Theorem iccleub 13525

Description: An element of a closed interval is less than or equal to its upper bound. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccleub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iccleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵))
4	3	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝ^*cxr 11335   ≤ cle 11337  [,]cicc 13472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-xr 11340  df-icc 13476

This theorem is used by:  supicc  13625  supiccub  13626  supicclub  13627  oprpiece1res1  25265  ivthlem1  25765  isosctrlem1  27139  ttgcontlem1  29455  broucube  38552  mblfinlem1  38555  ftc1cnnclem  38589  ftc2nc  38600  areaquad  44202  isosctrlem1ALT  45901  lefldiveq  46277  eliccelioc  46502  iccintsng  46504  eliccnelico  46510  eliccelicod  46511  inficc  46515  iccdificc  46520  iccleubd  46529  cncfiooiccre  46874  itgioocnicc  46956  itgspltprt  46958  itgiccshift  46959  fourierdlem1  47087  fourierdlem20  47106  fourierdlem24  47110  fourierdlem25  47111  fourierdlem27  47113  fourierdlem43  47129  fourierdlem44  47130  fourierdlem50  47135  fourierdlem51  47136  fourierdlem52  47137  fourierdlem64  47149  fourierdlem73  47158  fourierdlem76  47161  fourierdlem79  47164  fourierdlem81  47166  fourierdlem92  47177  fourierdlem102  47187  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fourierdlem114  47199  rrxsnicc  47279  salgencntex  47322  sge0p1  47393  hoidmv1lelem3  47572  hoidmvlelem1  47574  hoidmvlelem4  47577