Theorem eliccxr 13495

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13490	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 4004	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝ^*cxr 11323  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-xr 11328  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13512  xrge0nre  13513  isxmet2d  24358  stdbdxmet  24549  metds0  24891  metdstri  24892  metdsre  24894  metdseq0  24895  metdscnlem  24896  metnrmlem1a  24899  metnrmlem1  24900  oprpiece1res1  25001  xrge0infss  32767  xrge0mulgnn0  33001  xrge0omnd  33061  esumcvgre  34055  mblfinlem1  37617  iccintsng  45441  icoiccdif  45442  eliccnelico  45447  eliccelicod  45448  ge0xrre  45449  iblspltprt  45894  iblcncfioo  45899  itgspltprt  45900  gsumge0cl  46292  sge0tsms  46301