Theorem diffi 8752

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4110	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 8740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  Fincfn 8511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-om 7583  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515

This theorem is referenced by:  dif1en  8753  unfi  8787  dif1card  9438  hashun2  13747  hashun3  13748  hashssdif  13776  hashdifpr  13779  hashfun  13801  hashf1lem2  13817  fsumdifsnconst  15148  hash2iun1dif1  15181  incexc  15194  fprodeq0g  15350  fprodfvdvdsd  15685  ramub1lem1  16364  ramub1lem2  16365  prmdvdsprmo  16380  psgnprfval  18651  sylow2alem2  18745  sylow2a  18746  gsummgp0  19360  psgnfix1  20744  psgndiflemB  20746  psgndif  20748  copsgndif  20749  dmatmul  21108  submaval  21192  1marepvsma1  21194  gsummatr01lem3  21268  gsummatr01  21270  smadiadetlem3  21279  smadiadet  21281  cramerimplem1  21294  cmpcld  22012  alexsubALTlem3  22659  cldsubg  22721  xrge0gsumle  23443  amgm  25570  rpvmasum2  26090  numedglnl  26931  cusgrfilem3  27241  finsumvtxdg2ssteplem4  27332  finsumvtxdg2sstep  27333  unidifsnel  30297  unidifsnne  30298  fprodeq02  30541  gsummptres  30692  cycpmconjslem2  30799  indsumin  31283  gsumesum  31320  ballotlemfp1  31751  ballotlemgun  31784  hgt750lemd  31921  hgt750lemb  31929  hgt750leme  31931  tgoldbachgtde  31933  subfacp1lem1  32428  subfacp1lem3  32431  topdifinfindis  34629  matunitlindflem1  34890  poimirlem25  34919  poimirlem26  34920  poimirlem27  34921  poimirlem30  34924  elrfi  39298  eldioph2lem1  39364  eldioph2lem2  39365  pellexlem5  39437  fsumnncl  41859  fsumsplit1  41860  fprod0  41884  dvmptfprodlem  42236  stoweidlem44  42336  stoweidlem57  42349  fourierdlem42  42441  fourierdlem102  42500  fourierdlem114  42512  etransclem25  42551  etransclem35  42561  hspmbllem2  42916  fsummsndifre  43539  fsummmodsndifre  43541  mgpsumunsn  44416  mgpsumz  44417  mgpsumn  44418