Theorem eliccxr 13403

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13398	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3945	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝ^*cxr 11214  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-xr 11219  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13420  xrge0nre  13421  isxmet2d  24222  stdbdxmet  24410  metds0  24746  metdstri  24747  metdsre  24749  metdseq0  24750  metdscnlem  24751  metnrmlem1a  24754  metnrmlem1  24755  oprpiece1res1  24856  xrge0infss  32690  xrge0mulgnn0  32963  xrge0omnd  33032  esumcvgre  34088  mblfinlem1  37658  iccintsng  45528  icoiccdif  45529  eliccnelico  45534  eliccelicod  45535  ge0xrre  45536  iblspltprt  45978  iblcncfioo  45983  itgspltprt  45984  gsumge0cl  46376  sge0tsms  46385