Theorem eliccxr 13167

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13162	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3917	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝ^*cxr 11008  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-xr 11013  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13184  xrge0nre  13185  isxmet2d  23480  stdbdxmet  23671  metds0  24013  metdstri  24014  metdsre  24016  metdseq0  24017  metdscnlem  24018  metnrmlem1a  24021  metnrmlem1  24022  oprpiece1res1  24114  xrge0infss  31083  xrge0mulgnn0  31298  xrge0omnd  31337  esumcvgre  32059  mblfinlem1  35814  iccintsng  43061  icoiccdif  43062  eliccnelico  43067  eliccelicod  43068  ge0xrre  43069  iblspltprt  43514  iblcncfioo  43519  itgspltprt  43520  gsumge0cl  43909  sge0tsms  43918