Theorem eliccxr 13453

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13448	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3935	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℝ^*cxr 11230  [,]cicc 13366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-xr 11235  df-icc 13370

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13470  xrge0nre  13471  xrge0omnd  21555  isxmet2d  24445  stdbdxmet  24633  metds0  24969  metdstri  24970  metdsre  24972  metdseq0  24973  metdscnlem  24974  metnrmlem1a  24977  metnrmlem1  24978  oprpiece1res1  25071  xrge0infss  33017  xrge0mulgnn0  33248  esumcvgre  34398  mblfinlem1  38168  iccintsng  46097  icoiccdif  46098  eliccnelico  46103  eliccelicod  46104  ge0xrre  46105  iblspltprt  46545  iblcncfioo  46550  itgspltprt  46551  gsumge0cl  46943  sge0tsms  46952