Theorem eliccxr 13379

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13374	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3918	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11169  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-xr 11174  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13396  xrge0nre  13397  xrge0omnd  21435  isxmet2d  24302  stdbdxmet  24490  metds0  24826  metdstri  24827  metdsre  24829  metdseq0  24830  metdscnlem  24831  metnrmlem1a  24834  metnrmlem1  24835  oprpiece1res1  24928  xrge0infss  32848  xrge0mulgnn0  33090  esumcvgre  34251  mblfinlem1  37992  iccintsng  45971  icoiccdif  45972  eliccnelico  45977  eliccelicod  45978  ge0xrre  45979  iblspltprt  46419  iblcncfioo  46424  itgspltprt  46425  gsumge0cl  46817  sge0tsms  46826