Theorem eliccxr 13480

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13475	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3936	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℝ^*cxr 11260  [,]cicc 13393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-xr 11265  df-icc 13397

This theorem is used by:  xrge0neqmnf  13497  xrge0nre  13498  xrge0omnd  21632  isxmet2d  24521  stdbdxmet  24709  metds0  25045  metdstri  25046  metdsre  25048  metdseq0  25049  metdscnlem  25050  metnrmlem1a  25053  metnrmlem1  25054  oprpiece1res1  25147  xrge0infss  33142  xrge0mulgnn0  33366  esumcvgre  34512  mblfinlem1  38349  iccintsng  46280  icoiccdif  46281  eliccnelico  46286  eliccelicod  46287  ge0xrre  46288  iblspltprt  46728  iblcncfioo  46733  itgspltprt  46734  gsumge0cl  47126  sge0tsms  47135