Theorem diffi 9166

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4090	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7869  df-1o 8459  df-en 8950  df-fin 8953

This theorem is used by:  php  9198  dif1ennnALT  9244  fodomfir  9294  dif1card  10010  hashun2  14439  hashun3  14440  hashssdif  14469  hashdifpr  14472  hashfun  14494  hashf1lem2  14513  fsumsplit1  15821  fsumdifsnconst  15868  hash2iun1dif1  15901  incexc  15916  fprodeq0g  16073  fprodfvdvdsd  16416  ramub1lem1  17110  ramub1lem2  17111  prmdvdsprmo  17126  psgnprfval  19637  sylow2alem2  19734  sylow2a  19735  gsummgp0  20447  psgnfix1  21800  psgndiflemB  21802  psgndif  21804  copsgndif  21805  dmatmul  22706  submaval  22790  1marepvsma1  22792  gsummatr01lem3  22866  gsummatr01  22868  smadiadetlem3  22877  smadiadet  22879  cramerimplem1  22892  cmpcld  23611  alexsubALTlem3  24259  cldsubg  24321  xrge0gsumle  25044  amgm  27208  rpvmasum2  27729  numedglnl  29551  cusgrfilem3  29867  finsumvtxdg2ssteplem4  29958  finsumvtxdg2sstep  29959  diffib  32940  unidifsnel  32954  unidifsnne  32955  fprodeq02  33240  indsumin  33253  gsummptres  33438  cycpmconjslem2  33541  elrspunidl  33802  vietalem  34035  gsumesum  34515  ballotlemfp1  34949  ballotlemgun  34982  hgt750lemd  35102  hgt750lemb  35110  hgt750leme  35112  tgoldbachgtde  35114  subfacp1lem1  35710  subfacp1lem3  35713  topdifinfindis  38051  matunitlindflem1  38326  poimirlem25  38355  poimirlem26  38356  poimirlem27  38357  poimirlem30  38360  aks6d1c5lem3  42964  aks6d1c5lem2  42965  unitscyglem4  43025  elrfi  43485  eldioph2lem1  43551  eldioph2lem2  43552  pellexlem5  43620  fsumnncl  46348  fprod0  46372  dvmptfprodlem  46718  stoweidlem44  46818  stoweidlem57  46831  fourierdlem42  46923  fourierdlem102  46982  fourierdlem114  46994  etransclem25  47033  etransclem35  47043  hspmbllem2  47401  fsummsndifre  48177  fsummmodsndifre  48179  isubgr3stgrlem2  48792  mgpsumunsn  49200  mgpsumz  49201  mgpsumn  49202