Theorem diffi 9179

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4132	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  php  9210  dif1ennnALT  9277  unfiOLD  9313  dif1card  10005  hashun2  14343  hashun3  14344  hashssdif  14372  hashdifpr  14375  hashfun  14397  hashf1lem2  14417  fsumsplit1  15691  fsumdifsnconst  15737  hash2iun1dif1  15770  incexc  15783  fprodeq0g  15938  fprodfvdvdsd  16277  ramub1lem1  16959  ramub1lem2  16960  prmdvdsprmo  16975  psgnprfval  19389  sylow2alem2  19486  sylow2a  19487  gsummgp0  20130  psgnfix1  21151  psgndiflemB  21153  psgndif  21155  copsgndif  21156  dmatmul  21999  submaval  22083  1marepvsma1  22085  gsummatr01lem3  22159  gsummatr01  22161  smadiadetlem3  22170  smadiadet  22172  cramerimplem1  22185  cmpcld  22906  alexsubALTlem3  23553  cldsubg  23615  xrge0gsumle  24349  amgm  26495  rpvmasum2  27015  numedglnl  28404  cusgrfilem3  28714  finsumvtxdg2ssteplem4  28805  finsumvtxdg2sstep  28806  diffib  31759  unidifsnel  31772  unidifsnne  31773  fprodeq02  32029  gsummptres  32204  cycpmconjslem2  32314  elrspunidl  32546  indsumin  33020  gsumesum  33057  ballotlemfp1  33490  ballotlemgun  33523  hgt750lemd  33660  hgt750lemb  33668  hgt750leme  33670  tgoldbachgtde  33672  subfacp1lem1  34170  subfacp1lem3  34173  topdifinfindis  36227  matunitlindflem1  36484  poimirlem25  36513  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  poimirlem30  36518  elrfi  41432  eldioph2lem1  41498  eldioph2lem2  41499  pellexlem5  41571  fsumnncl  44288  fprod0  44312  dvmptfprodlem  44660  stoweidlem44  44760  stoweidlem57  44773  fourierdlem42  44865  fourierdlem102  44924  fourierdlem114  44936  etransclem25  44975  etransclem35  44985  hspmbllem2  45343  fsummsndifre  46040  fsummmodsndifre  46042  mgpsumunsn  47037  mgpsumz  47038  mgpsumn  47039