Theorem diffi 9204

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4075	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  Fincfn 8987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-om 7888  df-1o 8490  df-en 8988  df-fin 8991

This theorem is used by:  php  9236  dif1ennnALT  9282  fodomfir  9333  dif1card  10102  hashun2  14540  hashun3  14541  hashssdif  14570  hashdifpr  14573  hashfun  14595  hashf1lem2  14614  fsumsplit1  15926  fsumdifsnconst  15973  hash2iun1dif1  16006  incexc  16021  fprodeq0g  16176  fprodfvdvdsd  16519  ramub1lem1  17219  ramub1lem2  17220  prmdvdsprmo  17235  psgnprfval  19750  sylow2alem2  19847  sylow2a  19848  gsummgp0  20562  psgnfix1  21919  psgndiflemB  21921  psgndif  21923  copsgndif  21924  dmatmul  22827  submaval  22911  1marepvsma1  22913  gsummatr01lem3  22987  gsummatr01  22989  smadiadetlem3  22998  smadiadet  23000  matunitlindflem1  23009  cramerimplem1  23016  cmpcld  23735  alexsubALTlem3  24383  cldsubg  24445  xrge0gsumle  25168  amgm  27333  rpvmasum2  27854  numedglnl  29737  cusgrfilem3  30053  finsumvtxdg2ssteplem4  30144  finsumvtxdg2sstep  30145  diffib  33174  unidifsnel  33188  unidifsnne  33189  fprodeq02  33471  indsumin  33484  gsummptres  33669  cycpmconjslem2  33772  elrspunidl  34034  vietalem  34267  gsumesum  34747  ballotlemfp1  35180  ballotlemgun  35213  hgt750lemd  35333  hgt750lemb  35341  hgt750leme  35343  tgoldbachgtde  35345  subfacp1lem1  36068  subfacp1lem3  36071  topdifinfindis  38412  poimirlem25  38706  poimirlem26  38707  poimirlem27  38708  poimirlem30  38711  aks6d1c5lem3  43330  aks6d1c5lem2  43331  unitscyglem4  43391  elrfi  43848  eldioph2lem1  43914  eldioph2lem2  43915  pellexlem5  43983  fsumnncl  46726  fprod0  46750  dvmptfprodlem  47096  stoweidlem44  47196  stoweidlem57  47209  fourierdlem42  47301  fourierdlem102  47360  fourierdlem114  47372  etransclem25  47411  etransclem35  47421  hspmbllem2  47779  fsummsndifre  48592  fsummmodsndifre  48594  isubgr3stgrlem2  49207  mgpsumunsn  49615  mgpsumz  49616  mgpsumn  49617