Theorem diffi 9216

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4135	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9214	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  Fincfn 8986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990

This theorem is referenced by:  php  9248  dif1ennnALT  9312  fodomfir  9369  dif1card  10051  hashun2  14423  hashun3  14424  hashssdif  14452  hashdifpr  14455  hashfun  14477  hashf1lem2  14496  fsumsplit1  15782  fsumdifsnconst  15828  hash2iun1dif1  15861  incexc  15874  fprodeq0g  16031  fprodfvdvdsd  16372  ramub1lem1  17065  ramub1lem2  17066  prmdvdsprmo  17081  psgnprfval  19540  sylow2alem2  19637  sylow2a  19638  gsummgp0  20316  psgnfix1  21617  psgndiflemB  21619  psgndif  21621  copsgndif  21622  dmatmul  22504  submaval  22588  1marepvsma1  22590  gsummatr01lem3  22664  gsummatr01  22666  smadiadetlem3  22675  smadiadet  22677  cramerimplem1  22690  cmpcld  23411  alexsubALTlem3  24058  cldsubg  24120  xrge0gsumle  24856  amgm  27035  rpvmasum2  27557  numedglnl  29162  cusgrfilem3  29476  finsumvtxdg2ssteplem4  29567  finsumvtxdg2sstep  29568  diffib  32541  unidifsnel  32554  unidifsnne  32555  fprodeq02  32826  indsumin  32848  gsummptres  33056  cycpmconjslem2  33176  elrspunidl  33457  gsumesum  34061  ballotlemfp1  34495  ballotlemgun  34528  hgt750lemd  34664  hgt750lemb  34672  hgt750leme  34674  tgoldbachgtde  34676  subfacp1lem1  35185  subfacp1lem3  35188  topdifinfindis  37348  matunitlindflem1  37624  poimirlem25  37653  poimirlem26  37654  poimirlem27  37655  poimirlem30  37658  aks6d1c5lem3  42139  aks6d1c5lem2  42140  unitscyglem4  42200  elrfi  42710  eldioph2lem1  42776  eldioph2lem2  42777  pellexlem5  42849  fsumnncl  45592  fprod0  45616  dvmptfprodlem  45964  stoweidlem44  46064  stoweidlem57  46077  fourierdlem42  46169  fourierdlem102  46228  fourierdlem114  46240  etransclem25  46279  etransclem35  46289  hspmbllem2  46647  fsummsndifre  47364  fsummmodsndifre  47366  isubgr3stgrlem2  47939  mgpsumunsn  48282  mgpsumz  48283  mgpsumn  48284