Theorem eliccxr 13386

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13381	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3918	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℝ^*cxr 11176  [,]cicc 13299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-xr 11181  df-icc 13303

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13403  xrge0nre  13404  xrge0omnd  21427  isxmet2d  24317  stdbdxmet  24505  metds0  24841  metdstri  24842  metdsre  24844  metdseq0  24845  metdscnlem  24846  metnrmlem1a  24849  metnrmlem1  24850  oprpiece1res1  24943  xrge0infss  32859  xrge0mulgnn0  33101  esumcvgre  34282  mblfinlem1  38031  iccintsng  45975  icoiccdif  45976  eliccnelico  45981  eliccelicod  45982  ge0xrre  45983  iblspltprt  46423  iblcncfioo  46428  itgspltprt  46429  gsumge0cl  46821  sge0tsms  46830