Theorem eliccxr 13096

Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eliccxr	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13091	. 2 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2	1	sseli 3913	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝ^*cxr 10939  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-xr 10944  df-icc 13015

This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  13113  xrge0nre  13114  isxmet2d  23388  stdbdxmet  23577  metds0  23919  metdstri  23920  metdsre  23922  metdseq0  23923  metdscnlem  23924  metnrmlem1a  23927  metnrmlem1  23928  oprpiece1res1  24020  xrge0infss  30985  xrge0mulgnn0  31200  xrge0omnd  31239  esumcvgre  31959  mblfinlem1  35741  iccintsng  42951  icoiccdif  42952  eliccnelico  42957  eliccelicod  42958  ge0xrre  42959  iblspltprt  43404  iblcncfioo  43409  itgspltprt  43410  gsumge0cl  43799  sge0tsms  43808