Theorem eliccxr 13351

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13346	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3929	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝ^*cxr 11165  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-xr 11170  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13368  xrge0nre  13369  xrge0omnd  21400  isxmet2d  24271  stdbdxmet  24459  metds0  24795  metdstri  24796  metdsre  24798  metdseq0  24799  metdscnlem  24800  metnrmlem1a  24803  metnrmlem1  24804  oprpiece1res1  24905  xrge0infss  32840  xrge0mulgnn0  33097  esumcvgre  34248  mblfinlem1  37854  iccintsng  45765  icoiccdif  45766  eliccnelico  45771  eliccelicod  45772  ge0xrre  45773  iblspltprt  46213  iblcncfioo  46218  itgspltprt  46219  gsumge0cl  46611  sge0tsms  46620