Theorem eliccxr 13379

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13374	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3911	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-xr 11174  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13396  xrge0nre  13397  xrge0omnd  21420  isxmet2d  24310  stdbdxmet  24498  metds0  24834  metdstri  24835  metdsre  24837  metdseq0  24838  metdscnlem  24839  metnrmlem1a  24842  metnrmlem1  24843  oprpiece1res1  24936  xrge0infss  32852  xrge0mulgnn0  33094  esumcvgre  34275  mblfinlem1  38024  iccintsng  45968  icoiccdif  45969  eliccnelico  45974  eliccelicod  45975  ge0xrre  45976  iblspltprt  46416  iblcncfioo  46421  itgspltprt  46422  gsumge0cl  46814  sge0tsms  46823