Theorem eliccxr 13452

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13447	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3954	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℝ^*cxr 11268  [,]cicc 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-xr 11273  df-icc 13369

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13469  xrge0nre  13470  isxmet2d  24266  stdbdxmet  24454  metds0  24790  metdstri  24791  metdsre  24793  metdseq0  24794  metdscnlem  24795  metnrmlem1a  24798  metnrmlem1  24799  oprpiece1res1  24900  xrge0infss  32737  xrge0mulgnn0  33010  xrge0omnd  33079  esumcvgre  34122  mblfinlem1  37681  iccintsng  45552  icoiccdif  45553  eliccnelico  45558  eliccelicod  45559  ge0xrre  45560  iblspltprt  46002  iblcncfioo  46007  itgspltprt  46008  gsumge0cl  46400  sge0tsms  46409