MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliccxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxr 13353
Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliccxr (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13348 . 2 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
21sseli 3941 1 (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  *cxr 11189  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-xr 11194  df-icc 13272
This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13370  xrge0nre  13371  isxmet2d  23683  stdbdxmet  23874  metds0  24216  metdstri  24217  metdsre  24219  metdseq0  24220  metdscnlem  24221  metnrmlem1a  24224  metnrmlem1  24225  oprpiece1res1  24317  xrge0infss  31668  xrge0mulgnn0  31883  xrge0omnd  31922  esumcvgre  32693  mblfinlem1  36118  iccintsng  43768  icoiccdif  43769  eliccnelico  43774  eliccelicod  43775  ge0xrre  43776  iblspltprt  44221  iblcncfioo  44226  itgspltprt  44227  gsumge0cl  44619  sge0tsms  44628
  Copyright terms: Public domain W3C validator