Theorem eliccxr 13570

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13565	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3904	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℝ^*cxr 11346  [,]cicc 13483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-xr 11351  df-icc 13487

This theorem is used by:  xrge0neqmnf  13587  xrge0nre  13588  xrge0omnd  21757  isxmet2d  24652  stdbdxmet  24840  metds0  25176  metdstri  25177  metdsre  25179  metdseq0  25180  metdscnlem  25181  metnrmlem1a  25184  metnrmlem1  25185  oprpiece1res1  25278  xrge0infss  33399  xrge0mulgnn0  33623  esumcvgre  34770  mblfinlem1  38669  iccintsng  46629  icoiccdif  46630  eliccnelico  46635  eliccelicod  46636  ge0xrre  46637  iblspltprt  47077  iblcncfioo  47082  itgspltprt  47083  gsumge0cl  47475  sge0tsms  47484