Theorem eliccxr 13335

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13330	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3930	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145  [,]cicc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-xr 11150  df-icc 13252

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13352  xrge0nre  13353  xrge0omnd  21383  isxmet2d  24243  stdbdxmet  24431  metds0  24767  metdstri  24768  metdsre  24770  metdseq0  24771  metdscnlem  24772  metnrmlem1a  24775  metnrmlem1  24776  oprpiece1res1  24877  xrge0infss  32741  xrge0mulgnn0  32994  esumcvgre  34102  mblfinlem1  37703  iccintsng  45569  icoiccdif  45570  eliccnelico  45575  eliccelicod  45576  ge0xrre  45577  iblspltprt  46017  iblcncfioo  46022  itgspltprt  46023  gsumge0cl  46415  sge0tsms  46424