Theorem diffi 9195

Description: If 𝐴 is finite, (𝐴 ∖ 𝐵) is finite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
diffi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4127	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssfi 9189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  Fincfn 8955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-1o 8480  df-en 8956  df-fin 8959

This theorem is referenced by:  php  9226  dif1ennnALT  9293  unfiOLD  9329  dif1card  10025  hashun2  14366  hashun3  14367  hashssdif  14395  hashdifpr  14398  hashfun  14420  hashf1lem2  14441  fsumsplit1  15715  fsumdifsnconst  15761  hash2iun1dif1  15794  incexc  15807  fprodeq0g  15962  fprodfvdvdsd  16302  ramub1lem1  16986  ramub1lem2  16987  prmdvdsprmo  17002  psgnprfval  19467  sylow2alem2  19564  sylow2a  19565  gsummgp0  20243  psgnfix1  21517  psgndiflemB  21519  psgndif  21521  copsgndif  21522  dmatmul  22386  submaval  22470  1marepvsma1  22472  gsummatr01lem3  22546  gsummatr01  22548  smadiadetlem3  22557  smadiadet  22559  cramerimplem1  22572  cmpcld  23293  alexsubALTlem3  23940  cldsubg  24002  xrge0gsumle  24736  amgm  26910  rpvmasum2  27432  numedglnl  28944  cusgrfilem3  29258  finsumvtxdg2ssteplem4  29349  finsumvtxdg2sstep  29350  diffib  32303  unidifsnel  32316  unidifsnne  32317  fprodeq02  32568  gsummptres  32744  cycpmconjslem2  32854  elrspunidl  33079  indsumin  33577  gsumesum  33614  ballotlemfp1  34047  ballotlemgun  34080  hgt750lemd  34216  hgt750lemb  34224  hgt750leme  34226  tgoldbachgtde  34228  subfacp1lem1  34725  subfacp1lem3  34728  topdifinfindis  36761  matunitlindflem1  37024  poimirlem25  37053  poimirlem26  37054  poimirlem27  37055  poimirlem30  37058  aks6d1c5lem3  41540  aks6d1c5lem2  41541  elrfi  42036  eldioph2lem1  42102  eldioph2lem2  42103  pellexlem5  42175  fsumnncl  44883  fprod0  44907  dvmptfprodlem  45255  stoweidlem44  45355  stoweidlem57  45368  fourierdlem42  45460  fourierdlem102  45519  fourierdlem114  45531  etransclem25  45570  etransclem35  45580  hspmbllem2  45938  fsummsndifre  46635  fsummmodsndifre  46637  mgpsumunsn  47348  mgpsumz  47349  mgpsumn  47350