Theorem eliccxr 13492

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13487	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3930	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℝ^*cxr 11270  [,]cicc 13405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-xr 11275  df-icc 13409

This theorem is used by:  xrge0neqmnf  13509  xrge0nre  13510  xrge0omnd  21664  isxmet2d  24559  stdbdxmet  24747  metds0  25083  metdstri  25084  metdsre  25086  metdseq0  25087  metdscnlem  25088  metnrmlem1a  25091  metnrmlem1  25092  oprpiece1res1  25185  xrge0infss  33239  xrge0mulgnn0  33463  esumcvgre  34609  mblfinlem1  38414  iccintsng  46361  icoiccdif  46362  eliccnelico  46367  eliccelicod  46368  ge0xrre  46369  iblspltprt  46809  iblcncfioo  46814  itgspltprt  46815  gsumge0cl  47207  sge0tsms  47216