MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliccxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxr 12813
Description: A member of a closed interval is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
eliccxr (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)

Proof of Theorem eliccxr
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12808 . 2 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
21sseli 3911 1 (𝐴 ∈ (𝐵[,]𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  (class class class)co 7135  *cxr 10663  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-xr 10668  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  xrge0neqmnf  12830  xrge0nre  12831  isxmet2d  22934  stdbdxmet  23122  metds0  23455  metdstri  23456  metdsre  23458  metdseq0  23459  metdscnlem  23460  metnrmlem1a  23463  metnrmlem1  23464  oprpiece1res1  23556  xrge0infss  30510  xrge0mulgnn0  30723  xrge0omnd  30762  esumcvgre  31460  mblfinlem1  35094  iccintsng  42160  icoiccdif  42161  eliccnelico  42166  eliccelicod  42167  ge0xrre  42168  iblspltprt  42615  iblcncfioo  42620  itgspltprt  42621  gsumge0cl  43010  sge0tsms  43019
  Copyright terms: Public domain W3C validator