Theorem eliccxr 13388

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13383	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3917	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝ^*cxr 11178  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-xr 11183  df-icc 13305

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13405  xrge0nre  13406  xrge0omnd  21425  isxmet2d  24292  stdbdxmet  24480  metds0  24816  metdstri  24817  metdsre  24819  metdseq0  24820  metdscnlem  24821  metnrmlem1a  24824  metnrmlem1  24825  oprpiece1res1  24918  xrge0infss  32833  xrge0mulgnn0  33075  esumcvgre  34235  mblfinlem1  37978  iccintsng  45953  icoiccdif  45954  eliccnelico  45959  eliccelicod  45960  ge0xrre  45961  iblspltprt  46401  iblcncfioo  46406  itgspltprt  46407  gsumge0cl  46799  sge0tsms  46808