Theorem eliccxr 13475

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13470	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3979	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝ^*cxr 11294  [,]cicc 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-xr 11299  df-icc 13394

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13492  xrge0nre  13493  isxmet2d  24337  stdbdxmet  24528  metds0  24872  metdstri  24873  metdsre  24875  metdseq0  24876  metdscnlem  24877  metnrmlem1a  24880  metnrmlem1  24881  oprpiece1res1  24982  xrge0infss  32764  xrge0mulgnn0  33020  xrge0omnd  33088  esumcvgre  34092  mblfinlem1  37664  iccintsng  45536  icoiccdif  45537  eliccnelico  45542  eliccelicod  45543  ge0xrre  45544  iblspltprt  45988  iblcncfioo  45993  itgspltprt  45994  gsumge0cl  46386  sge0tsms  46395