Theorem eliccxr 13436

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13431	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3932	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℝ^*cxr 11212  [,]cicc 13349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-xr 11217  df-icc 13353

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13453  xrge0nre  13454  xrge0omnd  21477  isxmet2d  24367  stdbdxmet  24555  metds0  24891  metdstri  24892  metdsre  24894  metdseq0  24895  metdscnlem  24896  metnrmlem1a  24899  metnrmlem1  24900  oprpiece1res1  24993  xrge0infss  32912  xrge0mulgnn0  33154  esumcvgre  34349  mblfinlem1  38120  iccintsng  46063  icoiccdif  46064  eliccnelico  46069  eliccelicod  46070  ge0xrre  46071  iblspltprt  46511  iblcncfioo  46516  itgspltprt  46517  gsumge0cl  46909  sge0tsms  46918