod0  46238  dvmptfprodlem  46584  stoweidlem44  46684  stoweidlem57  46697  fourierdlem42  46789  fourierdlem102  46848  fourierdlem114  46860  etransclem25  46899  etransclem35  46909  hspmbllem2  47267  fsummsndifre  48040  fsummmodsndifre  48042  isubgr3stgrlem2  48655  mgpsumunsn  49060  mgpsumz  49061  mgpsumn  49062