Theorem eliccxr 13363

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13358	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3931	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-xr 11182  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13380  xrge0nre  13381  xrge0omnd  21412  isxmet2d  24283  stdbdxmet  24471  metds0  24807  metdstri  24808  metdsre  24810  metdseq0  24811  metdscnlem  24812  metnrmlem1a  24815  metnrmlem1  24816  oprpiece1res1  24917  xrge0infss  32850  xrge0mulgnn0  33107  esumcvgre  34268  mblfinlem1  37902  iccintsng  45877  icoiccdif  45878  eliccnelico  45883  eliccelicod  45884  ge0xrre  45885  iblspltprt  46325  iblcncfioo  46330  itgspltprt  46331  gsumge0cl  46723  sge0tsms  46732