Theorem eliccxr 13419

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13414	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3978	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℝ^*cxr 11254  [,]cicc 13334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-xr 11259  df-icc 13338

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13436  xrge0nre  13437  isxmet2d  24152  stdbdxmet  24343  metds0  24685  metdstri  24686  metdsre  24688  metdseq0  24689  metdscnlem  24690  metnrmlem1a  24693  metnrmlem1  24694  oprpiece1res1  24795  xrge0infss  32405  xrge0mulgnn0  32622  xrge0omnd  32664  esumcvgre  33552  mblfinlem1  36988  iccintsng  44694  icoiccdif  44695  eliccnelico  44700  eliccelicod  44701  ge0xrre  44702  iblspltprt  45147  iblcncfioo  45152  itgspltprt  45153  gsumge0cl  45545  sge0tsms  45554