Theorem diffi 8603

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4035	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 8591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2083   ∖ cdif 3862   ⊆ wss 3865  Fincfn 8364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-om 7444  df-er 8146  df-en 8365  df-fin 8368

This theorem is referenced by:  dif1en  8604  unfi  8638  dif1card  9289  hashun2  13596  hashun3  13597  hashssdif  13625  hashdifpr  13628  hashfun  13650  hashf1lem2  13666  fsumdifsnconst  14983  hash2iun1dif1  15016  incexc  15029  fprodeq0g  15185  fprodfvdvdsd  15520  ramub1lem1  16195  ramub1lem2  16196  prmdvdsprmo  16211  psgnprfval  18384  sylow2alem2  18477  sylow2a  18478  gsummgp0  19052  psgnfix1  20428  psgndiflemB  20430  psgndif  20432  copsgndif  20433  dmatmul  20794  submaval  20878  1marepvsma1  20880  gsummatr01lem3  20954  gsummatr01  20956  smadiadetlem3  20965  smadiadet  20967  cramerimplem1  20980  cmpcld  21698  alexsubALTlem3  22345  cldsubg  22406  xrge0gsumle  23128  amgm  25254  rpvmasum2  25774  numedglnl  26616  cusgrfilem3  26926  finsumvtxdg2ssteplem4  27017  finsumvtxdg2sstep  27018  unidifsnel  29980  unidifsnne  29981  fprodeq02  30219  cycpmconjslem2  30431  gsummptres  30497  indsumin  30894  gsumesum  30931  ballotlemfp1  31362  ballotlemgun  31395  hgt750lemd  31532  hgt750lemb  31540  hgt750leme  31542  tgoldbachgtde  31544  subfacp1lem1  32036  subfacp1lem3  32039  topdifinfindis  34179  matunitlindflem1  34440  poimirlem25  34469  poimirlem26  34470  poimirlem27  34471  poimirlem30  34474  elrfi  38797  eldioph2lem1  38863  eldioph2lem2  38864  pellexlem5  38936  fsumnncl  41415  fsumsplit1  41416  fprod0  41440  dvmptfprodlem  41792  stoweidlem44  41893  stoweidlem57  41906  fourierdlem42  41998  fourierdlem102  42057  fourierdlem114  42069  etransclem25  42108  etransclem35  42118  hspmbllem2  42473  fsummsndifre  43070  fsummmodsndifre  43072  mgpsumunsn  43909  mgpsumz  43910  mgpsumn  43911