Theorem diffi 9116

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4095	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  Fincfn 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1o 8411  df-en 8896  df-fin 8899

This theorem is referenced by:  php  9148  dif1ennnALT  9198  fodomfir  9255  dif1card  9939  hashun2  14324  hashun3  14325  hashssdif  14353  hashdifpr  14356  hashfun  14378  hashf1lem2  14397  fsumsplit1  15687  fsumdifsnconst  15733  hash2iun1dif1  15766  incexc  15779  fprodeq0g  15936  fprodfvdvdsd  16280  ramub1lem1  16973  ramub1lem2  16974  prmdvdsprmo  16989  psgnprfval  19435  sylow2alem2  19532  sylow2a  19533  gsummgp0  20238  psgnfix1  21540  psgndiflemB  21542  psgndif  21544  copsgndif  21545  dmatmul  22417  submaval  22501  1marepvsma1  22503  gsummatr01lem3  22577  gsummatr01  22579  smadiadetlem3  22588  smadiadet  22590  cramerimplem1  22603  cmpcld  23322  alexsubALTlem3  23969  cldsubg  24031  xrge0gsumle  24755  amgm  26934  rpvmasum2  27456  numedglnl  29124  cusgrfilem3  29438  finsumvtxdg2ssteplem4  29529  finsumvtxdg2sstep  29530  diffib  32500  unidifsnel  32514  unidifsnne  32515  fprodeq02  32798  indsumin  32835  gsummptres  33035  cycpmconjslem2  33127  elrspunidl  33392  gsumesum  34042  ballotlemfp1  34476  ballotlemgun  34509  hgt750lemd  34632  hgt750lemb  34640  hgt750leme  34642  tgoldbachgtde  34644  subfacp1lem1  35159  subfacp1lem3  35162  topdifinfindis  37327  matunitlindflem1  37603  poimirlem25  37632  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem30  37637  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  unitscyglem4  42179  elrfi  42675  eldioph2lem1  42741  eldioph2lem2  42742  pellexlem5  42814  fsumnncl  45563  fprod0  45587  dvmptfprodlem  45935  stoweidlem44  46035  stoweidlem57  46048  fourierdlem42  46140  fourierdlem102  46199  fourierdlem114  46211  etransclem25  46250  etransclem35  46260  hspmbllem2  46618  fsummsndifre  47366  fsummmodsndifre  47368  isubgr3stgrlem2  47959  mgpsumunsn  48342  mgpsumz  48343  mgpsumn  48344