Theorem eliccxr 13559

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13554	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3927	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℝ^*cxr 11335  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-xr 11340  df-icc 13476

This theorem is used by:  xrge0neqmnf  13576  xrge0nre  13577  xrge0omnd  21744  isxmet2d  24639  stdbdxmet  24827  metds0  25163  metdstri  25164  metdsre  25166  metdseq0  25167  metdscnlem  25168  metnrmlem1a  25171  metnrmlem1  25172  oprpiece1res1  25265  xrge0infss  33345  xrge0mulgnn0  33569  esumcvgre  34716  mblfinlem1  38555  iccintsng  46504  icoiccdif  46505  eliccnelico  46510  eliccelicod  46511  ge0xrre  46512  iblspltprt  46952  iblcncfioo  46957  itgspltprt  46958  gsumge0cl  47350  sge0tsms  47359