Theorem eliccxr 13463

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13458	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3934	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11243  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-xr 11248  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13480  xrge0nre  13481  xrge0omnd  21576  isxmet2d  24465  stdbdxmet  24653  metds0  24989  metdstri  24990  metdsre  24992  metdseq0  24993  metdscnlem  24994  metnrmlem1a  24997  metnrmlem1  24998  oprpiece1res1  25091  xrge0infss  33086  xrge0mulgnn0  33316  esumcvgre  34462  mblfinlem1  38289  iccintsng  46222  icoiccdif  46223  eliccnelico  46228  eliccelicod  46229  ge0xrre  46230  iblspltprt  46670  iblcncfioo  46675  itgspltprt  46676  gsumge0cl  47068  sge0tsms  47077