Theorem diffi 9097

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4086	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9095	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8882  df-fin 8885

This theorem is referenced by:  php  9129  dif1ennnALT  9175  fodomfir  9226  dif1card  9918  hashun2  14304  hashun3  14305  hashssdif  14333  hashdifpr  14336  hashfun  14358  hashf1lem2  14377  fsumsplit1  15666  fsumdifsnconst  15712  hash2iun1dif1  15745  incexc  15758  fprodeq0g  15915  fprodfvdvdsd  16259  ramub1lem1  16952  ramub1lem2  16953  prmdvdsprmo  16968  psgnprfval  19448  sylow2alem2  19545  sylow2a  19546  gsummgp0  20251  psgnfix1  21551  psgndiflemB  21553  psgndif  21555  copsgndif  21556  dmatmul  22439  submaval  22523  1marepvsma1  22525  gsummatr01lem3  22599  gsummatr01  22601  smadiadetlem3  22610  smadiadet  22612  cramerimplem1  22625  cmpcld  23344  alexsubALTlem3  23991  cldsubg  24053  xrge0gsumle  24776  amgm  26955  rpvmasum2  27477  numedglnl  29166  cusgrfilem3  29480  finsumvtxdg2ssteplem4  29571  finsumvtxdg2sstep  29572  diffib  32545  unidifsnel  32559  unidifsnne  32560  fprodeq02  32853  indsumin  32892  gsummptres  33084  cycpmconjslem2  33186  elrspunidl  33458  vietalem  33684  gsumesum  34165  ballotlemfp1  34598  ballotlemgun  34631  hgt750lemd  34754  hgt750lemb  34762  hgt750leme  34764  tgoldbachgtde  34766  subfacp1lem1  35322  subfacp1lem3  35325  topdifinfindis  37490  matunitlindflem1  37756  poimirlem25  37785  poimirlem26  37786  poimirlem27  37787  poimirlem30  37790  aks6d1c5lem3  42330  aks6d1c5lem2  42331  unitscyglem4  42391  elrfi  42878  eldioph2lem1  42944  eldioph2lem2  42945  pellexlem5  43017  fsumnncl  45760  fprod0  45784  dvmptfprodlem  46130  stoweidlem44  46230  stoweidlem57  46243  fourierdlem42  46335  fourierdlem102  46394  fourierdlem114  46406  etransclem25  46445  etransclem35  46455  hspmbllem2  46813  fsummsndifre  47560  fsummmodsndifre  47562  isubgr3stgrlem2  48155  mgpsumunsn  48549  mgpsumz  48550  mgpsumn  48551