Theorem iccleub 13539

Description: An element of a closed interval is less than or equal to its upper bound. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccleub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iccleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13527	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵))
4	3	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11349   ≤ cle 11351  [,]cicc 13486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-xr 11354  df-icc 13490

This theorem is used by:  supicc  13639  supiccub  13640  supicclub  13641  oprpiece1res1  25281  ivthlem1  25781  isosctrlem1  27155  ttgcontlem1  29471  broucube  38681  mblfinlem1  38684  ftc1cnnclem  38718  ftc2nc  38729  areaquad  44327  isosctrlem1ALT  46024  lefldiveq  46416  eliccelioc  46641  iccintsng  46643  eliccnelico  46649  eliccelicod  46650  inficc  46654  iccdificc  46659  iccleubd  46668  cncfiooiccre  47013  itgioocnicc  47095  itgspltprt  47097  itgiccshift  47098  fourierdlem1  47226  fourierdlem20  47245  fourierdlem24  47249  fourierdlem25  47250  fourierdlem27  47252  fourierdlem43  47268  fourierdlem44  47269  fourierdlem50  47274  fourierdlem51  47275  fourierdlem52  47276  fourierdlem64  47288  fourierdlem73  47297  fourierdlem76  47300  fourierdlem79  47303  fourierdlem81  47305  fourierdlem92  47316  fourierdlem102  47326  fourierdlem103  47327  fourierdlem104  47328  fourierdlem114  47338  rrxsnicc  47418  salgencntex  47461  sge0p1  47532  hoidmv1lelem3  47711  hoidmvlelem1  47713  hoidmvlelem4  47716