MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsbas 23388
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f 𝐹 = (𝑋filGen𝐡)
Assertion
Ref Expression
fclsbas ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘œ   π‘œ,𝑠,𝐡   π‘œ,𝐹   π‘œ,𝐽   π‘œ,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐽(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4 𝐹 = (𝑋filGen𝐡)
2 fgcl 23245 . . . . 5 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
32adantl 483 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋filGen𝐡) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
41, 3eqeltrid 2842 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
5 fclsopn 23381 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
64, 5syldan 592 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))))
7 ssfg 23239 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ 𝐡 βŠ† (𝑋filGen𝐡))
87ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ 𝐡 βŠ† (𝑋filGen𝐡))
98, 1sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐹)
10 ssralv 4015 . . . . . . . . 9 (𝐡 βŠ† 𝐹 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
12 ineq2 4171 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑠 β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) = (π‘œ ∩ 𝑠))
1312neeq1d 3004 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
1413cbvralvw 3228 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)
1511, 14syl6ib 251 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
161eleq2i 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝐹 ↔ 𝑑 ∈ (𝑋filGen𝐡))
17 elfg 23238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋filGen𝐡) ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑)))
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋filGen𝐡) ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑)))
1916, 18bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐹 ↔ (𝑑 βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑)))
2019simplbda 501 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐹) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑)
21 r19.29r 3120 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
22 sslin 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 βŠ† 𝑑 β†’ (π‘œ ∩ 𝑠) βŠ† (π‘œ ∩ 𝑑))
23 ssn0 4365 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘œ ∩ 𝑠) βŠ† (π‘œ ∩ 𝑑) ∧ (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)
2422, 23sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)
2524rexlimivw 3149 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)
2726ex 414 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 𝑠 βŠ† 𝑑 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
2820, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
2928ralrimdva 3152 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…))
3015, 29impbid 211 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (π‘œ ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ π‘œ)) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
3130anassrs 469 . . . . 5 (((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ π‘œ) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))
3231pm5.74da 803 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
3332ralbidva 3173 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
3433pm5.32da 580 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑑) β‰  βˆ…)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
356, 34bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐡 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  TopOnctopon 22275  Filcfil 23212   fClus cfcls 23303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-fil 23213  df-fcls 23308
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator