MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliccxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxr 12815
Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliccxr (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12811 . 2 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
21sseli 3961 1 (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  (class class class)co 7148  *cxr 10666  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-xr 10671  df-icc 12737
This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  12832  xrge0nre  12833  isxmet2d  22929  stdbdxmet  23117  metds0  23450  metdstri  23451  metdsre  23453  metdseq0  23454  metdscnlem  23455  metnrmlem1a  23458  metnrmlem1  23459  oprpiece1res1  23547  xrge0infss  30476  xrge0mulgnn0  30669  xrge0omnd  30705  esumcvgre  31343  mblfinlem1  34921  iccintsng  41789  icoiccdif  41790  eliccnelico  41795  eliccelicod  41796  ge0xrre  41797  iblspltprt  42248  iblcncfioo  42253  itgspltprt  42254  gsumge0cl  42644  sge0tsms  42653
  Copyright terms: Public domain W3C validator