Theorem eliccxr 13356

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13351	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3933	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝ^*cxr 11167  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-xr 11172  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13373  xrge0nre  13374  xrge0omnd  21370  isxmet2d  24231  stdbdxmet  24419  metds0  24755  metdstri  24756  metdsre  24758  metdseq0  24759  metdscnlem  24760  metnrmlem1a  24763  metnrmlem1  24764  oprpiece1res1  24865  xrge0infss  32716  xrge0mulgnn0  32982  esumcvgre  34057  mblfinlem1  37636  iccintsng  45505  icoiccdif  45506  eliccnelico  45511  eliccelicod  45512  ge0xrre  45513  iblspltprt  45955  iblcncfioo  45960  itgspltprt  45961  gsumge0cl  46353  sge0tsms  46362