Theorem iccleub 13329

Description: An element of a closed interval is less than or equal to its upper bound. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccleub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iccleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵))
4	3	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  [,]cicc 13276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-xr 11182  df-icc 13280

This theorem is referenced by:  supicc  13429  supiccub  13430  supicclub  13431  oprpiece1res1  24917  ivthlem1  25420  isosctrlem1  26796  ttgcontlem1  28969  broucube  37905  mblfinlem1  37908  ftc1cnnclem  37942  ftc2nc  37953  areaquad  43573  isosctrlem1ALT  45289  lefldiveq  45654  eliccelioc  45881  iccintsng  45883  eliccnelico  45889  eliccelicod  45890  inficc  45894  iccdificc  45899  iccleubd  45908  cncfiooiccre  46253  itgioocnicc  46335  itgspltprt  46337  itgiccshift  46338  fourierdlem1  46466  fourierdlem20  46485  fourierdlem24  46489  fourierdlem25  46490  fourierdlem27  46492  fourierdlem43  46508  fourierdlem44  46509  fourierdlem50  46514  fourierdlem51  46515  fourierdlem52  46516  fourierdlem64  46528  fourierdlem73  46537  fourierdlem76  46540  fourierdlem79  46543  fourierdlem81  46545  fourierdlem92  46556  fourierdlem102  46566  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem114  46578  rrxsnicc  46658  salgencntex  46701  sge0p1  46772  hoidmv1lelem3  46951  hoidmvlelem1  46953  hoidmvlelem4  46956