MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclsbas 23506
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
fclsbas ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑜   𝑜,𝑠,𝐵   𝑜,𝐹   𝑜,𝐽   𝑜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐽(𝑠)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4 𝐹 = (𝑋filGen𝐵)
2 fgcl 23363 . . . . 5 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
32adantl 483 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝑋filGen𝐵) ∈ (Fil‘𝑋))
41, 3eqeltrid 2838 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
5 fclsopn 23499 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
64, 5syldan 592 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))))
7 ssfg 23357 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
87ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵 ⊆ (𝑋filGen𝐵))
98, 1sseqtrrdi 4031 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → 𝐵𝐹)
10 ssralv 4048 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐹 → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
12 ineq2 4204 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑠 → (𝑜𝑡) = (𝑜𝑠))
1312neeq1d 3001 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑠 → ((𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
1413cbvralvw 3235 . . . . . . . 8 (∀𝑡𝐵 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)
1511, 14syl6ib 251 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
161eleq2i 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐹𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵))
17 elfg 23356 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1817ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡 ∈ (𝑋filGen𝐵) ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
1916, 18bitrid 283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (𝑡𝐹 ↔ (𝑡𝑋 ∧ ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)))
2019simplbda 501 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → ∃𝑠𝐵 𝑠𝑡)
21 r19.29r 3117 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → ∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅))
22 sslin 4232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝑡 → (𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡))
23 ssn0 4398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑜𝑠) ⊆ (𝑜𝑡) ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2422, 23sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2524rexlimivw 3152 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝐵 (𝑠𝑡 ∧ (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 ∧ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅) → (𝑜𝑡) ≠ ∅)
2726ex 414 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐵 𝑠𝑡 → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2820, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) ∧ 𝑡𝐹) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → (𝑜𝑡) ≠ ∅))
2928ralrimdva 3155 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅ → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅))
3015, 29impbid 211 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑜𝐽𝐴𝑜)) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3130anassrs 469 . . . . 5 (((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) ∧ 𝐴𝑜) → (∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅ ↔ ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))
3231pm5.74da 803 . . . 4 ((((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐽) → ((𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3332ralbidva 3176 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅)))
3433pm5.32da 580 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑡𝐹 (𝑜𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
356, 34bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑜𝐽 (𝐴𝑜 → ∀𝑠𝐵 (𝑜𝑠) ≠ ∅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  cin 3945  wss 3946  c0 4320  cfv 6539  (class class class)co 7403  fBascfbas 20916  filGencfg 20917  TopOnctopon 22393  Filcfil 23330   fClus cfcls 23421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-top 22377  df-topon 22394  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-fil 23331  df-fcls 23426
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator