Theorem eliccxr 13337

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13332	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3926	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℝ^*cxr 11152  [,]cicc 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-xr 11157  df-icc 13254

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13354  xrge0nre  13355  xrge0omnd  21384  isxmet2d  24243  stdbdxmet  24431  metds0  24767  metdstri  24768  metdsre  24770  metdseq0  24771  metdscnlem  24772  metnrmlem1a  24775  metnrmlem1  24776  oprpiece1res1  24877  xrge0infss  32747  xrge0mulgnn0  33003  esumcvgre  34125  mblfinlem1  37718  iccintsng  45648  icoiccdif  45649  eliccnelico  45654  eliccelicod  45655  ge0xrre  45656  iblspltprt  46096  iblcncfioo  46101  itgspltprt  46102  gsumge0cl  46494  sge0tsms  46503