Theorem iccleub 13572

Description: An element of a closed interval is less than or equal to its upper bound. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iccleub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem iccleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 13560	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	biimtrdi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐶 ≤ 𝐵))
4	3	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ≤ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-xr 11386  df-icc 13523

This theorem is used by:  supicc  13672  supiccub  13673  supicclub  13674  oprpiece1res1  25327  ivthlem1  25827  isosctrlem1  27203  ttgcontlem1  29519  broucube  38840  mblfinlem1  38843  ftc1cnnclem  38877  ftc2nc  38888  areaquad  44479  isosctrlem1ALT  46176  lefldiveq  46581  eliccelioc  46806  iccintsng  46808  eliccnelico  46814  eliccelicod  46815  inficc  46819  iccdificc  46824  iccleubd  46833  cncfiooiccre  47178  itgioocnicc  47260  itgspltprt  47262  itgiccshift  47263  fourierdlem1  47391  fourierdlem20  47410  fourierdlem24  47414  fourierdlem25  47415  fourierdlem27  47417  fourierdlem43  47433  fourierdlem44  47434  fourierdlem50  47439  fourierdlem51  47440  fourierdlem52  47441  fourierdlem64  47453  fourierdlem73  47462  fourierdlem76  47465  fourierdlem79  47468  fourierdlem81  47470  fourierdlem92  47481  fourierdlem102  47491  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem114  47503  rrxsnicc  47583  salgencntex  47626  sge0p1  47697  hoidmv1lelem3  47876  hoidmvlelem1  47878  hoidmvlelem4  47881