Theorem diffi 9172

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4083	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9170	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8458  df-en 8956  df-fin 8959

This theorem is used by:  php  9204  dif1ennnALT  9250  fodomfir  9300  dif1card  10016  hashun2  14450  hashun3  14451  hashssdif  14480  hashdifpr  14483  hashfun  14505  hashf1lem2  14524  fsumsplit1  15834  fsumdifsnconst  15881  hash2iun1dif1  15914  incexc  15929  fprodeq0g  16084  fprodfvdvdsd  16427  ramub1lem1  17121  ramub1lem2  17122  prmdvdsprmo  17137  psgnprfval  19651  sylow2alem2  19748  sylow2a  19749  gsummgp0  20461  psgnfix1  21814  psgndiflemB  21816  psgndif  21818  copsgndif  21819  dmatmul  22722  submaval  22806  1marepvsma1  22808  gsummatr01lem3  22882  gsummatr01  22884  smadiadetlem3  22893  smadiadet  22895  matunitlindflem1  22904  cramerimplem1  22911  cmpcld  23630  alexsubALTlem3  24278  cldsubg  24340  xrge0gsumle  25063  amgm  27230  rpvmasum2  27751  numedglnl  29604  cusgrfilem3  29920  finsumvtxdg2ssteplem4  30011  finsumvtxdg2sstep  30012  diffib  32999  unidifsnel  33013  unidifsnne  33014  fprodeq02  33297  indsumin  33310  gsummptres  33495  cycpmconjslem2  33598  elrspunidl  33859  vietalem  34092  gsumesum  34572  ballotlemfp1  35006  ballotlemgun  35039  hgt750lemd  35159  hgt750lemb  35167  hgt750leme  35169  tgoldbachgtde  35171  subfacp1lem1  35761  subfacp1lem3  35764  topdifinfindis  38103  poimirlem25  38397  poimirlem26  38398  poimirlem27  38399  poimirlem30  38402  aks6d1c5lem3  43006  aks6d1c5lem2  43007  unitscyglem4  43067  elrfi  43542  eldioph2lem1  43608  eldioph2lem2  43609  pellexlem5  43677  fsumnncl  46405  fprod0  46429  dvmptfprodlem  46775  stoweidlem44  46875  stoweidlem57  46888  fourierdlem42  46980  fourierdlem102  47039  fourierdlem114  47051  etransclem25  47090  etransclem35  47100  hspmbllem2  47458  fsummsndifre  48271  fsummmodsndifre  48273  isubgr3stgrlem2  48886  mgpsumunsn  49294  mgpsumz  49295  mgpsumn  49296