Theorem iccleub 13379

Description: An element of a closed interval is less than or equal to its upper bound. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccleub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iccleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	syl6bi 253	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵))
4	3	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-xr 11252  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  supicc  13478  supiccub  13479  supicclub  13480  oprpiece1res1  24467  ivthlem1  24968  isosctrlem1  26323  ttgcontlem1  28173  broucube  36570  mblfinlem1  36573  ftc1cnnclem  36607  ftc2nc  36618  areaquad  42013  isosctrlem1ALT  43743  lefldiveq  44050  eliccelioc  44282  iccintsng  44284  eliccnelico  44290  eliccelicod  44291  inficc  44295  iccdificc  44300  iccleubd  44309  cncfiooiccre  44659  itgioocnicc  44741  itgspltprt  44743  itgiccshift  44744  fourierdlem1  44872  fourierdlem20  44891  fourierdlem24  44895  fourierdlem25  44896  fourierdlem27  44898  fourierdlem43  44914  fourierdlem44  44915  fourierdlem50  44920  fourierdlem51  44921  fourierdlem52  44922  fourierdlem64  44934  fourierdlem73  44943  fourierdlem76  44946  fourierdlem79  44949  fourierdlem81  44951  fourierdlem92  44962  fourierdlem102  44972  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem114  44984  rrxsnicc  45064  salgencntex  45107  sge0p1  45178  hoidmv1lelem3  45357  hoidmvlelem1  45359  hoidmvlelem4  45362