MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsbas 24029
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
fclsbas ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝑜,𝑠,𝐵   𝑜,𝐹   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐽(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
2 fgcl 23886 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
32adantl 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
41, 3eqeltrid 2845 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fclsopn 24022 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
64, 5syldan 591 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
7 ssfg 23880 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
87ad3antlr 731 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
98, 1sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵𝐹)
10 ssralv 4052 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐹 → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
12 ineq2 4214 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑠 → (𝑜𝑡) = (𝑜𝑠))
1312neeq1d 3000 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → ((𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
1413cbvralvw 3237 . . . . . . . 8 (∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)
1511, 14imbitrdi 251 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
161eleq2i 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐹𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵))
17 elfg 23879 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1817ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1916, 18bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡𝐹 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
2019simplbda 499 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)
21 r19.29r 3116 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → ∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
22 sslin 4243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑡 → (𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡))
23 ssn0 4404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡) ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2422, 23sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2524rexlimivw 3151 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2726ex 412 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2820, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2928ralrimdva 3154 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
3015, 29impbid 212 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3130anassrs 467 . . . . 5 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝐴𝑜) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3231pm5.74da 804 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3332ralbidva 3176 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3433pm5.32da 579 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
356, 34bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  fBascfbas 21352  filGencfg 21353  TopOnctopon 22916  Filcfil 23853   fClus cfcls 23944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-fil 23854  df-fcls 23949
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator