Theorem eliccxr 13452

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13447	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3978	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℝ^*cxr 11285  [,]cicc 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-xr 11290  df-icc 13371

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13469  xrge0nre  13470  isxmet2d  24253  stdbdxmet  24444  metds0  24786  metdstri  24787  metdsre  24789  metdseq0  24790  metdscnlem  24791  metnrmlem1a  24794  metnrmlem1  24795  oprpiece1res1  24896  xrge0infss  32551  xrge0mulgnn0  32766  xrge0omnd  32812  esumcvgre  33743  mblfinlem1  37163  iccintsng  44937  icoiccdif  44938  eliccnelico  44943  eliccelicod  44944  ge0xrre  44945  iblspltprt  45390  iblcncfioo  45395  itgspltprt  45396  gsumge0cl  45788  sge0tsms  45797